[PDF] Chapitre 5 : Équations différentielles

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Chapitre 5 : Équations différentielles

Table des matières

1 Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants 2

1.1 Équations homogènesy′(t)-ay(t)=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Équations non homogènesy′(t)-ay(t)=g(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.3 Recherche de solutions particulières poury′(t)-ay(t)=g(t). . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.3.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2 Méthode générale : variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4 Équations avec conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 8

2.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2 Équations homogènes du 2nd ordrey′′(t)+ay′(t)+by(t)=0,a;b?R. . . . . . . . . . . . .8

2.3 Équations non homogènes du 2nd ordrey′′(t)+ay′(t)+by(t)=g(t),a;b?R. . . . . . . .9

A Exercices11

A.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

A.2 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

A.3 Modélisation et équations différentielles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

De nombreux problèmes d"origine physique, économique ou biologique conduisent à chercher une

fonctionydépendant d"une variabletsachant qu"il existe une relation entrey,tet éventuellement

d"autres dérivées successives dey(y′′;:::). Une telle relation est appelée équation différentielle :

y

2(t)-(y′(t))2=1

ty(t)y′(t)=y2(t)-t2 y

Exemple: La cinétique chimique :Il s"agit de trouver l"évolution dans le temps de concentrations,

de quantités de matière (nombres de moles) ou encore de pressions partielles. Les réactions d"ordre 1

mènent par exemple à l"équation différentielle suivante : y ′(t)=-ky(t); oùkune constante donnée etyreprésente la concentration d"un composé chimique.

L"objectif de ce cours est d"apprendre à résoudre une classe bien précise d"équations différentielles,

c"est à dire trouver l"expression de la fonction inconnuey. 1

1 Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients

constants

SoientI?Run intervalle,a?Run réel etg?I→Rune fonction continue donnée. On s"intéresse à la

résolution d"équations différentielles linéaires du 1er ordre qui sont des équations de la forme :

y ′(t)-ay(t)=g(t)t?I;(1)

où l"inconnue du problème est une fonction dérivable notéey?I→Rqui dépend de la variablet.

?On dit que cette équation est une équation différentielle car elle fait intervenir des dérivées de

l"inconnue du problèmey.

?On dit qu"elle est du1er ordrecar la dérivée d"ordre le plus élevé qu"elle fait intervenir est la

dérivéepremièrede l"inconnue du problèmey.

?On dit qu"elle est à coefficients constants car nous ne considèrerons que des coefficients constants

devant les membresy;y′de l"équation. ?On dit qu"elle est linéaire car l"équation homogène associée donnée par y ′(t)-ay(t)=0t?I;(2) possède la propriété de linéarité suivante : PropriétéSoienty1ety2deux solutions de (2), alors pour tous;?R, la fonction combinaison linéaire dey1ety2donnée par y 1+y2

est encore solution de (2). En particulier, la fonction identiquement nulley≡0est toujours solution

de (2).

RemarqueAttention, la propriété précédente n"est pas vraie pour les solutions de (1) : siy1ety2sont

deux solutions de (1), en général,y1+y2n"est pas solution de (1). L"objectif de cette première partie est d"apprendre à résoudre les équations (1) et (2).

1.1 Équations homogènesy′(t)-ay(t)=0

On dit qu"une équation différentielle de la formey′(t)-ay(t)=g(t)esthomogènelorsque l"on

considère comme second membre une fonctiongidentiquement nulle, ce que l"on noteg≡0. DéfinitionSoientIun intervalle deReta?I→Rune fonction continue. On appelle solution surI de l"équation y ′(t)-ay(t)=0;t?I toute fonctionfdérivable surIet telle que?t?I, f ′(t)-af(t)=0: Théorème 1SoientIun intervalle deReta?Run réel. Toute solutionfde l"équation y ′(t)-ay(t)=0;t?I(⋆) est de la forme f(t)=Ceat oùC?Rest une constante.2

Preuve.Soientfune solution de l"équation(⋆), on pose'?t↦f(t)e-at. Alors'est dérivable et

vérifie?t?I

. .....................................................................................................ExempleRésoudre l"équation différentielle

y ′(t)-3y(t)=0:

L"équation est bien homogène linéaire du premier ordre à coefficients constants, aveca=::::. Ainsi

toute solution est définie surRet est de la forme f(t)=::::::::::::::::::::::::::::::::

1.2 Équations non homogènesy′(t)-ay(t)=g(t)

DéfinitionSoitIun intervalle deR,a?Retg?I→Rune fonction continue. On appelle solution sur

Ide l"équation

y ′(t)-ay(t)=g(t);t?I toute fonctionfdérivable surIet telle que?t?I, f ′(t)-af(t)=g(t): Théorème 2SoientIun intervalle deR,a?Retg?I→Rune fonction continue. Sifpest une solution particulière de l"équation y ′(t)-ay(t)=g(t);t?I(⋆) alors toute solution de l"équation(⋆)s"écrit sous la forme f(t)=Ceat+fp(t);?t?I;

oùC?Rest une constante.Preuve.Soientfetfpdeux solutions de l"équation(⋆), on pose'=f-fp. Alors'est dérivable et

vérifie?t?I 3

......................................................................................................RemarqueCe théorème nous dit que toute solution de l"équation(⋆)se décompose comme somme

d"une solution particulière de(⋆)et d"une solution de l"équation homogène associée à(⋆).

ExempleOn considère l"équation différentielle surR y ′(t)+2y(t)=4:(⋆)

Chercher une solution particulièrefpsous la formefp(t)=;?Rpuis résoudre l"équation(⋆). .....

Cherchons une solution de l"équation homogène. Cette dernière vaut On identifiea=:::::. Toute solutionfhde l"équation homogène est donc de la forme f Finalement, toute solution de l"équation(⋆)est définie surRet est de la forme

1.3 Recherche de solutions particulières poury′(t)-ay(t)=g(t)

1.3.1 Cas particuliers

Selon la forme du second membreg, on peut chercher des solutions particulières spécifiques. ?Sigest un polynôme de degrén, on cherche une solution particulière sous la formefp(t)=P(t) où

Pest un polynôme de degré⎧

n+1sia=0: ?Sig(t)=etQ(t);?t?I, où?RetQest un polynôme de degrén, on cherche une solution particulière sous la formefp(t)=etP(t)où

Pest un polynôme de degré⎧

n+1sia=: 4 ?Sig(t)=et(cos(!t)+sin(!t));avec;;;!?R, on cherche une solution particulière sous la même forme,i.e f p(t)=et(Acos(!t)+Bsin(!t)); avecA;B?Rà déterminer. ExempleRésoudre l"équation différentielle y ′(t)+3y(t)=2e-t:(⋆) On commence par résoudre l"équation homogène associée, c"est-à-dire : On identifiea=:::::. Toute solution de l"équation homogène s"écrit donc f h(t)=::::::::::::::::::::::::::::::::: La fonctiong?t↦:::::::::::est continue surI=:::::::::::. On cherche une solution particulière, au vu deg, on va la chercher sous la formef(t)=e-tavec ?R. On a pour touttdansI f et donc f

. On en déduit quefp(t)=::::::::::::est une solution particulière. Finalement, toute solution de (⋆) est

définie surRet s"écrit sous la forme

1.3.2 Méthode générale : variation de la constante

On considèreIun intervalle deR,a?Retg?I→Rune fonction continue. On appelle " méthode

de variation de la constante » la méthode qui consiste à chercher une solution particulièrefpde

l"équation surI y ′(t)-ay(t)=g(t):(⋆) L"idée de la méthode est la suivante : on sait que les solutions de l"équation homogène y ′(t)-ay(t)=0 s"écrivent sous la forme f h(t)=Ceat;?t?I

oùC?Rest une constante, et on va chercher une solution particulièrefpde l"équation(⋆)sous la

forme f p(t)='(t)eat

où'est une fonction dérivable surIà déterminer. La constanteCest remplacée par la fonction',

d"où le nom de " variation de la constante ». On a alors 5 On peut résumer cela dans le résultat suivant : Théorème 3SoientIun intervalle deR,a?Retg?I→Rune fonction continue. Toute solution fde l"équation y ′(t)-ay(t)=g(t);t?I est de la forme f(t)=eat(B(t)+C);

oùC?Rest une constante etB?I→Rest une primitive surIde la fonctiont↦g(t)e-at.RemarqueAvant de se lancer dans les calculs de la méthode de la variation de la constante, on

commence par regarder s"il n"existe pas des solutions particulières évidentes à notre équation. Par

exemple si on considère l"équation suivante y ′(t)-2y(t)=2;

surI=:::::::::::::, on voit bien qu"une solution particulière de cette équation est donnée par la fonction

constantefp(t)=:::::::,?t?R. Ainsi toute solution de cette équation sera de la forme ExempleRésoudre surI=Rl"équation différentielle

Ici, les coefficients dey′(t)ety(t)ne sont pas constants, mais on peut remarquer qu"un même facteur

dépendant detapparait. De plus, ce facteur ne s"annule jamais, on a en effet, pour toutt?R,t2≥:::::

et donc1+t2≥:::::>::::::On peut donc diviser par ce facteur, ce qui permet de réécrire(⋆)sous la

forme :?t?I;y′(t)-ay(t)=g(t)aveca=::::::::::::etg?t↦:::::::::::::::::::, qui est bien une fonction

continue surI. On sait que toute solutionfhde l"équation homogène est de la forme : f

Il ne nous reste donc plus qu"à trouver une solution particulière de l"équation(⋆): d"après la méthode

de la variation de la constante, on la cherche sous la forme f p(t)=:::::::::::::::::::::::::::::::: 6 Alors et donc f

Ainsi, en prenantB(t)=::::::::::::::::::::::::::::::,fp(t)=:::::::::::::::::::::::::::::::::::::convient. Les solutions de

(⋆) surIsont donc de la forme

1.4 Équations avec conditions initiales

Il s"agit d"équations de la forme

′(t)-ay(t)=g(t) y(0)=y0 oùy0?Rest une constante donnée. Cette informationy0sur la valeur de la solutionyent=0nous permet d"identifier les constantesC?Rapparaissant dans la forme des solutions de l"équation. ExempleRésoudre l"équation différentielle y′(t)+3y(t)=2e-t(⋆) y(0)=0; Nous avons vu que toute solution de l"équation (⋆) est de la forme

Parmi ces fonctions, la seule qui s"annule en0est

f C"est donc l"unique solution de l"équation avec condition initiale. RemarqueIl arrivera que la condition initiale ne porte pas sur la valeur de la solution ent=0mais en d"autres valeurs det?I, par exemple : l"équation différentielle y′(t)+3y(t)=2e-t(⋆) y(1)=0; 7 admet une unique solution. En effet, comme précédemment,f(t)=Ce-3t+e-t;C?Rsont solutions de

(⋆) et . .................................................................................................

2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients

constants

SoientI?Run intervalle,a;b?Retg?I→Rune fonction continue. On s"intéresse à la résolution

d"équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants qui sont des équations

de la forme : y

?On dit que cette équation est dusecond ordrecar la dérivée d"ordre le plus élevé qu"elle fait

intervenir est la dérivéesecondede l"inconnue du problèmey.

?On dit qu"elle est à coefficients constants car nous ne considèrerons que des coefficients constants

devant les membresy;y′y′′de l"équation.

Nous allons voir comment résoudre cette équation (3) : dans le cas homogènei.elorsqueg=0puis

dans le cas non homogène lorsqueg?I→Rest une fonction continue non-identiquement nulle.

2.1 Quelques rappels

Soienta;b;c?R,a≠0. On considère dans la suite le polynôme de degré 2 suivant :P(z)=az2+bz+c.

On dit quez0est une racine dePsi on aP(z0)=0c"est à dire siaz20+bz0+c=0:

On a le résultat suivant :

ThéorèmeSoienta;b;c?R,a≠0. Le polynôme de degré 2 défini par :P(z)=az2+bz+c, possède au

plus deux racines données par . Si=0, on a une racine double réellex=-b2a. . Si>0on a deux racines réelles distinctes x

1=-b+⎷

2aetx2=-b-⎷

2a: . Si<0, on a deux racines complexesconjuguées: z

1=-b+i⎷-2aetz2=-b-i⎷-2a:

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