[PDF] Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques





Previous PDF Next PDF



Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

Pour connaitre l'intégral il suffit de connaitre une primitive: On définit l'intégrale triple de f sur ? comme la limite (quand.



Intégrales doubles et triples - M—

Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c



Cours7 IntégraleTriple

B. Expression intégrale du volume d'un domaine cubable L'intégrale triple est donc devenue « une intégrale simple d'intégrale double » : on dit qu'on ...



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a



MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

On ne possède pas de représentation vraiment concrète des intégrales triples alors qu'on pouvait interpréter une intégrale double comme un volume et une 



Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6

Calculer l'intégrale triple : ???. V. ? x2 + y2 + z2 dx dy dz où V est la boule de centre (00





CM 6 - Théorème de Fubini

Intégrale triple. La pause culture. Le théorème de Fubini. Théorème de Fubini sur le rectangle.– Soit f : [ab] × [c



5. Les intégrales multiples

answers/volume-exercises-17-20-use-triple-integral-find- Calcul de la position du centre de masse avec une intégrale triple.



Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques

4. b) En utilisant un changement de variables approprié calculer l'intégrale triple suivante : ???.



Lecture 17: Triple integrals - Harvard University

In calculus two important reductions are used to compute triple integrals In single variable calculus one reduces the problem directly to a one dimensional integral by slicing the body along an axes The slices are 2-dimensional In multi-variable calculus we usually reduce the problem to an integration problem in two dimensions



Triple Integrals - n1530link

Triple Integrals Part 1: De–nition of the Triple Integral We can extend the concept of an integral into even higher dimensions Indeed in this section we develop the concept of a triple integral as an extension of the double integral de–nition To begin with suppose that ?(x;y;z) is a piecewise continuous function



TRIPLE INTEGRALS - Illinois Institute of Technology

•To understand triple integrals it is extremely important to have an understanding of double integrals coordinate geometry in 3 dimensions and polar (cylindrical) coordinates Sums of triple integrals are based on these topics and cannot be solved without this prior knowledge



Triple Integrals - Harvard University

Triple Integrals 1 (a) If Uis any solid (in space) what does the triple integral ZZZ U 1 dV represent? Why? Solution Remember that we are thinking of the triple integral ZZZ U f(x;y;z) dV as a limit of Riemann sums obtained from the following process: 1 Slice the solid Uinto small pieces



Intégrales triples Calcul de volumes et d’hyper-volumes

L’intégrale triple est devenue « une intégrale double d’intégrale simple » : on dit qu’on a pratiqué une intégration « en piles » ou « en bâtons » D Généralisation de l’intégrale triple Si f x y z( ) est une fonction continue dans le domaine D on peut appliquer la méthode de Riemann au calcul de ( ) D



Intégrales doubles et triples - M— - univ-toulousefr

1-Intégrale double 1 1- Dé?nition 1 2-Interprétation graphique 1)- Première Décomposition 1 3- Calcul de l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples 1 2- Interprétation graphique • S



Searches related to intégrale triple PDF

Domeniile din spa?iul 3-dimensional (3D) pe care se pot considera integrale triple pot fi foarte diverse ca form ? implicit ?i caracteriz ?rile lor analitice vor fi variate iar o prezentare (mai mult sau mai pu?in) sistematic? a acestora ar consuma prea mult spa?iu

Integration et

Equations dierentielles

Licence Mathematiques (Parcours Ing. Math.), UE

K1MA4021, exercices de TD et annales 2011-2013

Alain Yger

Institut de Math

ematiques, Universite Bordeaux 1, Talence 33405,

France

E-mail address:Alain.Yger@math.u-bordeaux1.fr

Version du 20 juin 2014.

R esume.Ce polycopie complete le polycopie de cours de l'UE K1MA4021 (Integration et Equations dierentielles). On y trouve une liste d'exercices proposes en TP (en 2011-2012) par Stanislas Kupin, ainsi que les corriges du DS et de deux sessions d'examen (annales 2011-2012, 2012-2013).

Table des matieres

Annexe A. Exercices proposes en TD (2011-2012) 1

Annexe B. Annales 2011-2012, Texte et corrige du DS 11 Annexe C. Annales 2011-2012, Texte et corrige de l'examen de session 1 17 Annexe D. Annales 2011-2012, Texte et corrige de l'examen de session 2 23 Annexe E. Annales 2012-2013, Texte et corrige du DS 33 Annexe F. Annales 2012-2013, Texte et corrige de l'examen de session 1 39 Annexe G. Annales 2012-2013, Texte et corrige de l'examen de session 2 51

Bibliographie 61

v

ANNEXE A

Exercices proposes en TD (2011-2012)

I. Exercices en relation avec le chapitre 1.

Rappel theorique(denition de l'integrale de Riemann1). Soient | un intervalle [a;b] ferme et borne; | une fonctionf: [a;b]!R; | une subdivision de l'intervalle [a;b] :a=x0< x1< ::: < xn1< xn=b, le diametre de la subdivision etant deni par diam =kk= maxi=1;n(xixi1) ; | un systeme denpoints intermediairesxi1ixi. On denit la somme de Riemann associee a la subdivision et aux points (i)i=1;npar : (f;;i) =nX i=1f(i)(xixi1): On dit que la fonctionfest Riemann integrable sur [a;b] si et seulement si il existe une valeurIftelle que : pour tout" >0, il existe">0 de sorte que, pour toute division aveckk< ", j(f;;i)Ifj< ":

Dans ce cas, on note

Rb af(x)dx=Ifet on l'appelle l'integrale de Riemann defsur [a;b].

Exercice1 (integrale et sommes de Riemann).

(1) Donner une interpretation geometrique des sommes de Riemann et de l'integrale de Riemann. (2) Calculer avec la denitionRb atndt. Exercice2 (integrale et sommes de Riemann).En utilisant les sommes de Riemann pour une fonction convenable a choisir, trouver les limites | lim n!1

1n+1+1n+2+:::12n

| lim n!1

1p4n212+1p4n222+:::+1p4n2n2

Exercice3 (integrale et sommes de Riemann).1. Voir aussi le cours d'Analyse 1 [anal1], chapitre 3. 1

2 A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012)

(1) Soitx >0. Montrer que la limite suivante existe : lim n!+1xn n1X p=0epxn (2) En deduire que Rx

0etdt=ex1 pourx >0 quelconque.

Exercice4 (integrale et sommes de Riemann).

(1) Etablir les egalites suivantes, oux2Retn >0 est un entier : nX p=1sinx2nsinpxn =12 cosx2ncos2n+ 12nx n X p=1sinx2ncospxn =12 sinx2n+ sin2n+ 12nx (2) Utiliser ces resultats pour etablir pourx >0 quelconque :Zx 0 sin(t)dt= 1cosx;Z x 0 cos(t)dt= sinx: Exercice5 (integration de fonctions continues).Montrer que toute fonction continuef: [a;b]!Rest Riemann integrable sur [a;b]. Exercice6 (une fonction qui n'est pas Riemann-integrable).Soitfla fonction de [0;1] dansR, denie parf(x) = 1 pour toutx2[0;1]\Qetf(x) = 0 sinon. Mon- trer quefn'est pas Riemann-integrable sur [0;1] (l'integrale de Lebesgue corrige en fait ce defaut, carfest Lebesgue integrable etRb af(t)dt= 0).

Exercice7 (lemme de Riemann-Lebesgue).

(1) Pourf2C1([a;b]), demontrer que limn!1R b af(t)sin(nt)dt= 0. (2) Demontrer le m^eme resultat pour une fonctionfcontinue sur [a;b]. Exercice8 (formule de Leibniz-Newton).Soitf: [a;b]!Rune fonction que l'on suppose Riemann-integrable sur [a;b]. On suppose aussi qu'elle admet une primitiveF: [a;b]!R(Fcontinue sur [a;b], derivable sur ]a;b[ etF0(x) =f(x) pour toutx2]a;b[). En utilisant le theoreme des accroissements nis, montrer que Z b a f(t)dt=F(b)F(a): Exercice9 (calcul de primitives).Calculer les primitives suivantes (fonctions de la borne superieure de l'integrale de Riemann) dans leur domaine de denition :Zxt1 +t2dt;Z xt4+x2+ 1t1dt;Z x1(t1)(t2)(t3)dt; Z x2t+ 1(t1)(t3)(t4)dt;Z x1t(t2+ 1)dt;Z x1(t1)2(t+ 1)dt; Z xt(t2+ 1)(t1)dt;Z xt2+ 2(t+ 1)3(t2)dt;Z x1 + sin(t)1 + cos(t)dt; Z xe2t+ete

3te2tet+ 1dt:

A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012) 3

Exercice10 (calcul de primitives).Calculer les primitives suivantes (fonctions

de la borne superieure de l'integrale de Riemann) dans leur domaine de denition :Zx1t(1 + ln(t))3dt;Z

xt7(1 +t4)2dt;Z x1t

2+a2dt(a2R):

La fonction ln designe ici (comme log) le logarithme neperien). Exercice11 (calcul d'integrales ou de primitives).Calculer les integrales denies ou les primitives suivantes (fonctions de la borne superieure de l'integrale de Riemann) :Z 2 jsin(t)jcos(t)dt;Z 5 e ln(t)dt; Z x t alog(t)dt;Z x e att3dt(a2R) Z x sin(ln(t))dt;(x >0)Z 2 0 cos(2t)sin(3t)dt;Z 2 0 cos(4t)cos(3t)dt; Z 2 0 (sin(t))6dt;Z 2 0 (cos(t))5dt;Z x arctan(t)dt Z =8 0 (t2+ 7t5)cos(2t)dt;Z x e tcos(t)dt: La fonction ln designe ici (comme log) le logarithme neperien). Exercice12 (calcul de primitives).Calculer les primitives suivantes (fonctions de la borne superieure de l'integrale de Riemann) dans leur domaine de denition :Z xt2t

2+ 1dt;Z

x sin(t2 )cos(t2 )dt;Z x11 + tanh(t)dt; Z x t

4(1 +t5)5dt;Z

xln(t)t dt; Z x cos(2t)(sin(2t))4dt;Z xsin(t)(cos(t))2dt;Z x1(sin(t))2(cos(t))2dt:

Exercice13 (calcul de primitives).

(1) Soitf(t) =t1t

22t+2. Determiner la primitive defqui s'annule enx= 2.

(2) M^eme question pourx=2. Exercice14 (theoremes de convergence monotone ou dominee (TCM et TCD) en une variable). (1) Soit, pour toutn2N,gnune fonction denie sur ]0;1] par les relations g n(x) =npourx2i 0;1n i ; g n(x) = 0 pourx2i1n ;1i Pour toutx2]0;1], posonsg(x) = limn!1gn(x). Calculerg. La convergence est-elle simple? monotone? uniforme? (2) Calculer lim n!1Z 1 0 g n(t)dt;Z 1 0 g(t)dt: Le TCD est-il applicable dans cette situation? Justiez votre reponse.

4 A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012)

(3) Soitf2C([0;1];R). Demontrer que lim n!1Z 1 0 f(x)gn(t)dt=f(0): Exercice15 (theoremes de convergence monotone ou dominee (TCM et TCD) en une variable). (1) Soit 0 <1 et f n(x) =In(x)1x pourx2]0;1]; ouIest la fonction indicatrice de l'intervalleIetIn= [1=(n+ 1);1=n].

Calculer

lim n!1Z 1 0 f n(t)dt:

Le TCD est-il applicable dans cette situation?

(2) M^emes questions pour= 1.

Exercice16 (calculs d'aires de domaines plans).

(1) Calculer les aires des regions planes ainsi decrites :quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
[PDF] la maquette du journal

[PDF] la maquette de la une

[PDF] la maquette d'un journal

[PDF] maquette en arabe

[PDF] prototype définition

[PDF] ou se trouve le sphinx par rapport aux pyramides

[PDF] a quelle heure le roi se rendait a la messe

[PDF] www chateauversailles fr a quelle heure le roi se rendait il a la messe

[PDF] a quelle heure le roi soleil se rendait il a la messe

[PDF] quels auteurs de théâtre ont vu leurs pièces jouées ? versailles

[PDF] pourquoi la table ronde avait cette forme

[PDF] pourquoi la table ronde est ronde

[PDF] a quoi servait la table ronde pourquoi avait elle cette forme

[PDF] les chevaliers de la table ronde 5eme

[PDF] de quoi parlent les romans de la table ronde