[PDF] Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6





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Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples

Pour connaitre l'intégral il suffit de connaitre une primitive: On définit l'intégrale triple de f sur ? comme la limite (quand.



Intégrales doubles et triples - M—

Définition: Intégrale Double. • D un domaine inscrit dans le rectangle [ab] × [c



Cours7 IntégraleTriple

B. Expression intégrale du volume d'un domaine cubable L'intégrale triple est donc devenue « une intégrale simple d'intégrale double » : on dit qu'on ...



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Si f est une fonction d'une variable l'intégrale de f sur un intervalle [a



MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

On ne possède pas de représentation vraiment concrète des intégrales triples alors qu'on pouvait interpréter une intégrale double comme un volume et une 



Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6

Calculer l'intégrale triple : ???. V. ? x2 + y2 + z2 dx dy dz où V est la boule de centre (00





CM 6 - Théorème de Fubini

Intégrale triple. La pause culture. Le théorème de Fubini. Théorème de Fubini sur le rectangle.– Soit f : [ab] × [c



5. Les intégrales multiples

answers/volume-exercises-17-20-use-triple-integral-find- Calcul de la position du centre de masse avec une intégrale triple.



Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques

4. b) En utilisant un changement de variables approprié calculer l'intégrale triple suivante : ???.



Lecture 17: Triple integrals - Harvard University

In calculus two important reductions are used to compute triple integrals In single variable calculus one reduces the problem directly to a one dimensional integral by slicing the body along an axes The slices are 2-dimensional In multi-variable calculus we usually reduce the problem to an integration problem in two dimensions



Triple Integrals - n1530link

Triple Integrals Part 1: De–nition of the Triple Integral We can extend the concept of an integral into even higher dimensions Indeed in this section we develop the concept of a triple integral as an extension of the double integral de–nition To begin with suppose that ?(x;y;z) is a piecewise continuous function



TRIPLE INTEGRALS - Illinois Institute of Technology

•To understand triple integrals it is extremely important to have an understanding of double integrals coordinate geometry in 3 dimensions and polar (cylindrical) coordinates Sums of triple integrals are based on these topics and cannot be solved without this prior knowledge



Triple Integrals - Harvard University

Triple Integrals 1 (a) If Uis any solid (in space) what does the triple integral ZZZ U 1 dV represent? Why? Solution Remember that we are thinking of the triple integral ZZZ U f(x;y;z) dV as a limit of Riemann sums obtained from the following process: 1 Slice the solid Uinto small pieces



Intégrales triples Calcul de volumes et d’hyper-volumes

L’intégrale triple est devenue « une intégrale double d’intégrale simple » : on dit qu’on a pratiqué une intégration « en piles » ou « en bâtons » D Généralisation de l’intégrale triple Si f x y z( ) est une fonction continue dans le domaine D on peut appliquer la méthode de Riemann au calcul de ( ) D



Intégrales doubles et triples - M— - univ-toulousefr

1-Intégrale double 1 1- Dé?nition 1 2-Interprétation graphique 1)- Première Décomposition 1 3- Calcul de l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples 1 2- Interprétation graphique • S



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Domeniile din spa?iul 3-dimensional (3D) pe care se pot considera integrale triple pot fi foarte diverse ca form ? implicit ?i caracteriz ?rile lor analitice vor fi variate iar o prezentare (mai mult sau mai pu?in) sistematic? a acestora ar consuma prea mult spa?iu

MIEEVAR2011-2012Quelques corrigés d"exercices des feuilles 5 et 6

Calculer l"intégrale double

R xcos(x+y)dxdy,Rrégion triangulaire de som- mets(0,0),(π,0),(π,π). On intègre par tranche. On peut le faire de deux façons : R xcos(x+y)dxdy=? 0 x 0 xcos(x+y)dy)dx ou R xcos(x+y)dxdy=? 0 y xcos(x+y)dx)dy

Si on prend la première expression on obtient

0 x 0 xcos(x+y)dy)dx=? 0 [xsin(x+y)]y=x y=0dx 0 (xsin2x)-xsin(x))dx = [-xcos(2x)/2]π0+? 0 cos(2x)/2dx-[-xcos(x)]π0-? 0 cos(x)dx =-π/2 + 0-π+ 0 =-3π/2 Avec la deuxième cela donne la même chose (et les calculs à faire sont à peu près les mêmes; dans certains cas le calcul est beaucoup plus simple en intégrant dans un ordre que dans l"autre)? 0 y xcos(x+y)dx)dy=? 0 ([xsin(x+y)]x=πx=y-? y sin(x+y)dx)dy 0 (πsin(π+y)-ysin(2y))dy-? 0 [-cos(x+y)]πydy = [-πcos(π+y)]π0+ [ycos(2y)/2]π0-? 0 cos(2y)/2dy 0 [cos(2y)-cos(y+π)]dy =-2π+π/2 + 0 + 0 + 0 =-3π/2

Calculer l"intégrale double??

R x2dxdylorsqueR={(x,y)|x?0,1?x2+y2? 2}.

La forme du domaine incite à utiliser le système des coordonnées polaires. L"intégrale sur

l"anneau est l"intégrale sur l"image de]1,⎷2[×]0,2π[par l"applicationF,C1bijective de

]1,⎷2[×]0,2π[sur son image (l"anneau privé d"un segment), définie par F: (ρ,θ)?→(ρcos(θ),ρsin(θ)). 1

MIEEVAR2011-2012On a vu en cours (et dans un exercice; il faut savoir le retrouver) que le jacobien de cette

fonction estρ. On a : R x2dxdy=??

F(]1,⎷2[×]0,2π[)x2dxdy

⎷2 1

ρ3dρ.?

2π 0 cos2(θ)dθ = [ρ4/4]⎷2 1.? 2π 0 (1 + cos(2θ))/2dθ = 3π/4 Calculer l"aire de la région du plan suivanteD={(x,y)|y?x?y2,1?y?2}.

Par définition cette aire est donnée par l"intégrale de la fonction constante égale à 1 sur

le domaineD. On calcule ensuite par tranche l"intégrale obtenue : D dxdy=? 2 1 y2 y dx)dy 2 1 (y2-y)dy = [y3/3-y2/2]21 = 7/3-3/2 = 5/6

Calculer l"intégrale triple :

V?x

2+y2+z2dx dy dzoùVest la boule de

centre (0,0,0) et de rayonR. Le domaine d"intégration est une boule centrée en 0. L"utilisation des coordonnées sphé- riques peut être intéressant dans ce cas. L"application F: (ρ,θ,φ)?→(ρcos(θ)sin(φ),ρsin(θ)sin(φ),ρcos(φ)) est une applicationC1bijective de]0,R[×]0,2π[×]0,π[sur son image. Cette image est la boule de centreRprivé de son bord et de la partie de la boule appartenant au demi- plan{(x,z,0)/ x≥0,z?R}. Ces parties manquantes de la boule sont de dimension

2; leur volume est nul. L"intégrale sur la boule est égale à l"intégrale sur l"image de

]0,R[×]0,2π[×]0,π[parF.

Le jacobien deFestρ2sin(φ). Il faut savoir faire ce calcul. Je l"ai fait en cours. Le théorème

du changements de variables donne ici : V?x

2+y2+z2dx dy dz=???

F(]0,R[×]0,2π[×]0,π[)?x

2+y2+z2dx dy dz

]0,R[×]0,2π[×]0,π[ρ ρ2sin(φ)dρ dθ dφ 2

MIEEVAR2011-2012On intègre ensuite par tranche. C"est particulièrement simple ici car le domaine est un

pavé et la fonction à intégrer un produit de fonctions dépendant de chaque coordonnée.

On obtient :

]0,R[×]0,2π[×]0,π[ρ ρ2sin(φ)dρ dθ dφ=? R 0

ρ3dρ.?

2π 0 dθ.? 0 sin(φ)dφ = [ρ4/4]R0.2π.[-cos(φ)]π0 =R4/4.2π.2 =πR4 Calculer le volume du corps limité par le planxOy, le cylindrex2+y2=axet la sphèrex2+y2+z2=a2. La partie dont le volume est demandée est appelée "temple de Viviani" (ou plus exactement la moitié du temple de Viviani car on ne prend que les points de troisième coordonnée positive). Le calcul est expliqué ci-dessous dans le casa= 1(pour obtenir le cas général il suffit de multiplier para3). 3

MIEEVAR2011-20124

MIEEVAR2011-2012Utiliser le théorème de Green-Riemann pour trouver l"aire de l"ellipse x2a 2+ y 2b 2= 1. Il faut comprendre l"énoncé comme : trouver l"aire de la partie compact délimitée par l"ellipse. Considérons le champFdont les coordonnées sont(-y/2,x/2). Ce champs est C

1surR2. L"ellipse est une courbe simple fermée qu"on peut paramétrée par

t?→(acos(t),asin(t)). AppelonsDl"intérieur de l"ellipse,γson bord. Le théorème de Green-Riemann donne l"égalité :?

Fdγ=??

D (∂F2∂x -∂F1∂y )dxdy.

IciF2=x/2etF1=-y/2donc(∂F2∂x

-∂F1∂y ) = 1et le deuxième terme de l"égalité est l"intégrale définissant l"aire deD. Calculons le premier terme au moyen du paramétrage donné plus haut :

Fdγ=?

2π 0 = 1/2? 2π 0 = 1/2? 2π 0 ?ab(sin2(t) + cos2(t))dt =πab

L"aire deDest doncπab.

Calculer l"aire deS+={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2, z?0}en utilisant la repré- sentation paramétréef(u,v) = (acosucosv , asinucosv , asinv).

Ce calcul a été fait pour la sphère entière en cours. Le voici avec le paramétrage sphérique

proposé dans l"énoncé : 5

MIEEVAR2011-20126

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