VECTEURS ET REPÉRAGE
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ?et ? sont de norme 1. TP info : Lectures de coordonnées : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/
(25 points) Dans lespace rapporté à un repère orthonormé direct( O
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct(. ) O;i j
LEÇON 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN 1
Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A B et C d'affixes respectives ?1 + ?3 ; 2 et. ?1 ?
SpeMaths
de la pyramide SABCD. Partie B : dans un repère. On considère le repère orthonormé (O ;. ???. OA
Exercice 01 : Soient les trois vecteurs définis dans un repère
définis dans un repère orthonormé. )
Base orthonormée. Coordonnées dun vecteur. Coordonnées du
Coordonnées du milieu d'un segment. Norme d'un vecteur. I) Repère orthonormé et base orthonormée. Définition. ? On définit le repère orthonormé dont.
Correction Fiche TP 7 Le plan est muni dun repère orthonormé (O
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;. ?? i ;. ?? j ). On considère une fonction f dérivable sur l'intervalle [?3 ; 2].
Chapitre 4 Alg`ebre linéaire et géométrie
a) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. b) Une base est orthonormée si et seulement si ses vecteurs sont de norme 1
( 3 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct )kj
ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU no 2 Sujet 32
2 mai 2020 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé une équation cartésienne de la droite D passant par le point A(?2 ; 5) et admettant pour vecteur ...
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Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si i http://www maths-et-tiques fr/telech/Lecture_coord pdf II Coordonnées d'un vecteur
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Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ?et ? sont de norme 1 http://www maths-et-tiques fr/telech/Lecture_coord pdf
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1/ Repère Orthonormé du Plan : Soient ( ) OI et ( ) OJ deux droites graduées leur unité de graduation est respectivement OI et OJ telles que :
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On définit le repère orthonormé dont l'origine est le point O le triplet (O ; I J) tel que : (OI) ? (OJ) et OI= OJ = 1 unité
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? Dans tout ce chapitre nous travaillerons dans un repère orthonormal ( O I J ) Un repère ( O I J ) est dit orthonormal ( ou orthonormé ) lorsque les
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(O I J) est un repère orthonormé 1 Placer les points : A(4 ; 0) B(-3 ; -3) C(-6 ; 4) 2 a Calculer les distances AB et BC
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Il est dit orthonormal s'il est or- thogonal et si chaque vecteur de cet ensemble est unitaire c'est-`a-dire de longueur 1 Une base orthogonale est une base
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puisque lorsque M décrit le demi cercle la norme du vecteur OM est constante ( = ) • u ? est dans le plan « méridien » il est donc orthogonal à u
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De plus si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est dit orthonormé O I J axe des abscisses axe des ordonnées
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11 avr 2022 · orthonormé on Ici les taxes sont perpendiculaires mais les considère les points A / Il B /¥-4 unités graphiques ne
Exercice 1Sujet zéro 2021
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF] et J le symétrique de E par rapport à F.
A BC DE FG H I J Dans tout l"exercice, l"espace est rapporté au repère orthonorméA ;# »AB,# »AD,# »AE?
1. a.Par lecture graphique, donner les coordonnées des points I et J.
b.En déduire les coordonnées des vecteurs# »DJ ,#»BI et# »BG. c.Montrer que# »DJ est un vecteur normal au plan (BGI). d.Montrer qu"une équation cartésienne du plan (BGI) est 2x-y+z-2=0.2.On notedla droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
a.Déterminer une représentation paramétrique de la droited. b.On considère le point L de coordonnées?23;16;56?
Montrer que L est le point d"intersection de la droitedet du plan (BGI).3.On rappelle que le volumeVd"une pyramide est donné par la formule
V=13×B×h
oùBest l"aire d"une base ethla hauteur associée à cette base. a.Calculer le volume de la pyramide FBGI. b.En déduire l"aire du triangle BGI.Exercice 2Bac S Amérique du Sud Novembre 2016
Partie A : un calcul de volume sans repère
On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux)représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABCD.On admettra que OS = OA.
A BCODSPage 1/
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Préparation du DS n°9 durée 2 heuresSpeMaths1.Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).
2.En déduire le volume, en cm3, de la pyramide SABCD.
Partie B : dans un repère
On considère le repère orthonormé
O ;--→OA ,--→OB ,--→OS?
1.On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].
a.Justifier que-→n(1 ; 1 ;-3) est un vecteur normal au plan (PQC). b.En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).2.Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale auplan (PQC).
a.Donner une représentation paramétrique de la droite (SH). b.Calculer les coordonnées du point H. c.Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est2? 11 11.3.On admettra que l"aire du quadrilatère PQCD, en unité d"aire, est égale à3?
11 8 Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.Partie C : partage équitable
Pour l"anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dontles dia- gonales du carré de base mesurent 24 cm. Elle s"apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son cou- teau sur le sommet. C"est alors qu"Anne arrête son geste et lui proposeune découpe plus originale : "Placelalame surlemilieu d"unearête, parallèlement àuncôtédelabase, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé». Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables.Est-ce le cas? Justifier la réponse.
Exercice 3Polynésie Septembre 2017
On s"intéresse à l"évolution au cours du temps d"une tumeur composée de cellules cancéreuses.
Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l"opération par une chimiothéra-
pie. Lors d"un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, laconcentration du médicament dans l"orga-
nisme, exprimée enμmol.L-1, peut être modélisée en fonction du tempst, exprimé en heure, par la fonction
cdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par c(t)=D k? 1-e-k 80t?où
Dest un réel positif qui représente le débit d"écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en
micromole par heure;Page 2/
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Préparation du DS n°9 durée 2 heuresSpeMathskest un réel positif qui représente la clairance du patient, expriméeen litre par heure.
La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus oumoins vite le médicament de son or-
ganisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au débutdu traitement. Il est nécessaire de la
déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débitD.1.Détermination de la clairanceAfin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes.On règle le débit de la perfusion
sur 112μmol.h-1; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient eton mesure la
concentration du médicament : elle est égale à 6,8μmol.L-1. a.Justifier que la clairancekdu patient est solution de l"équation 1121-e-3 40k?
-6,8k=0. b.Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l"intervalle ]0 ;+∞[. c.Donner une valeur approchée à 10-2de cette solution. Interpréter ce résultat.
2.Réglage du débit
a.Déterminer la limite?de la fonctioncen+∞en fonction du débitDet de la clairancek. b.La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidementde sa limite?.Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16
μmol.L-1.
En déduire le débitD, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de 5,85 L.h-1.
Exercice 4
On se place dans un repère orthonormé de l"espace. SoitDla droite passant parA(2;-5; 3)et de vecteur directeur-→u(2; 2; 1). Déterminer la distance du pointB(-1; 2;-4)à la droiteD.Page 3/
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Préparation du DS n°9 durée 2 heuresSpeMaths Corrigé 1Spécialité sujet 0, corrigé de l"APMEP Dans tout l"exercice, l"espace est rapporté au repère orthonorméA ;# »AB,# »AD,# »AE?
Les sommets du cube ont pour coordonnées : A((000)) , B((100)) , D((010)) , E((001)) , C((110)) , F((101)) , H((011)) et G((111))1. a.• Le point I est le milieu de [EF] donc I a pour coordonnées((((1
2 0 1)))) • Le point J est le symétrique de E par rapport à F, donc J a pour coordonnées((201)) b.On en déduit les coordonnées des vecteurs--→DJ((2 -1 1)) ,-→BI(((( -1201))))
et--→BG((011))c.• Les vecteurs-→BIet--→BGne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan
(BGI). •--→DJ·-→BI=-1+0+1=0 donc--→DJ?-→BI. •--→DJ·--→BG=0-1+1=0 donc--→DJ?--→BG.Donc le vecteur--→DJest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI), donc il est nor-
mal au plan (BGI). d.• Le vecteur--→DJ((2 -1 1)) est normal au plan (BGI) donc le plan (BGI) a une équation de la forme2x-y+z+d=0.
• Le point B appartient au plan (BGI) donc les coordonnées de B vérifient l"équation du plan;
donc 2xB-yB+zB+d=0, ce qui équivaut à 2-0+0+d=0, ce qui veut dire qued=-2. Donc une équation cartésienne du plan (BGI) est 2x-y+z-2=0.2.On notedla droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
a.La droitedest orthogonale au plan (BGI), et--→DJest un vecteur normal au plan (BGI), donc--→DJest
un vecteur directeur de la droited. Le point F appartient à la droiteddonc la droitedest l"ensemble des points M de coordonnées (x;y;z) tels que--→FMet--→DJsoient colinéaires. y-0=t×(-1) z-1=t×1Donc la droiteda pour équation???x=1+2t
y= -t z=1+t,t?R b.On considère le point L de coordonnées?23;16;56?
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Préparation du DS n°9 durée 2 heuresSpeMaths3=1+2t
1 6= -t 5 6=1+tOn trouvet=-1
6donc L?d.
• Le plan (BGI) a pour équation 2x-y+z-2=0; or 2xL-yL+zL-2=43-16+56-2=0, donc
L?(BGI).
Le point L est donc le point d"intersection de la droitedet du plan (BGI).3. a.La pyramide FBGI a pour base le triangle rectangle FBG, et pour hauteurIF.
• IF=1 2 • Le triangle rectangle FBG a pour aireFG×FB
2=12.Le volume de la pyramide FBGI est doncV=1
3×12×12=112.
b.La droitedest orthogonale au plan (BGI) et coupe ce plan en L. Le point F appartient àla droited,
donc on peut dire que la distance FL est la distance du point F au plan (BGI), autrement dit c"est la
hauteur de la pyramide FBGI dont le triangle BGI est la base. FL 2=?2 3-1? 2 +?16-0? 2 +?56-1? 2 =19+136+136=636=16donc FL=1?6 On appelleAl"aire du triangle BGI. On exprime le volume de la pyramide FBGI : V=13×FL×A??112=13×1?6×A??3×?
612=A??A=?
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