Tema 6

PROBLEMAS DE ONDAS. EFECTO DOPPLER

Para resolver este problema utilizaremos la fórmula del efecto Doppler: fE c + vE. = fR c + vR. Sentidos positivos de las velocidades.

El Efecto Doppler

Al alejarse se produce el efecto contrario: La frecuencia disminuye. Esto es el efecto Doppler. La velocidad del sonido en el aire es u.

Ejercicios del Efecto Doppler y el Efecto Fotoeléctrico

23/04/2018 Un auto de Fórmula 1 alcanza una velocidad de 350[km/h] en la recta más larga del circuito de SPA Francorchamps un fan de la F1 se ...

Efecto Doppler

Efecto Doppler. • “Es un fenómeno por el cual la frecuencia del sonido percibido por un observador (f') es diferente a la frecuencia realmente emitida por.

Tema 6 - El efecto Doppler y el desplazamiento cosmol´ogico al rojo

en Relatividad discutiremos primero el efecto Doppler ac´ustico. una expansión regulada por la gravedad cósmica y cuya fórmula es en realidad.

El efecto Doppler y el corrimiento al rojo y al azul

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Cuestiones y Problemas de F´?sica

9/09/2021 Efecto Doppler f1. “ f. ˆ. 1 ` v0 v. ?. Observador acercándose y foco en reposo. En las fórmulas anteriores v es la velocidad de las ondas ...

El efecto Doppler y el

desplazamiento cosmol´ogico al rojo

6.1 Introducci´on

El t ´erminoefecto Dopplerse refiere a todos los fen´omenos relacionados con el cambio de frecuencia observada para una perturbaci ´on peri´odica dada. Se denomina as´ı en honor al f ´ısico austriaco C. Doppler quien enunci´o los principios esenciales del mismo en 1842, en conexi

´on con la espectroscop´ıa at´omica.

Para comprender mejor las diferencias con el caso de la luz, que es el que nos interesa en Relatividad, discutiremos primero el efecto Doppler ac

´ustico. Veremos que en el caso

del sonido, o cualquier vibraci ´on que se propague por un medio, lo importante es la velocidad de fuente y receptor respecto al medio de propagaci

´on. En cambio, para la luz

en el vac ´ıo lo importante es la velocidad relativa entre la fuente y el receptor. El efecto Doppler relativista, que aplica a la luz, tiene en cuenta adem

´as que el ritmo del tiempo

para emisor y fuente en movimiento relativo son diferentes. Al final del tema interpretaremos el desplamiento al rojo del espectro de las galaxias y otros objetos lejanos en t ´erminos del efecto Doppler debido a su alejamiento a gran ve- locidad, si bien hoy d ´ıa lo consideramos una manifestaci´on de la expansi´on del universo, que produce efectos parecidos (v

´ease Tema 12).

6.2 Efecto Doppler ac´ustico

Todos estamos familiarizados con el efecto Doppler ac

´ustico: cambio de tono que ex-

perimenta un sonido cuando el observador (receptor), la fuente del sonido o ambos se mueven respecto al medio de propagaci ´on del mismo (habitualmente el aire). Conside- raremos, por simplicidad, que emisor y receptor se mueven a lo largo de la misma l

´ınea

recta. 47

48Tema 6: El efecto Doppler y el desplazamiento cosmol´ogico al rojow

1u2uRFigura 6.1: Fuente (F) y receptor (R) de un sonido en movimiento respecto al aire.

6.2.1 Fuente y receptor en movimiento respecto al aire

Pensaremos en la se

˜nal ac´ustica como una sucesi´on de pulsos separados por un intervalo de tiempo constantet(el periodo de la fuente).aSeawla velocidad del sonido respecto al aire y seanu1yu2respectivamente las velocidades de la fuente (F) y del receptor (R) respecto al aire (Fig. 6.1 ). Supondremos que ni F ni R superan la barrera del sonido (ju1j0=wu1wu2t)n0=wu2wu1n,(6.1) donden0es, por tanto, la frecuencia recibida por R, siendonla frecuencia emitida por F. Veamos ahora unos cuantos casos particulares de inter

´es. Especificamos entre par´ente-

sis el cambio de tono que sufre el sonido: se hace m

´as grave (menor frecuencia) o m´as

agudo (mayor frecuencia). Introducimos el cocienteb=v/wdondeves la velocidad relativa entre receptor y fuente.

6.2.2 Fuente en reposo

Receptor se aleja

(u1=0,u2=v) n

0=n(1b)(m´as grave)(6.2)

Receptor se acerca

(u1=0,u2=v) n

0=n(1+b)(m´as agudo)(6.3) a

Se trata entonces de un sonido puro. En general en una onda sonora se superponen diferentes frecuen- cias. Siempre podemos tratar cada una de ellas por separado.© www.ugr.es/local/jillana48

6.3. Efecto Doppler para la luz496.2.3 Receptor en reposo

Fuente se aleja

(u1=v,u2=0) n

0=n1+b(m´as grave)(6.4)

Fuente se acerca

(u1=v,u2=0) n

0=n1b(m´as agudo)(6.5)

N ´otese que parab1 (velocidades peque˜nas comparadas con las del sonido) da igual que la fuente se acerque (o aleje) al receptor o que el receptor se acerque (o aleje) a la fuente, pues en este caso 1/(1b)(1b).

6.3 Efecto Doppler para la luz

En el caso de la luz en el vac

´ıo s´olo importa la velocidad relativa entre la fuente y el observador. Consideraremos en primer lugar los casos en los que fuente y observador se mueven sobre la l ´ınea recta que los separa, alej´andose o acerc´andose. Despu´es trataremos el caso general, que incluye a estos dos como casos particulares as

´ı como el denominado

efecto Doppler transverso.

6.3.1 Fuente y observador se alejan

De nuevo podemos imaginarnos la se

˜nal como una sucesi´on de pulsos separados por un intervalo de tiempo constantet, seg´un la fuente.bSupongamos que el observador (receptor) se aleja con velocidadvrespecto a la fuente. En la Fig.6.2 hemos dibujado el diagrama espacio-tiempo correspondiente.

Es entonces directo deducir a partir de las l

´ıneas de universo de dos pulsos consecutivos que t 1=1c x1,t2=1c x2+t(6.6) y a partir de la l

´ınea de universo del receptor que

t 1=1v (x1x0),t2=1v (x2x0).(6.7) b

Se trata entonces de una luz monocrom´atica. En general una onda electromagn´etica es superposci´on de

ondas monocrom ´aticas que podemos tratar por separado. Ser´an ondasluminosassi su espectro corresponde al de la luz visible.

49© www.ugr.es/local/jillana

50Tema 6: El efecto Doppler y el desplazamiento cosmol´ogico al rojo(x ,t )11(x ,t )

2 2 x 0x 1 0x fuente t F FR R (t ) x1 (t ) 2v t

1. pulso2. pulso

receptor 1 x

2Figura 6.2: Diagrama espacio-tiempo y esquema para el alejamiento del receptor de la fuente.

Por tanto, podemos despejarDt=t2t1yDx=x2x1,

Dt=ctcv,Dx=cvtcv.(6.8)

Finalmente, aplicando las transformaciones de Lorentz obtenemos (b=v/c): t

0=Dt0=g

Dtvc 2Dx =tg(1b)=g(1+b)t,(6.9) y por tanto, n

0=g(1b)nes decirn0=s1b1+bn(desplazamiento al rojo)(6.10)

6.3.2 Fuente y observador se acercan

Cambiando el signo debse obtiene:

0=g(1+b)nes decirn0=s1+b1bn(desplazamiento al azul)(6.11)

N ´otese que parab1 (vc) obtenemos expresiones id´enticas a las del efecto Doppler ac

´ustico cuandovw.

6.3.3 Caso general y efecto Doppler transverso

Supongamos ahora que la fuente y el receptor no se mueven en la direcci

´on de la l´ınea

que los separa sino seg ´un indica la Fig.6.3 . Dos pulsos consecutivos emitidos por F tardan respectivamenter01/cyr02/cen llegar a R. Si la fuente est´a suficientemente lejos o los pulsos son suficientemente cortos entonces es una buena aproximaci

´on escribir

Dr0=r01r02=Dx0cosq.(6.12) © www.ugr.es/local/jillana50

6.3. Efecto Doppler para la luz51r"2

r" 1

RθF

x"21vx"Figura 6.3: Fuente y receptor no se mueven colinealmente. Estos dos pulsos fueron emitidos en dos instantes de tiempot01yt02. Todo ello seg´un las coordenadas del receptor R. El tiempo entre los dos pulsos que mide R est0, t

0= (t02+r02/c)(t01+r01/c) =Dt0Dr0c

=Dt0Dx0c cosq.(6.13) Para la fuente, ambos pulsos fueron emitidos en instantest1yt2, separados entre s´ı por el periodot=t2t1. Por otro lado, sabemos queDt0=t02t01=gt(dilataci´on temporal) y queDx0=vDt0=vgt. Por tanto, t

0=g(1bcosq)tes decirn0=ng(1bcosq).(6.14)

Para cosq=1 (fuente y receptor colineales) recuperamos los resultados (6.10) y (6.11). N ´otese que cuando no son colineales puede haber desplazamientos al rojo aunque fuente y receptor se acerquen, o al azul aunque se alejen (v

´ease la Fig.6.4 ). Para cosq=0

obtenemos elefecto Doppler transverso, debido exclusivamente al factor de Lorentz.????? entre fuente y observadorb=v/c. 51

52Tema 6: El efecto Doppler y el desplazamiento cosmol´ogico al rojo6.4 Desplazamiento cosmol´ogico al rojo como efecto Doppler

6.4.1 El par´ametro de desplazamiento al rojo

Es un hecho observacional que los espectros de la luz procedente de galaxias y otros objetos lejanos se encuentran desplazados al rojo. Se suele definir elpar´ametro de despla- zamiento al rojo z=n0nn =ll0l

0>0(6.15)

donden0es la frecuencia de la l´ınea espectral emitida por la fuente ynla medida en la

Tierra. An

´alogamente para las longitudes de ondal0yl.

La interpretaci

´on m´as obvia de este hecho es que todas las estrellas y galaxias leja- nas se alejan de la Tierra y por tanto sus espectros de desplazan por efecto Doppler. c

Sustituyendo

n=n0g(1+b)(6.16) se obtiene z=s1+b1b1,b=(z+1)21(z+1)2+1(6.17) dondev=bces la velocidad de alejamiento. N´otese que paravc, es decirb1, tenemos quezb.

6.4.2 La ley de Hubble-Humanson

Fue el norteamericano E. Hubble quien en 1919, tras establecer la existencia de gala- xias exteriores a nuestra V ´ıa L´actea, descubri´o que los espectros de tales galaxias se encontraban desplazados al rojo. En a ˜nos posteriores Humanson realiz´o muchas m´as observaciones que no s ´olo constataban este hecho sino que adem´as mostraban un patr´on bien definido, que en 1929 fue formulado como la ley de Hubble-Humanson: el despla- zamiento al rojo es proporcional a la distancia, cz=H0d,(6.18) lo cual se interpret ´o como el efecto Doppler debido al alejamiento de las galaxias a una velocidad proporcional a la distancia v=H0d.(6.19)

Por tanto, el par

´ametro de desplazamiento al rojo es una medida de la distancia a la que se encuentra la galaxia. La medida de la constante de HubbleH0, que interviene en varias magnitudes cosmol ´ogicas, se conoce cada vez con mayor precisi´on: H

0100hkm s1Mpc1,h=0.70.1 .(6.20) c

¿Significa esto que la Tierra es el centro del Universo? Responderemos a esta pregunta en el Tema 12.© www.ugr.es/local/jillana52

6.4. Desplazamiento cosmol´ogico al rojo como efecto Doppler53As

´ı por ejemploz=0.1 corresponde a una distancia de unos 40 Mpc, donde 1 pc (parsec) equivale a 3.26 a

˜nos luz.d

Obtener espectros de galaxias u objetos muy lejansos y adem

´as averiguar su distan-

cia por otro m ´etodo para comprobar si se verifica la ley de Hubble conlleva una gran dificultad. Hoy d ´ıa se sabe que la ley de Hubble (6.18) se cumple muy bien hasta distan- cias dez0.1. Esto no nos extra˜nar´a cuando conozcamos los modelos de universo en Relatividad General. Entonces veremos que este alejamiento se interpreta en t

´erminos de

una expansi ´on regulada por la gravedad c´osmica y cuya f´ormula es en realidad H 0dL=c z+12 (1q0)z2+... (6.21) dondeq0es el llamado par´ametro de deceleraci´on ydLla distancia de luminosidad. Por tanto la ley de Hubble lineal ( 6.18 ) es v ´alida s´olo paraz1. Tambi´en veremos que la observaci ´on de cierto tipo de supernovas lejanas (que se consideran candelas est´andar) ha permitido medir el par ´ametro de deceleraci´on y desvelado queq0<0, es decir, el universo est ´a en expansi´on acelerada! (Fig.12.2 ) Esto parece indicar que existe una componente, llamada energ ´ıa oscura, que produce un efecto contrario al que produce la materia, ya sea la ordinaria o la materia oscura.

Ejercicios

6.1¿A qu´e velocidad hay que conducir hacia un sem´aforo para que la luz roja (l=

650 nm) se vea verde (l=525 nm)?

6.2Utilizando el efecto Doppler, encuentra la frecuencia con que llegan a los gemelos

Apolo y Diana las felicitaciones de Navidad (n

´umero de felicitaciones al a˜no) y

comprueba que coincide con el resultado que encontramos en el Tema 6.d

Para hacerse una idea, nuestra galaxia tiene un di´ametro de unos 100.000 a˜nos luz y la galaxia m´as

cercana, Andr ´omeda, se encuentra aproximadamente a 1 Mpc, es decirz0.0025.

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