[PDF] [PDF] 1 Exercices Feuille d'exercices no 1

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L2 - UE MAT234

Feuille d"exercices n

o11E xercices.

Exercice 1.Produit matricielCalculer les produits AB et BA, quand ils existent, dans les cas suivants :

1.

A AE¡1 2¡1 3¢, BAEt¡¡1 0 2 1¢

2.

A AEµ1 0

, BAE0 @¡1 1 0 0

1¡2

1 A 3. A AE0 B

BBB@1 2 1 0 0 0

1¡1 0 0 0 0

0 0 0 1¡1 5

0 0 0 2¡2¡1

0 0 0 1¡3 41

C

CCCA, BAE0

B

BBBBBB@¡1¡1 0 0

2 1 0 0

3 5 0 0

0 0 2¡4

0 0 5¡2

0 0 1 11

C

CCCCCCA

Indication.Noter queAetBsont des matrices diagonales par bloc.

Exercice 2.Représentation d'une application linéaire.Donner la représentation matricielle des applications linéaires sui-

vantes dans les bases canoniques des espaces en jeu.

1.f:(R3!R3

(x,y,z)7!(xÅ2yÅ3z,2y¡z,xÅz). 2. la pr ojectiondan sR2sur la droite engendrée pare1AE(2,1) parallèlement àe2AE(1,1). 3.

la symétr ied ansR2par rapport à la droite engendrée pare1parallèlement àe2(on rappelle que c"est l"application linéaire

qui envoiee1sure1ete2sur¡e2).

4.f:(R

2[X]!R2[X]

P7!2(XÅ1)P¡(X2¡1)P0.

Exercice 3.On considère l"espaceR3muni de la base canonique B. 1. M ontrerqu eu1AE(2,¡1,¡2),u2AE(1,0,¡1) etu3AE(¡2,1,3) forment une base B0deR3. 2.

S oitf:R3

!R3une application linéaire dont la matrice dans la base canonique est AAE0 @9¡6 10

¡5 2¡5

¡12 6¡131

A . Calculer les matrices de passage d"une base à l"autre. 3.

C alculerla mat ricede fdans la base B0.

Exercice 4.On considère l"espaceR2muni de la base canonique BAE(e1,e2). Soitfl"application linéaire donnée par

f:(R2!R2 (u,v)7!(2u,¡v). dans la base B. 1.

Dé terminerla mat riceA de fdans la base B.

2. M ontrerqu ele sv ecteurse01AE(3,1) ete02AE(5,2) forment une base B0deR2. 3.

Dé terminerla mat riceA

0defdans le base B0en calculantf(e01) etf(e02).

4. C alculerles mat ricesde pa ssageP et Q en trel esba sesB et B 0. 5.

Dé terminerA

0par le formule de changement de base.

6. C alculerles mat ricesde f5dans les deux bases Indication. AAEPA0P¡1implique queAnAEPA0nP¡1. Exercice 5.On considère l"espaceR3muni de la base canonique. Soit f:(R3!R3 1. D éterminerune base d eker fet en déduire la dimension de Imf. 2. D éterminerla mat riceA d efdans la base canonique et (a) v érifierqu eles v ecteurscolonn esde A son tlié se ten d éduireune base de I mf. (b)

v érifierqu eker fest orthogonal (pour le produit scalaire canonique deR3) aux vecteurs lignes de A.

3. L "équationf(x,y,z)AE(1,¡2,¡1) a-t-elle des solutions? Faire deux preuves différentes. 4.

Q uelest l "ensembledes sol utionsde l "équationf(x,y,z)AE(1,2,¡3)? Plus généralement, décrire l"ensemble des solutions

de l"équationf(x,y,z)AEY, lorsque Y2Imf. 2

F aires esga mmes.

Exercice 6.Écrire les systèmes suivants sous forme matricielle et à l"aide d"applications linéaires deR3dansR3. Les résoudre

par la méthode de Gauss. (1) 8 :xÅyÅzAE0 xÅ2yÅ3zAE2 xÅ3yÅ4zAE3(2)8 :xÅ2yÅzAE0 xÅ2y¡zAE2 xÅ2yÅ3zAE1(3)8 :xÅyÅzAE1 xÅ2yÅ3zAE2 xÅ3yÅ4zAE2(4)8 :x¡yÅzAE0 xÅyÅ3zAE2 xÅ4zAE2(5)8 :xÅ3y¡zAE9

3xÅ9y¡3zAE27

¡2xÅy¡5zAE10

Exercice 7.Pour chaque matrice M calculer en posant un système la matrice inverse M¡1.

MAEµ1 1

;MAE0 @1 1 1 0 2 1

0 0¡11

A ;MAE0 @1 2¡1

2 3¡1

2 2¡11

A Exercice 8.Donner la répresentation matricielle de l"applicationfdans la base B. f(µx )AEµ2xÅy ; BAEµµ1 ,µ0 f(0 @x y z1 A )AE0 @2x¡yÅz x¡3z xÅyÅz1 A ; BAE0 @0 @1 0 01 A ,0 @0 1 01 A ,0 @0 0 11 A1 A f(µx )AEµxÅy ; BAEµµ1 ,µ1 f(0 @x y z1 A )AE0 @xÅyÅz

¡x¡y¡z

01 A ; BAE0 @0 @1 1 11 A ,0 @¡1 1 01 A ,0 @¡1 0 11 A1 A Exercice 9.Calculer la matrice de passage P de la base B vers la base B0.

BAEµµ1

,µ0 ,B

0AEµµ1

,µ2 BAE0 @0 @1 0 01 A ,0 @0 1 01 A0 @0 0 11 A1 A ,B0AE0 @0 @1 1 11 A ,0 @2 1 11 A0 @0 1 01 A1 A

BAEµµ1

,µ1 ,B

0AEµµ1

,µ2 BAE0 @0 @1 1 01 A ,0 @0 1 11 A0 @1 0 11 A1 A ,B0AE0 @0 @1 1 11 A ,0 @2 1 11 A0 @0 1 01 A1 A

Exercice 10.Calculer la matrice M defdans la base B. Calculer la matrice de passage P de B vers B0. Calculer l"inverse P¡1et

en déduire la matrice defdans la base B0, NAEP¡1MP. Recalculer N directement et vérifier vos calculs.

f(µx )AEµx¡y ,BAEµµ1 ,µ0 ,B

0AEµµ1

,µ1 f(0 @x y z1 A )AE0 @x¡2yÅz xÅy xÅyÅz1 A ,BAE0 @0 @1 0 01 A ,0 @0 1 01 A ,0 @0 0 11 A1 A ,B0AE0 @0 @1 2 01 A ,0 @0 1

¡11

A ,0 @1 3 01 A1 A f(µx )AEµx¡y ,BAEµµ1 ,µ1 ,B

0AEµµ1

f(0 @x y z1 A )AE0 @x¡2yÅz xÅy xÅyÅz1 A ,BAE0 @0 @1 0 11 A ,0 @1 1 01 A ,0 @2 1 21
A1 A ,B0AE0 @0 @1 2 01 A ,0 @0 1

¡11

A ,0 @1 3 01 A1 A 3

A pplicationse te xercicesplus so phistiquées.

Exercice 11.Applications à la chimieEquilibrer les réactions suivantes à l"aide d"un système linéaire.

1.

N aClÅBeF2¡¡ÈNaFÅBeCl2

2.

F eÅCl2¡¡ÈFeCl3

3. K MnO4ÅHCl¡¡ÈKClÅMnCl2ÅH2OÅCl2 4. K 5. C

6H5COOHÅO2¡¡ÈCO2ÅH2O

6. K 7. P hCH3ÅKMnO4ÅH2SO4¡¡ÈPhCOOHÅK2SO4ÅMnSO4ÅH2O

Exercice 12.Applications à l'éléctroniquePour chacun de ces trois circuits éléctroniques, utiliser la première et deuxième loi

de Kirchoff pour établir un système d"équations linéaires dans les courants I

1,I2... etc. et résoud-le.

Exercice 13.Analyse des signauxDans l"analyse des signaux, il est souvent nécesssaire de décomposer un signalf(t) en une

superposition d"ondes exponentiellesei¹t.

Après avoir mesurémfois le signalf(t) à des tempstAE0,1,...,m¡1, nous connaissons les valeursf(0),f(1)...,f(m¡1). Nous

cherchons à trouver une fonction de la forme qui interpole les valeurs mesurées pour lesf(i)s, cad, telle que 1.

M ontrerqu ececi est l ec assi et seul ementsi

M0 B

BBB@¸

0 1 m¡11 C

CCCAAE0

B

BBB@f(0)

f(1) f(m¡1)1 C CCCA ou M est la matrix donnée par l"équationmjlAEe2(j¡1)(l¡1)¼i/m. 2.

S oientM

j,Mkle j-ieme et k-ieme colonne de M, que nous considérons en tant que vecteurs. Montrer que Mj.MkAEPlAEm¡1

lAE0(e2(jÅk¡2)¼i/m)l. En déduire que Mj.MkAE0 sijÅk¡2 n"est pas un multiple demet Mj.MkAEmsinon.

3. M ontrerqu esi M et N son tdes m atricestell esqu eM j.NkAE1 sijAEket 0 sinon alorstNMAEId. Déduire M¡1. 4.

D onnerles ¸js en fonction desf(k)s.

5.

V ousdev ezpr ogrammersu ror dinateuru nscr iptqu ipr endracomme don néesle sv aleursf(j) et qui donnera les coeffi-

cients¸k. Serait il à votre avis plus pertinent de faire le calcul par résolution d"un système ou en utilisant le formule trouvé

ci-dessus? Pourquoi?

Exercice 14.Applications à l'économie et la théorie de la stratégie.Un jeu de stratégie dont le but est le partage d"un butin

oppose deux joueurs.

A chaque tour un joueur peut choisir entre trois stratégies, 1, 2 et 3. Lorsque le stratégieirencontre la stratégiejcelui qui a

jouéiremporte une proportionmi jdu butin. On note qu"on a doncmi jÅmjiAE1 etmiiAE1/2.

Un joueur a pour politique de jouer 1 avec probabilitép, 2 avec probabilitéqet 3 avec probabilitér. On supposera quep,q,rÈ0.

On dit alors que ce joueur joue une stratégie (p,q,r). 1.

C alculerl esga insesp erésp arson ad versairesi ce a dversairej oue1 (r esp.2, r esp.3 .)N ousn otonsc esg ainsN (1),N(2),N(3).

2.M ontrerq u"iln "existepas d est ratégie( p0,q0,r0) permettant un gain esperé deÈ50% face à une stratégie (p,q,r) si et

seulement si N(1)AEN(2)AEN(3)AE1/2. On dit alors que la stratégie (p,q,r) est stable. 3.

E crireles équ ationsqu itr aduisentl as tablitéde la st ratégie( p,q,r) et les résoudre dans les cas suivants :

(a) M AE0 @1/2 1 0

0 1/2 1

1 0 1/21

A (jeu du papier-pierre-ciseaux) (b) M AE0 @1/2 1 1/3

0 1/2 1

2/3 0 1/21

A

Correction de l"exercice1.1.AB AE0, BAAE0

B

B@¡1¡2 1¡3

0 0 0 0

2 4¡2 6

1 2¡1 31

C CA 2.

AB n "existepas ,B AAE0

@0¡1 0 0

¡1 21

A 3.

AB AE0

B

BBB@6 6 0 0

1 0 0 0

0 0 2 3

0 0¡7¡5

0 0¡9 61

C

CCCA, BA n"existe pasCorrection de l"exercice2.1.

0 @1 2 3

0 2¡1

1 0 11

A 2.

µ1 0

3.

µ1 0

4. 0 @1 1 0 2 1 2

0 1 11

ACorrection de l"exercice3.1.u1AE(2,¡1,¡2),u2AE(1,0,¡1) etu3AE(¡2,1,3) indép. 2. P AE0 @2 1¡2

¡1 0 1

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