[PDF] [PDF] Exercices Corrigés 8 mar 2018 · Exercice 5 –

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1

Algebre

Cours Fondements S1 et S2

Exercices Corriges

Fevrier 2018

March 8, 2018

2

Contents

1 Systemes d'equations lineaires 4

1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Matrices26

2.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Espaces vectoriels35

3.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Sous-Espaces Vectoriels 49

4.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Applications lineaires83

5.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Matrices Elementaires 112

6.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3

1 Systemes d'equations lineaires

1.1 Enonces

Exercice 1{K=R. Nous considerons l'equation lineaire :x1+x2+x3+x4= 0.

1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?

2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?

3) Donner les solutions de cette equation.

Exercice 2{K=R. Nous considerons l'equation lineaire : 2x1+x2x34x4= 5.

1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?

2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?

3) Donner les solutions de cette equation comme somme d'une solution particuliere et des combinaisons

lineaires de 3 elements deR4.

4) Ecrire l'equation homogene associee. Quelles sont les solutions de cette equation ?

Exercice 3{K=R. Nous consideron le systeme d'equations lineaires : (E)"x

1+x2x3x4= 1

x

1+ 2x22x32x4= 0:

1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.

2) Quelles sont les variables libres deE0? Resoudre alorsE0.

Exercice 4{K=R. Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2x3x4= 1 (E1)

x

1+ 2x22x32x4= 0 (E2)

2x1+x2+x3+x4= 2 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

2) Donner un systeme trianguleE00ayant les m^emes solutions queE. Preciser les variables libres deE00?

3) Resoudre le systeme lineaireE.

4 Exercice 5{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2+x3+x4= 3 (E1)

2x1x2+ 2x33x4= 0 (E2)

4x15x2+ 4x311x4=6 (E3):

1) Donner en utilisant avec precision l'algorithme de triangulation du cours un systeme triangule ayant les

m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres du systeme triangule obtenu ?

2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. Vous exprimerez ces solutions sous

forme de la somme d'un element deR4et de l'ensemble des combinaisons de deux elements deR4que l'on precisera.

3) Quelles sont alors les solutions du systeme sans second membre associe aE?

Exercice 6{Nous considerons le systeme d'equations lineaires a coecients reels : (E)2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (E1)

2x12x2+ 3x34x4= 3 (E2)

x

1x2+x4= 3 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables de ce systeme ? Donner en utilisant avec precision l'algorithme de

triangulation du cours un systeme triangule ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres

du systeme triangule obtenu ?

2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. On exprimera ces solutions sous

forme de la somme d'un element deR4et de l'ensemble des combinaisons d'elements deR4que l'on precisera.

3) M^emes questions avec le systeme d'equations lineaires :

(H)2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (S1)

2x12x2+ 3x34x4= 3 (S2)

x

1+x2+x4= 3 (S3):

Exercice 7{K=R. Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2x3+x4= 1 (E1)

2x1+ 4x2+ 4x34x4= 0 (E2)

3x1+ 2x2+ 2x32x4= 4 (E3):

5

1) Quel est l'ordre des variables du systemeE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

2) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce

systeme triangule ?

3) Resoudre le systeme d'equations lineairesE.

Exercice 8{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2x3+x4= 1 (E1)

x

1+ 2x2+ 3x34x4= 0 (E2)

x

1+ 2x23x3+x4= 2 (E3):

1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce

systeme triangule ?

2) Resoudre ce systeme en exprimant ses solutions a l'aide des variables libres du systeme triangule ?

Exercice 9{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6

4x3+x2+x1= 1 (E1)

2x3+ 2x2+x1= 0 (E2)

x

3+x2+ 2x1= 2 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE?

2) Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

3) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.

4) Quelles sont les variables libres deE0? Quelles sont les solutions deE0? Quels sont les triplets de reels

(x1;x2;x3) de reels solutions deE?

Exercice 10{

Nous considerons le systeme de 3 equations a 4 inconnues : (E)2 6 664x

1+x2x3x4= 1 (E1)

x

1+x2+x32x4= 3 (E2)

2x1x2+ 2x3x4= 2 (E3)

3x1+ 3x33x4= 5 (E4):

6

1) Quel est l'ordre des variablesx1;x2;x3;x4de ce systeme. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de

l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ?

2) Resoudre le systemeE. Verier les calculs.

Exercice 11{Nous considerons le systeme de 4 equations a 4 inconnues a coecients rationnels : (E)2 6 664x

1+ 2x2x3+ 2x4= 1 (E1)

2x1x2+x3+ 3x4= 1 (E2)

3x1+x2+ 5x4= 2 (E3)

x

13x2+ 2x3+x4= 0 (E4):

1) Quel est l'ordre des variablesx1;x2;x3;x4de ce systeme. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de

l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ?

2) Trouver les quadruplets de nombres rationnels solutions du systeme (E).

3) Verier les calculs en testant une solution particuliere.

4) Resoudre le systeme :

(Eh)2 6 664x

1+ 2x2x3+ 2x4= 0 (E01)

2x1x2+x3+ 3x4= 0 (E02)

3x1+x2+ 5x4= 0 (E03)

x

13x2+ 2x3+x4= 0 (E04):

1.2 Corrections

Correction de l'exercice 1 :

1) Une solution de l'equationx1+x2+x3+x4= 0 est un quadruplet de reels (s1;s2;s3;s4) tels que

s

1+s2+s3+s4= 0.

La variablex1est la premiere variable, la variablex2la deuxieme,x3la troisieme etx4la quatrieme. L'equation

commence parx1. elle est d'ordre 1. Comme le systeme est constistue d'une seulle equation d'odre 1, l'ordre

des equations du systeme est strictement croissant. Le systeme est triangule. La variablex1est la seule

7 variable de t^ete. Les variablesx2;x3;x4sont les variables libres.

2) Le quadruplet de reels (x1;x2;x3;x4) est une solution de notre equation si et seulement si :

x

1=x2x3x4:

Ainsi , l'ensembleSdes solutions est :

S=f(x2x3x4;x2;x3;x4) tels quex2;x3;x42Rg;

=f+x2(1;1;0;0) +x3(1;0;1;0) +x4(1;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg:

Ainsi, les solutions de notre equation sont l toutes les combinaisons lineaires des trois elements deR4:

(1;1;0;0), (1;0;1;0) et (1;0;0;1).

Correction de l'exercice 2 :

1) Une solution de l'equation 2x1+x2x34x4= 5 est un quadruplet de reels (s1;s2;s3;s4) tels que

2s1+s2s34s4= 5.

La variablex1est la premiere variable, la variablex2la deuxieme,x3la trosieme etx4la quatrieme. L'equation

commence parx1. elle est d'ordre 1. Comme le systeme est constistue d'une seulle equation d'odre 1, l'ordre

des equations du systeme est strictement croissant. Le systeme est triangule. La variablex1est la seule

variable de t^ete. Les variablesx2;x3;x4sont les variables libres.

2) Le quadruplet de reels (x1;x2;x3;x4) est une solution de notre equation si et seulement si :

x 1=12 x2+12 x3+ 2x4+52

Ainsi , l'ensembleSdes solutions est :

S=f(12

x2+12 x3+ 2x4+52 ;x2;x3;x4) tels quex2;x3;x42Rg; =f(52 ;0;0;0) +x2(12 ;1;0;0) +x3(12 ;0;1;0) +x4(2;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg: 8 Ainsi, les solutions de notre equation sont les sommes du quadruplet de reels ( 52
;0;0;0) avec toutes les com- binaisons lineaires des trois elements deR4: (12 ;1;0;0), (12 ;0;1;0) et (2;0;0;1).

3) L'equation homogene associee est

2x1+x2x34x4= 5:

Ses solutions sont :

fx2(12 ;1;0;0) +x3(12 ;0;1;0) +x4(2;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg:

Correction de l'exercice 3 :

1) NotonsEle systeme :

(E)"x

1+x2x3x4= 1 (E1)

x

1+ 2x22x32x4= 0 (E2):

Les variables de ce systeme sontx1;x2;x3;x4ordonnees naturellement (x1est la premiere variable, ...). Les

equationsE1etE2du systemeEsont d'ordre 1. Notre systeme est donc ordonne. Le systeme suivant a les m^emes solutions que (E) : (E0)"x

1+x2x3x4= 1 (E1)

x

2x3x4=1 (E2E1):

L'equationE1est d'ordre 1 de variable de t^etex1, l'equationE2E1est d'ordre 2 de variable de t^etex2.

Ainsi, le systemeE0est triangule. Ses variables libres sontx3etx4.

2) Pour resoudreE0, doncE, il sut de remonter les equations deE0. La derniere equation deE0donne

l'expression dex2a l'aide des variables libresx3etx4: x

2=x3+x41

9 Remplaconsx2par sa valeur dans les equations precedentes, on obtient : x

1+x3+x41x3x4= 1;

soit : x

11 = 1:

Nous obtenons donc l'expression dex1a l'aide des variables libresx3etx4:x1= 2. Ainsi, l'ensembleSdes solutions est :

S=f(2;x3+x41;x3;x4) tels quex3;x42Rg;

S=f(2;1;0;0) +x3(0;1;1;0) +x4(0;1;0;1) tels quex3;x42Rg:

Pour verier, nous constatons bien que (2;1;0;0) est une solution deEet que (0;1;1;0) et (0;1;0;1) sont

solutions du systeme sans second membre associe aE: (E0)"x

1+x2x3x4= 0

x

1+ 2x22x32x4= 0:

Correction de l'exercice 4 :

1) Le systemeEa quatre variables. L'ordre des variables du systemeEest l'ordre naturel :x1est la premiere

variable,x2la deuxieme,x3la troisieme etx4la quatrieme. Les coecients dansE1,E2etE3dex1sont non nuls. Les trois equationsE1,E2etE3sont donc d'ordre 1. Le systemeEest donc ordonne.

2) Demarrons l'algorithme de triangulation.

Etape 1: Utilisons (E1) pour faire monter l'ordre des equations suivantes. Le systeme suivant a m^emes

solutions queE: (E0)2 6 4x

1+x2x3x4= 1 (E1)

x

2x3x4=1 (E02=E2E1)

x2+ 3x3+ 3x4= 0 (E03=E32E1): 10 Les equationsE1;E02;E03sont respectivement d'ordre 1;2;2. Ce syteme est ordonne.

Etape 2: Utilisons la deuxieme equation pour faire monter l'ordre de la troisieme. Le systeme suivant a

m^emes solutions queE: (E00)2 6 4x

1+x2x3x4= 1 (E1)

x

2x3x4=1 (E02)

2x3+ 2x4=1 (E003=E03+E02):

Lesequations de ce dernier systeme sont d'ordre respectivement 1;2;3. Ce systeme est triangule. L'algorithme

de triangulation aboutit ici en deux etapes. Les variables de t^ete du systeme triangule precedentE00sontx1

pour la premiere equation,x2pour la deuxieme equation etx3pour la troisieme equation. Ainsi,x4est la seule variable libre de ce systeme triangule.

3) Resolvons le systeme trianguleE00qui a m^emes solutions que notre systemeE. La derniere quation de

E

00donne :

2x3=12x4; x3=12

x4:

Il vient alors :

x

2=x3+x41 =32

Puis :

x

1=x2+x3+x4+ 1 =32

12 + 1 = 2:

Les solutions deEsont donc l'ensemble :

f(2;32 ;12 x4;x4) tels quex42Rg; ou encore : f(2;32 ;12 ;0) +x4(0;0;1;1) tels quex42Rg; 11

Correction de l'exercice 5 :

1) L'ordre des variablesx1;x2;x3;x4est l'ordre naturel. Les trois equations deEsont d'ordre 1. Le

systeme est donc ordonne. Demarrons l'algorithme de triangulation. Etape 1: UtilisonsE1pour faire monter l'ordre des equations suivantes. Le systeme suivant a m^emes solutions queE: (E0)2 6 4x

1+x2+x3+x4= 3 (E1)

3x25x4=6 (E02=E22E1)

9x215x4=18 (E03=E34E1):

Les equationsE1;E02;E03sont respectivement d'ordre 1;2;2. Ce systeme est ordonne.

Etape 2: Utilisons la deuxieme equation pour faire monter l'ordre de la troisieme. Le systeme suivant a les

m^emes solutions queE: 2 6 4x

1+x2+x3+x4= 3 (E1)

3x25x4=6 (E02=E22E1)

0 = 0 (E033E02):

"Nettoyons" le systeme obtenu en enlevant l'equation 0 = 0. On obtient un systeme ayant les m^emes solutions

queE: (E00)"x

1+x2+x3+x4= 3 (E1)

3x25x4=6 (E02=E22E1):

Les equations de ce systeme sont d'ordre respectivement 1;2. Ce systeme est triangule. Le premier algorithme

est termine.

2) ResoudreErevient donc a resoudre le systeme trianguleE00. La variable de t^ete de (E1) estx1, la

variable de t^ete de (E02) estx2, les variables libres deE00sont doncx3etx4. Resolvons ce systeme triangule

12 en suivant la methode du cours. La derniere equation donne : x

2= 253

x4: Remplacons cette valeur dex2dans l'equation precedente, on obtient : x

1+x323

x4= 1:

Nous obtenons :

x

1= 1x3+23

x4:

Nous avons ainsi exprimex1etx2a l'aide des variables libres. Ainsi, l'ensembleSdes solutions deEest :

S=f(1x3+23

x4;253 x4;x3;x4) tels quex3;x42Rg:

Soit :S=f(1;2;0;0) +x3(1;0;1;0) +x4(23

;53 ;0;1) tels quex3;x42Rg: Nous avons, comme demande, exprime l'ensemble des solutions deEsous la forme de la somme d'une solution particuliere (1;2;0;0) et des combinaisons des vecteurs (1;0;1;0) et (23 ;53 ;0;1) deR4.

3) Nous savons que l'ensemble :

S=fx3(1;0;1;0) +x4(23

;53 ;0;1) tels quex3;x42Rg est l'ensemble des solutions du systeme sans second membre : ~E)2 6 4x

1+x2+x3+x4= 0

2x12x2+ 2x33x4= 0

4x15x2+ 4x311x4= 0:

13

On peut verier que l'on ne s'est pas trompe dans les calculs en constatant que (1;2;0;0) est solution des

3 equations deEet que (1;0;1;0) et (23

;53 ;0;1) sont solutions des trois equations de~E.

Correction de l'exercice 6 :

1) La premiere variable estx1, la deuxiemex2, la troisiemex3et la quatriemex4. le systemeEest ordonne

car les trois equations du systeme sont d'ordre 1.

Etape 1Elle consiste a utiliser la premiere equation du systemeEpour faire monter l'ordre des suivantes;

puis, si besoin est : nous simplions , stoppons ou on ordonons. Utilisons donc la premiere equation du

systemeEpour faire monter l'ordre des suivantes : (E0)2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (E1)

x

32x4=1 (E02=E22E1)

x3+ 2x4= 1 (E03=E3E1):

Ce systeme est ordonne.

Etape 2Elle consiste a utiliser la deuxieme equation du systemeE0pour faire monter l'ordre des suivantes;

puis, si besoin est : nous simplions , stoppons ou on ordonons. Utilisons la deuxieme equation du systeme

E

0pour faire monter l'ordre des suivantes :

2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (E1)

+x32x4=1 (E02=E22E1) + 0 = 0 (E03E02):

Nous pouvons supprimer la derniere equation 0 = 0. Nous obtenons donc le systeme trianguleE00qui a m^eme

solution que le systeme de depart : (E00)"x

1x2+x3x4= 2 (E1)

+x32x4=1 (E02): 14

Les variables de t^ete des equations de ce systeme triangule sontx1etx3. Les variables libres sont doncx2etx4.

2) Pour resoudre un systeme triangule, on part de la derniere equation et on remonte. La derniere equation

donne : x

3=1 + 2x4:

La premiere equation donne alors :

x

1=x2x3+x4+ 2 =x2+ 12x4+x4+ 2 =x2x4+ 3:

SoitSl'ensemble des solutions deE, on obtient :

S=f(x2x4+ 3;x2;1 + 2x4;x4) tels quex2;x42Rg;

S=f(3;0;1;0) +x2(1;1;0;0) +x4(1;0;2;1) tels quex2;x42Rg; VericationLe lecteur veriera que (1;0;2;1) est bien solution de (E)2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (E1)

2x12x2+ 3x34x4= 3 (E2)

x

1x2+x4= 3 (E3):

et que (1;1;0;0) et (1;0;2;1) sont solutions du systeme dit homogene associe aE: 2 6 4x

1x2+x3x4= 0

2x12x2+ 3x34x4= 0

x

1x2+x4= 0:

3) La premiere variable estx1, la deuxiemex2, la troisiemex3et la quatriemex4. le systemeHest

ordonnee car les trois equations du systeme sont d'ordre 1. 15

Etape 1Elle consiste a utiliser la premiere equation du systemeHpour faire monter l'ordre des suivantes;

puis, si besoin est : nous simplions , stoppons ou on ordonons. Utilisons la premiere equation du systeme

Hpour faire monter l'ordre des suivantes :

2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (S1)

x

32x4=1 (S22S1)

2x2x3+ 2x4= 1 (S3S1):

Ordonons, on obtient :

(H0)2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (S1)

2x2x3+ 2x4= 1 (S3S1)

x

32x4=1 (S22S1):

Comme ce systeme est triangule l'algorithme est termine en une etape. Il admet pour seule variable libre :

x

4. ResolvonsHdoncH0. Partons de la derniere equation et remontons :

x

3=1 + 2x4:

La deuxieme equation donne alors :

2x2=x32x4+ 1 =1 + 2x42x4+ 1 = 0:

On obtientx2= 0. La premiere equation donne alors : x

1=x2x3+x4+ 2 = 12x4+x4+ 2 = 3x4

Soit l'ensemble des solutions deS, on obtient :

=f(3x4;0;1 + 2x4;x4) tels quex42Rg; =f(3;0;1;0) +x4(1;0;2;1) tels quex42Rg: 16 Verication :Le lecteur veriera que (1;0;2;1) est bien solution deHet que (1;1;0;0) et (1;0;2;1) sont solutions du systeme dit homogene associe aH: 2 6 4x

1x2+x3x4= 0

2x12x2+ 3x34x4= 0

x

1+x2+x4= 0:

Correction de l'exercice 7 :

1) Le systemea quatre variables. L'ordre des variables du systemeest l'ordre naturel :x1est la

premiere variable,x2la deuxieme,x3la troisieme etx4la quatrieme. Les coecients dansE1,E2etE3dex1sont non nuls. Les trois equationsE1,E2etE3sont donc d'ordre 1.

2) Le systemeEest donc ordonne. Demarrons l'algorithme de triangulation.

Etape 1: UtilisonsE1pour faire monter l'ordre des equations suivantes. Le systeme suivant a m^emes solutions queE: (E0)2 6 4x

1+x2x3+x4= 1 (E1)

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