Physique: Cinématique du point matériel
On peut utiliser le référentiel terrestre dans une première approximation Accélération instantanée dans un repère cartésien. Les coordonnées du vecteur ...
Système de coordonnées
Pour convertir des cartésiennes en cylindriques on utilise: r2 = x2 + y2 tan ? = y/x En physique
Transformation coordonnées
en cartésien. V ! r ( )= !GmM r en sphérique une seule variable. Ce dernier exemple laisse prévoir un type important de simplification dans l'utilisation.
Physique Chapitre 4 Terminale S
Le repère cartésien (O ; ; ; ) a pour origine O fixe et pour vecteurs unitaires ( ; ; ) constants. b) Repère Frénet. Lorsqu'un système est en mouvement selon
COURS DE MECANIQUE 2ème année
Un usage ancien désigne ce repère fixe comme "absolu" (ce qui n'a aucune signification physique particulière dans ce contexte) et ce vecteur vitesse s'appelle
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Cet inconvénient conjugué à son poids empêche l'utilisation de ces armes Soit un repère cartésien a deux dimensions (Ox
Chapitre 1: Cinématique du Point
a) Repère cartésien (0 kji mouvement). La position du mobile M est repérée par son abscisse curviligne s. ... b) Coordonnées cartésiennes kvjvivv.
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
Remarque : En physique vous utiliserez plutôt la notation dans un repère cartésien est donc de la forme : CM/R0. =.. x = f1(t) y = f2(t).
Physique Chapitre 6 Terminale S
Physique. Chapitre 6 : Mouvement plan dans un champ uniforme. COMPRENDRE. Page 2 sur 3 Par projection sur un repère cartésien nous obtenons :.
Introduction à lElectromagnétisme
Un repère cartésien est défini par un point origine O et trois axes (Ox Oy
Système de coordonnées - univ-rennes1fr
norme du vecteur OM est constante ( ????????=????) • u est dans le plan « méridien » il est donc orthogonal à uj qui est dans un plan « horizontal » • Le repère comobile (Mu ru uj) est orthonormé direct et lié à M • Remarque : on a ????????=????????×???????? on en déduit les composantes cartésiennes de u
1 Choix du système et du référentiel et définitions de base
Le système ponctuel est assimilé au point G Dans le repère cartésien Le vecteur position est: x y et z sont les coordonnées du vecteur position dans le repère R cartésien orthonormé Unité légale : le mètre (m) Pour décrire le mouvement de G on peut donner les équations horaires x(t) y(t) et z(t) et ensuite en
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IUT Orsay Cours du Mesures Physiques 1er semestre Page 25 Notions de géométrie A Les systèmes de coordonnées dans le plan A-I Coordonnées cartésiennes Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O i j ) tout point peut être repéré par deux nombres réels appelés abscisse et ordonnée
Comment calculer le repère cartésien ?
On peut également dire que le repère cartésien est obtenu par rotation du repère polaire d’un angle -? (on se servira de cela dans les démonstrations). On voit bien ici que le repère polaire tourne quand le point M se déplace, il n’est pas fixe comme le repère cartésien.
Quels sont les différents repères cartésiens ?
Ici l’expression est simple, pour les autres repères cela sera différent. Le repère cartésien est cependant le seul dont les axes sont fixes : ils ne bougent pas au cours du mouvement du système contrairement aux autres. Evidemment il faut penser en 3D, les axes y et z forment un plan vertical, tandis que l’axe x vient vers toi.
Quels sont les axes d’un repère cartésien ?
Le repère cartésien est cependant le seul dont les axes sont fixes : ils ne bougent pas au cours du mouvement du système contrairement aux autres. Evidemment il faut penser en 3D, les axes y et z forment un plan vertical, tandis que l’axe x vient vers toi. Mais comment savoir que x vient vers toi, y est vers la droite et z vers le haut ??
Qu'est-ce que le référentiel cartésien ?
Ce référentiel peut se donner sous forme d'un repère cartésien orthonormé, c'est-à-dire une base orthonormée de 3 vecteurs d'espace et d'un “vecteur temps”. Alors les données physiques du mouvement d'un objet sont données en fonction de ce référentiel. Repère cartésien à 2 dimensions : les vecteurs unitaires et sont portés par les axes et .
Coordonnées
COORDONÉES POLAIRES (rappel)
En géométrie plane, le système
de coordonnées polaires est utilisé pour donner une description plus simple de certaines courbes (et surfaces).La figure nous permet de nous
Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes. Si le point Pa (x, y) pour coordonnées cartésiennes et (r, ș)comme coordonnées polaires alors x= rcos șy = r sin ș r2= x2+ y2tan ș= y/xCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
En dimension 3 il y a un système de coordonnées, appelé coordonnées cylindriques, qui :Est similaire aux coordonnées polaires.
Donne une description simple de nombreux domaines (surfaces, volumes). Dans le système de coordonnées cylindriques, un point Pde -D) est représentéPar le triplet (r, ș, z), où :
ret șsontles coordonnées polairesdelaprojection de P sur le plan xy, zestla distance orientéedu plan xyàP.Pour convertir des coordonnées cylindriques en
cartésiennes, on utilise : x= rcos ș y= rsin ș z= z Pour convertir des cartésiennes en cylindriques, on utilise: r2= x2+ y2 tan ș= y/x z = zCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exemple
a.Placer le point de coordonnéescylindriques(2, 2ʌ/3, 1)et donner sescoordonnéesrectangulaires. b.Donner les coordonnéescylindriquesdu point de coordonnéesrectangulaires(3, 3, 7).Solution
a) Le point de cylindriquescoordonnées (2, 2ʌ/3, 1)estplacésur la figure.Sescoordonnéesrectangulairessont
Le point a doncpour coordonnéesrectangulaires(1, , 1). 3212cos 2 132
232sin 2 332
1 x y z SSolution (b)
On a :
Un jeude coordonnéescylindriquesestdonc:
Un autre:
Commepour les coordonnéespolaires, ily a uneinfinite de choixpossibles.223 ( 3) 3 2
37tan 1, so 234
7 r n z T T S (3 2,7 /4, 7)(3 2, /4, 7)Coordonnéescylindriques
Les coordonnéescylindriquessontutilesdansles problèmes oùexisteunesymétrieaxiale. On choisitalorsdes z de façonà cecoincide avec cetaxe de symétrie. Par exemple, pour le cylindreà base circulaire, z, ila pour équationcartésiennex2+ y2= c2. Encoordonnéescylindriques, cecylindrea commeéquation: r= c(beaucoup plus simple!).
Exercice
z= ren coordonnées cylindriquesSolution
z de la surface) est la même que r(distance de ce point à z).Comme ș
z. Donc, toute section horizontale de la surface par un plan z= k (k> 0) est a cercle de rayon k. Ceci suggère que la surface est coordonnées rectangulaires.On a : z2= r2= x2+ y2, cette équation
(z2= x2+ y2équation cartésienne z.SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHERIQUES (3D)
Le systèmede coordonnéessphériquesestun autresystèmede coordonéesutile entroisdimensions. Il simplifieenparticulierles calculstriples sur des volumes limitéspar des portions de sphèresoude cônes. Les coordonnéessphériques(ȡ, ș, ĭ) Pde sont:ȡ= |OP|, ladistance deO
à P(ȡ0)
ș,le mêmeangle
coordonnéescylindriques.ĭ, entre les vecteurszet
OP. l'angle formé par les vecteurs zet OPest appelé colatitude le plan équatorial et OP).Notons que la première coordonnée (la
distance entre Oet P) est toujours positive, et que la colatitudeest comprise entre 0 et ,En physique, les notations șet ĭsont
Généralement interverties, comme sur la
figure ci-contre.La distance est souvent notée r.
REMARQUE TRÈS IMPORTANTE
Notations "physiques»
Notations "mathématiques»
COORDONNÉES SPHÈRIQUES
Utiliser un système de coordonnées sphériques peut être particulièrement utile pour résoudre des problèmes présentant origine du système. ca alors une équation très simple :ȡ= c.
Our= c en
Le grapheéquationș= c
(= c ennotations physiques) estun demi plan verticalcontenant Oz.équationĭ= c(ș= c en
notations physiques) représenteun demi-cône z.COORDONNÉES SPHÈRIQUES
La relation entre coordonnéescartésiennesand sphériquesse déduitde la figure.COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Considéronslestriangles OPQ
et, ona: z= ȡcos ĭ, r= ȡsin ĭEt comme,
x= rcos ș, y= rsin șOn obtientles formulesde
conversion : x= ȡsin ĭcos ș y= ȡsin ĭsin ș z= ȡcos ĭAvec les notations physiques, la relation
de passage aux coordonnées cartésiennes s'écritdonc :COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Exercice :
Le point (r= 2, = ʋ/3, = ʋ/4) est donné en coordonnées schéma et calculer ses cordonnées cartésiennes.Solution
Coordonnéescartésiennes:
1 23 1 3sin cos 2sin cos 23 4 2 22
3 1 3sin sin 2sin sin 23 4 2 22
cos 2cos 2 13 x x z U I TSSU I T
SUI x y zLa formuledonnantla distance indiqueque :
r2= x2+ y2 + z2 Onutilise cetteéquation pourconvertirles coordonnées cartésiennes en coordonnéesspheriques. Exercice: Le point estdonnéencoordonnées cartésiennes. Caculerdes coordonnéessphériquespour cepoint.0,2 3, 2
COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
On a :
Doncon a : r = 4, ߠ
ଷ(colatitude), ߮Solution
Considérons M de coordonnées
sphériques (r, , ).Le vecteur position de Mest :
OM= rur
urest le vecteur unitaire radial.Repèrecomobile
Les coordonnées cartésiennes de Msont :
On aura donc pour ur: ߠ...߮ǡߠ߮ǡ...ߠ
Repèrecomobile
Lvarie le point M
décrit un cercle, dans un plan parallèle à (Oxy), de rayon ݎ...ߠLe vecteur unitaire tangent en Mà
cette courbe est noté u, il est situé dans le plan "horizontal» (x,y).OM(et donc
à ur), puisque la norme de OMest constante
lorsque Mse déplace sur le cercle. on a : u= -sinux+ cosuyRepèrecomobile
varie le pointMdécrit un demi grand cercle
(méridien).Le vecteur unitaire tangent à
cette courbe, en M, est noté u. Il est orthogonal à urpuisque, lorsque Mdécrit le demi cercle, la norme du vecteur OMest constante (ۻ۽ uest dans le plan "méridien», il est donc orthogonal à uqui est dans un plan "horizontal». Le repère comobile(M,ur,u,u) est orthonormé direct et lié à M. cartésiennes de u(à vérifier en exercice) : (coscos, cossin, -sin)Exercice
Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer, par dérivation, le vecteur tangent à la courbe, en déduire les coordonnées cartésiennes de u Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer les coordonnées cartésiennes de ude deux façons différentes. Les équations paramétriques sont, bien sûr : On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à :Solution
TT||2= r2sin2(sin2+ cos2) = r2sin2, ||T|| = rsin( sin est positif car אߠ-ǡߨ u= (-sin, cos, 0)Les équations paramètiquessont :
On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à : ||T||2= r2cos2(cos2sin2) + r2sin2= r2 (cos2+ sin2) = r2 Donc ||T|| = r, les coordonnées cartésiennes de u= T/ ||T|| sont : (coscos, cossin, -sin) Remarque: comme on le voit sur les coordonnées de ur, urest une fonction des deux variables et phi. au chapitre suivant. On peut déjà observer que les calculs précédents montrent que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est u, et que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est sinu.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] llce anglais emploi du temps
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