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SP´ECIALE MP* : ORAL 2009

Mis `a jour le 27 juin 2010 `a 15:54

Avec la contribution de

BENZAKOURAbdessamad

BOUKHOBZAAli

BOUSSARIERenaud

CASSOUThomas

DALSTEINBoris

DAYRENSFran¸cois

DEBETENCOURTAlexandre

DEMARAISArnaud

DONIERJonathan

DUPASMyl`ene

EMAKO KAZIANOUCasimir

FLEURYNicolas

GOFFINONLaurie

JAMAUXPierrick

JEANMOUGINMarc

LAIGLEClotilde

LALIBERT´EJonathan

LIMing Qian

LIVERZAYThomas

MARTINNicolas

ROCHETJean

SALA¨UNYohann

THI´EBAUTJohann-Micha¨el

V´ERINEAlexandre

WASSFIAhmed

WATIERSimon

WEYLPierre

1

2SP´ECIALE MP* : ORAL 2009

1.Sujets pos´es aux´Ecoles Normales Sup´erieures`a l"oral 2009

1.1.Oral Maths Ulm.

Exercice1.1.1.

(1) On consid`ereFcontinue avecF(x+ 1) =F(x) + 2. Montrer qu"il existehcontinue tqh(F(x)) = 2h(x),h(x+ 1) =h(x) + 1. (2) On consid`ereEcommeQespace vectoriel. Tlin´eaire deEdansEetx,y,zdes vecteurs non nuls deEtq

T(x) =y, T(y) =z, T(z) =x+y.

Montrer que la famille (x,y,z) est libre surEcommeQ-e.v.

Exercice1.1.2.

(1) On noteK={f? C0([0;1],R),f(0) = 0, f1-lipschitzienne}. Pourδ >0 on pose N(K,δ) comme ´etant le nombre minimal de boules de rayonδ. recouvrantK.

Estimer ln(ln(N(K,δ))) pourδpetit.

Indication : le faire pourKcompact d"int´erieur non vide deR2. (2) Trouver le nombre de polynˆomes de degr´e 2 unitaires et irr´eductibles dansZ/pZ.

Exercice1.1.3.´Enonc´e : Le mˆeme exo qu"abdes, avec en plus la question :Montrer qu"il n"y a pas de suite dense dans l"ensemble des fonctions continues born´ees muni de

la norme infinie.

Exercice1.1.4.

Construire une fonctionf:R→Rtelle quef◦f◦f= Id etf(0) = 2009.

Exercice1.1.5.

SoitA:[0;1]→ Mn(R)

t→A(t)de classeC1v´erifiant : ?t?[0;1],(A(t))3-2(A(t))2-A(t) + 2In= 0. Montrer qu"il existe une fonctionPde [0,1] dans GLn(R) de classeC1v´erifiant

P(t)A(0)P-1(t) =A(t)

(On commencera par chercher une fonction qui ne soit pas n´ecessairement de classeC1.)

Exercice1.1.6.

On rappelle que SL

2(Z) ={A?M2(Z)|detA= 1}.

SoitA?SL2(Z)|PAscind´e :

Trouverf:R2→Rqui v´erifie?X?R2,f?

X+?01??

=f(AX).

Exo + indications

On consid`ere les vap deAdistinctes :

SP´ECIALE MP* : ORAL 20093

(1) Montrer quefest constante sur une droite vectorielle (de vecteur directeure1) et que

Sp(A)?R\Q.

(2) Existe-t-il un r´eel non nul tqae1?Z2? (3) On notey=βxl"´equation de la droite vectorielle men´ee pare1. En d´eduire queβest irrationnel. (4) Expliquer pourquoi on ram`ene l"´etude sur un ensemble dense dansR2, puis dense dans

R(´etude surx= 0).

(5) Conclure. + Cas vap ´egales?

1.2.Oral Maths Ulm-Lyon-Cachan.

Exercice1.2.1.

SoitγA=AM-MAavecA,M? Mn(C) etτA(M) = Tr(AM). (1) Montrer queψ:A? Mn(R)-→τA? Mn(R)?est un isomorphisme. (2) SoitAnilpotente, montrer que Ker(γA)?Ker(τA). (3) Question g´en´eralisation : Soitu? L(E,F),v? L(E,G)|Ker(u)?Ker(v). Montrer que?wtel quev=w◦u.

Exercice1.2.2.

Soitfcontinue de [a,b] dansEevn et d´erivable `a droite sur [a,b[. Soitgcontinue de [a,b] dansRet d´erivable `a droite sur [a,b[, on a de plus pour toutxde [a,b[, ?f?d(x)??g?d(x) (o`uf?dest la d´eriv´ee `a droite etg?d...). (1) Montrer que?f(b)-f(a)??g(b)-g(a). (2) On suppose de plusf?dcontinue enx0de [a,b].

Montrer quefest d´erivable enx0.

Exercice1.2.3.

Soitppremier, sup´erieur `a 3.

(1) Nombre de carr´es dansZ/pZ? (2) Montrer quexcarr´e ssix(p-1)/2= 1 (xnon nul). (3) Soitpdiviseur premier de (n!)2+ 1 o`un?2. Montrer quep > net quep= 4k+ 1.

Exercice1.2.4.

Pour tout couple (A,B) deMn(C), prouver l"´equivalence de : (i)?M? Mn(C),AMetAM+Bont mˆeme polynˆome caract´eristique, (ii)Best nilpotente etBA= 0. (Indications : (i)?(ii) : prouver que?M? Mn(C), Tr(BAM) = 0, (ii)?(i) : changer de base et se ramener au cas o`uA=?A1A2 0 0? ,B=?0B2 0B4? o`uB4est triangulaire).

4SP´ECIALE MP* : ORAL 2009

Exercice1.2.5.

SoitAune matrice v´erifiant?A-Id??a <1.

(1) Montrer queAest inversible et que?A-1??1/(1-a). (2) SoitBv´erifiant?B-Id??b <1.

Montrer que?ABA-1B-1-Id??2ab

(1-a)(1-b). (3) Montrer que, siaetbsont choisis suffisamment petits, on a ?ABA-1B-1-In???A-In?. (4) On suppose quea <1/4 etb <1/4, que le groupeGengendr´e parAetBest discret, non r´eduit `a l"identit´e. Montrer qu"il existe un ´el´ementCdeG,C?=In, qui commute avec tous les ´el´ements deG(on pourra chercher un ´el´ement qui minimise la distance `a I n).

Exercice1.2.6.

Soitfde [0,1] dans lui mˆeme, continue,x0dans [0,1],x(n+1) =f(x(n)) etKl"ensemble des valeurs d"adh´erence de (x(n)). (1) Montrer queKest un compact stabilis´e parf. (2) Montrer que siKest inclus dans l"ensemble des points fixes def, alors la suite (x(n)) converge.

Exercice1.2.7.

SoitE=Rnmuni du produit scalaire usuel etfdeL(E). On posegl"application lin´eaire d´efinie parg:x?Ker(f)??→f(x)?Imf. (1) Montrer quegest inversible. (2) On poset=? g -1sur Imf

0 sur (Imf)?.

Montrer quef◦t◦f=fett◦f◦t=t.

(3) On d´efinit l"applicationT:f? L(E)?→t? L(E). Quel est son domaine de continuit´e?

Exercice1.2.8.

(1) on consid`ere l"e.v.n.Rn, avec la boule unit´eB. Soit (xn) une suite deB,Al"ensemble de ses valeurs d"adh´erence. On pose d(x,A) la distance dex`aA. a) Que peut-on dire de la suite d(xn,A)?

Au bout de 5 min :

- elle tend vers 0? (je m"´etais convaincu) - d´emontrez-le... Bon, c"est parti pour 15 min l`a-dessus, au cours desquelleson traite le casAfini, on d´emontre la continuit´e de d(.,A) qui permet un passage `a la limite `a un moment... (qui aurait pu se justifier par une compacit´e comme Alex a l"air de l"avoir d´emontr´e... Il me l"a dit "en fait,Aest compact, mais on peut faire sans").

SP´ECIALE MP* : ORAL 20095

b) Soitfcontinue deBdansB, et la suite d´efinie parx0etxn+1=f(xn).

On supposeAfini.

Je ne me souviens plus de l"´enonc´e exact, mais fallait montrer que il existe une sous suite p´eriodique qui a une limite (je l"ai interpr´et´e comme "il existea,btqxan+ba une limite). Et l`a, je lui ai montr´e que la p´eriode, c"est le cardinal deA, et que pour toutb,xnCard(A)+ba une limite (et on les a toutes...). Il avait l"air content et m"a dit qu"il m"avait juste demand´e qu"il existait une p´eriode (2) SoitP?Z[X], montre qu"il existe une infinit´e d"entier non premiers dansP(Z).

Exercice1.2.9.

(1) SoientAetBdeux matrices carr´es 2×2 complexes telles que e(A) = e(B) et, pour tous λ?Sp(A),μ?Sp(B), siλ-μ= 2ikπaveck?Zalorsλ=μ. Montrer queA=B. (2) Nature de la s´erie de terme g´en´eral |sin(n)| n(r´epondre en 5 minutes)

Exercice1.2.10.

(1) Soitxirrationnel, etn?N, montrer qu"il existek1etk2des entiers diff´erents dans [0,n] tels que|{k1x} - {k2x}|?1/n(les accolades signifient "partie fractionnaire", ie {x}=x-Ent(x). (2) Soitxr´eel. Montrer qu"il existe un infinit´e de couples (p,q) tels que|x-p q|?1/q2. + Question bonus : la mˆeme que casimir et abdes : u? L(E,F),v? L(E,G), Keru?Kerv, montrez qu"il existew?L(F,G) telle que v=w◦u.

Exercice1.2.11.

(1) SoientA? Mn(R) sym´etrique,bun vecteur etaun scalaire et enfinB=?A Ab b TA a?

Montrer queB >0??A >0

a > b TAb.

Montrer que detB= (detA)(a-bTAb)

(2) SoitAp= (Ai,j)(i,j)?[[1,p]]2. Montrer queA >0?(?p?[[1,n]],det(Ap)>0).

Exercice1.2.12.

(1) SoitGgroupe commutatif fini :?x?G:ω(x) est l"ordre dex,n= ppcm(ω(x)|x?G), n=k? i=1pαiisa d´ecomposition en facteurs premiers.

Mq?i?[[1,k]],?xi?G|ω(x) =pαii.

Bon ici une petite remarque de ma part, peut-ˆetre une vanne d"ailleurs, mais je fais confiance `a Jimmy pour le d´etecter au besoin, l"´enonc´e medisait quelque chose) d"une part il existe alors un ´el´ement d"ordren(le produit desxi), d"autre part si le groupe se trouve ˆetreZ?a,n=λ(a),

6SP´ECIALE MP* : ORAL 2009

(2)un?RN,cv vers 0,fcontinue deRdansR, positive, croissante, et telle que f(n) ?n

0f(t)dt-→n→+∞0.

Mq ?nk=1f(k) ?n

0f(t)dt-→n→+∞1 et

?nk=1f(k)uk ?n

0f(t)dt-→n→+∞0.

Etudier le cas o`uun→l.

Exercice1.2.13.

(1) SoitGun groupe fini commutatif,nle p.p.c.m. des ordres de ses ´el´ements, on ´ecrit n=m? i=1p

αii.

a) Montrer qu"il existex?Gtel quepαiiest l"ordre dex. b) Montrer qu"il existex?Gtel quenest l"ordre dex. (2) Soit?:R+→R+croissante,u?RNtelle queun→l.

Montrer que

n k=0?(k)uk ?n

0?(t)dt→l.

1.3.Oral Maths Lyon.

Exercice1.3.1.

On consid`ere l"ensemble des polynˆomes `a coefficients complexes, muni de la normeN(P) = sup z?U|P(z)|. (1) Montrer queNest une norme (oui oui c"est bien ¸ca!...). (2) On consid`ere E n={P?C[X]|deg(P) =n,cd(P) = 1 etP(0) = 1}etCn= inf{N(P), P?En}.

CalculerCn.

Exercice1.3.2.

(1) Soitfd´erivablenfois de ]a,b[ dansR. Soita?x0< x1< ... < xn?b. Montrer qu"il existec?]a,b[ tel quef(n)(c) =c0f(x0) +c1f(x1) +···+cnf(xn) o`u c j= (-1)j+nn!/?k?=j|xj-xk|. (2) Soityj= cos(jπ/n).

Montrer que

n? j=0?k?=j1 |yk-yj|= 2n-1.

Exercice1.3.3.

(1) Consid´erons l"ed :y??+py?+qy= 0 (E) avecq?0,petqcontinues sur [0,1]. Montrer que pour touta,bil existe une unique solutionytqy(0) =aety(1) =b. (2) Vap et vep de la matrice (aij=bi/bj) avecbir´eels non nuls.

SP´ECIALE MP* : ORAL 20097

(3) Soienta1,...,ak,ksuites de r´eels<1 tq a

1,n+...+ak,n→1 eta1,n

1-a1,n+...+ak,n1-ak,n→kk-1.

Montrer quea1,...,akconvergent.

Exercice1.3.4.

Soit Γ une courbe de classeC∞d´efinie pary(s) etx(s) et v´erifianty?(s)2+x?(s)2= 1. On suppose en plus que sa courbureρest dans [-k,k] o`uk >0. Montrer qu"il existeθqui ne d´epend que dektel que?s?[0,θ],|y?(s)|?1 2.

Exercice1.3.5.

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