[PDF] MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES

Dans tout ce chapitre,?est l"un des ensembles?ou?et les lettresn,p,q... désignent des entiers naturels non nuls.

1 MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

1.1 MATRICES,ADDITION MATRICIELLE ET MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE

Dans le titre de ce paragraphe, le motscalairesignifie " nombre réel ou complexe ». Nous l"utiliserons quotidiennement

dans quelques temps quand nous ferons de l"algèbre linéaire. Définition(Matrice, coefficients, lignes, colonnes, matrice nulle)

•Matrice :On appellematrice de taille n×p à coefficients dans?toute familleAdenpéléments de?présentée

comme un tableau((a

11a12···a1p

a

21a22···a2p

a n1an2···anp)) noté aussiaij

1?i?n1?j?p, oùaij??pour tout(i,j)??1,n?×?1,p?.

Pour tout(i,j)??1,n?×?1,p?, le scalaireaijest appelécoefficient de A de position(i,j), la matrice$

a1j a nj$ est appelée lajèmecolonne de Aet la matrice(ai1···aip)est appelée saièmeligne.

•Formes particulières :L"ensemble des matrices de taillen×pà coefficients dans?est noté?n,p(?).

— Pourn=p, on parle dematrices carrées de taille net la notation simplifiée?n(?)est alors préférée. La

famille(a11,a22,...,ann)est alors appeléediagonale de A. — Pourp=1, on parle dematrices colonnes de taille n, et pourn=1, dematrices lignes de taille p.

•Matrice nulle :La matrice de taillen×pdont tous les coefficients sont nuls est appelée lamatrice nulle de

n,p(?)et notée 0 — parfois 0n,pquand on veut être précis.

À vrai dire, une matriceMde taillen×pà coefficients dans?n"est jamais qu"un élément de??1,n?×?1,p?, i.e. une

famille(mij)(i,j)??1,n?×?1,p?d"éléments de?indexée par?1,n?×?1,p?, c"est-à-dire encore une application(i,j)?-→mijde

?1,n?×?1,p?dans?. En résumé?n,p(?) =??1,n?×?1,p?.

L"usage veut qu"on utilise le plus possible la lettreipour indice des lignes et la lettrejpour indice des colonnes. En outre,

par convention dans ce cours, siA(majuscule) est une matrice de taillen×p, nous noterons généralementaij(minuscule)

le coefficient deAde position(i,j)— mais parfois aussiAij.

ExempleLa matrice"

1 4 2 5 3 6" est réelle de taille 3×2, la matrice i 0 2 3+i est carrée complexe de taille 2.

Définition(Addition matricielle et multiplication par un scalaire)Pour tousA,B? ?n,p(?)etλ,μ??, on note

λA+μBla matrice :

λA+μB=$

, appelée unecombinaison linéaire de A et B.

Exemple3 2 10 4

-2 1 1 -2 3 = 4 14 6

Définition(Matrices élémentaires)Pour tousi,j??1,n?×?1,p?, on note souventEijla matrice de?n,p(?)

dont tous les coefficients sont nuls à l"exception du coefficient de position(i,j), égal à 1. Ces matrices sont appelées les

matrices élémentaires(de?n,p(?)). 1

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Les matrices élémentaires de?2,3(?)sont :

E

11= 1 0 00 0 0

,E21= 0 0 01 0 0 ,E12= 0 1 00 0 0 ,E22= 0 0 00 1 0 ,E13= 0 0 10 0 0 etE23= 0 0 00 0 1

Il est assez clair que toute matriceM? ?2,3(?)est combinaison linéaires de matrices élémentaires :

M= m11m12m13

m

21m22m23

=m11 1 0 0 0 0 0 +m21 0 0 0 1 0 0 +m12 0 1 0 0 0 0

1?i?21?j?3m

ijEij. Plus généralement, pour toute matriceM? ?n,p(?):M=?

1?i?n1?j?pm

ijEij.

1.2 PRODUIT MATRICIEL

Définition(Produit matriciel)

Pour tousA? ?p,q(?)etB? ?q,r(?), on noteA×B

ouABla matrice# q? k=1a ikbkj# 1?i?p

1?j?rde taillep×r.

a11···a1q a p1···apq

Produit

et somme ())))b11···b1r b q1···bqr q? k=1a

1kbk1···q

k=1a 1kbkr q k=1a pkbk1···q k=1a pkbkr

Exemple

"2 11 32 0"

× 1 0 12-1 3

4-1 5

7-3 10

2 0 2"

?Attention !

•Le produit de deux matrices n"est pas défini en général s"il n"y a pas, comme on dit,compatibilité des formats:

Matrice de taillep×qMatrice de tailleq×rMatrice de taillep×r Cas particulier remarquable, le monde?n(?)des matrices carrées de tailleneststable par produit: Le produit de deux matrices carrées de taillenest encore une matrice carrée de taillen.

•Le produit matriciel n"est pas commutatif — même en cas de compatibilité des formats! Par exemple : 1 10 1

0 0 1 0 = 1 01 0 ?= 0 01 1 = 0 01 0 1 1 0 1 •Un produit de matrices peut être nul sans qu"aucune d"entre elles le soit. Exemple : 0 10 0 1 1 0 0 = 0 00 0 Théorème(Produit matriciel et lignes/colonnes)SoientA? ?n,p(?),i??1,n?etj??1,p?.

A×((((0

1 0)))) est lajèmecolonne deA.

Positionj

(0···1···0)×Aest laièmeligne deA.

Positioni

Plus généralement, pour toutX? ?p,1(?), en notantC1,...,Cples colonnes deA:AX=p j=1x jCj.ESSENTIEL! DémonstrationSimple calcul! Il faut que ce petit résultat coule dans vos veines.

Par convention, quand une matrice contient beaucoup de zéros, on omet souvent de les noter par souci de lisibilité.

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Théorème(Propriétés du produit matriciel, matrice identité) •Associativité :Pour tousA? ?p,q(?),B? ?q,r(?),C? ?r,s(?):(AB)C=A(BC). •Bilinéarité :Pour tousA,B? ?p,q(?),C,D? ?q,r(?)etλ,μ??: (λA+μB)C=λAC+μBCetB(λC+μD) =λBC+μBD.

•Élément neutre :On appellematrice identité(de taille n) la matrice carrée de taillen:In="

1 1"

Pour toute matriceA? ?n,p(?):InA=AIp=A.

DémonstrationPour l"associativité, soit(i,j)??1,p?×?1,s?. (AB)C ij=r l=1(AB)ilclj=r l=1" q? k=1a ikbkl" c lj=r l=1q k=1a ikbklclj=q k=1r l=1a ikbklclj q k=1a ik" r? l=1b klclj" =q k=1a ik(BC)kj=A(BC) ij.

ExempleSoitA? ?n(?). Si on notesla somme de tous les éléments deAetJla matrice carrée de taillendont tous les

coefficients sont égaux à 1, un simple calcul montre queJAJ=sJ.

À présent, pour une simple raison de compatibilité des formats, une matrice ne peut être multipliée avec elle-même que

si elle est carrée. Pour une telle matriceA? ?n(?), on peut ainsi parler despuissances de A: A k=A×A×...×A? kfoispour toutk???etA0=In.

ExempleSi on noteJla matrice#

1···1

1···1#

carrée de taillen, alors pour toutk???:Jk=nk-1J. DémonstrationRemarquer d"abord queJ2=nJ, puis raisonner par récurrence.

Définition(Matrice nilpotente)SoitA? ?n(?). On dit queAestnilpotentesiAp=0 pour un certainp???. Le

plus petit entierppour laquelle cette identité est vraie est appelé l"indice de nilpotence de A.

ExempleLa matrice 0 10 0

est nilpotente car 0 10 0

2= 0 00 0

. A fortiori, pour toutk?2 : 0 10 0 k= 0 00 0

Théorème(Formule du binôme et formuleAk-Bk)SoientA,B? ?n(?). On suppose queAetBCOMMUTENT, i.e.

queAB=BA. (A+B)k=k i=0! k i! A iBk-i(formule du binôme)etAk-Bk= (A-B)k-1? i=0A iBk-i-1. DémonstrationMême preuve qu"en début d"année avec des nombres complexes.

?Attention !L"hypothèse selon laquelleAetBcommutent est essentielle, c"est déjà très clair pourk=2 :

(A+B)2= (A+B)(A+B) =A2+AB+BA+B2AB=BA=A2+2AB+B2et(A+B)(A-B) =A2-AB+BA-B2AB=BA=A2-B2.

ExempleOn poseA="

1 1 2 0 1 0

0 0 1"

. Pour toutk??:Ak=" 1k2k 0 1 0

0 0 1"

DémonstrationÉcrivonsA=I3+NavecN="

0 1 2 0 0 0

0 0 0"

. Les matricesI3etNcommutent carI3commute avec

toute matrice carrée de taille 3. En outre,Nest nilpotente carN2=0, doncNi=0 pour touti?2. Finalement,

pour toutk??:Ak=k i=0! k i! I i

3Nk-i=I3+kN="

1k2k 0 1 0

0 0 1"

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Théorème(Produit par blocs)SoientA,B,C,D,A?,B?,C?,D?desMATRICESà coefficients dans?de tailles indiquées

ci-dessous. A BC D" " p p? qq?

×A?

B ?C? D q q? rr? =AA?+CB? BA ?+DB?AC?+CD? BC ?+DD?" " En résumé, tout se passe avec les blocs comme si chacun d"entre eux était un scalaire.

1.3 TRANSPOSITION

Définition(Transposée)SoitA? ?n,p(?). On appelletransposée de Ala matrice(aji)1?i?p

1?j?nde?p,n(?), notéeA?

ou tA.

Exemple

3 0 15 2 7

3 5 0 2 1 7" et pour tousλ1,...,λn??:(( 1 n))

λ1···λn).

Théorème(Propriétés de la transposition) •Linéarité :Pour tousA,B? ?n,p(?)etλ,μ??:(λA+μB)?=λA?+μB?.

•Involutivité :Pour tousA? ?n,p(?):A??=A.

•Effet sur un produit :Pour tousA? ?p,q(?)etB? ?q,r(?):(AB)?=B?A?.

DémonstrationSeule l"assertion sur le produit mérite une preuve. Pour tout(i,j)??1,r?×?1,p?:

(AB)? ij= (AB)ji=q k=1a jkbki=q k=1b kiajk=q k=1 B? ikA? kj=B?A? ij.

Définition(Matrice symétrique/antisymétrique)SoitA? ?n(?). On dit queAestsymétriquesiA?=Aetantisy-

métriquesiA?=-A.

L"ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) de?n(?)est noté?n(?)(resp.?n(?)).

Exemple

"1 2 32 5 03 0 6" est symétrique et" 0 1-5 -1 0 2

5-2 0"

est antisymétrique.

Diagonale nulle

car tout coefficient diagonal est égal à son opposé.

1.4 MATRICES DIAGONALES ET TRIANGULAIRES

Définition(Matrice diagonale, matrice scalaire, matrice triangulaire)

•Matrice diagonale :Une matrice carrée est ditediagonalesi tous ses coefficients non diagonaux sont nuls.

En particulier, les matricesλIn,λdécrivant?, sont appeléesmatrices scalaires.

•Matrice triangulaire :Une matrice carrée est ditetriangulaire supérieure(resp.inférieure) si ses coefficients

situés strictement au-dessous (resp. strictement au-dessus) de la diagonale sont nuls. (a

11a12···a1n

a

22···a2n

a nn))

Matrice

triangulaire supérieure(( a 11 a 21a22
a n1an2···ann))

Matrice

triangulaire inférieure

Les matrices diagonales sont exactement les matrices à la fois triangulaires supérieuresETtriangulaires inférieures.

Pour tousα1,...,αn??, on note souvent diag(α1,...,αn)la matrice" α1 n"

Par exemple :In=diag(1,...,1).

Avec cette notation, pour tousα1,...,αn,β1,...,βn,λ??: λdiag(α1,...,αn)+diag(β1,...,βn) =diag(λα1+β1,...,λαn+βn) et diag(α1,...,αn)×diag(β1,...,βn) =diag(α1β1,...,αnβn). 4

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Ces identités se généralisent aux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de la façon suivante.

Théorème(Combinaisons linéaires et produit de matrices triangulaires)Soient doncA,B? ?n(?)triangu-

laires supérieures (resp. inférieures) etλ,μ??. Les matricesλA+μBetABsont alors triangulaires supérieures (resp.

inférieures). En outre, pour touti??1,n?:(AB)ii=aiibii.

DémonstrationSupposonsAetBtriangulaires supérieures — le cas inférieur s"en déduit par transposition. Les

matricesλA+μBetABsont triangulaires supérieures car pour tousi,j??1,n?pour lesquelsi>j: (λA+μB)ij=λaij???? =0+μbij???? =0=0 et(AB)ij=n k=1a ikbkj=i-1? k=1a ik???? =0b kj+n k=ia ikbkj???? =0=0. Enfin, pour touti??1,n?, d"après le même calcul :(AB)ii=i-1? k=1a ik???? =0b ki+aiibii+n k=i+1a ikbki???? =0=aiibii.

1.5 TRACE D"UNE MATRICE CARRÉE

Lanotiondetracevousparaîtra anecdotique pourlemomentmais c"estenfaitunoutilintéressant, alors autant l"introduire

tout de suite.

Définition-théorème(Trace d"une matrice carrée)SoitA? ?n(?). On appelletrace de Aet on note tr(A)ou Tr(A)

la somme des éléments diagonaux deA. (i)Linéarité :Pour tousA,B? ?n(?)etλ,μ??: tr(λA+μB) =λtr(A)+μtr(B). (ii)Effet sur un produit :Pour tousA? ?n,p(?)etB? ?p,n(?): tr(AB) =tr(BA).

Démonstration

(i) tr(λA+μB) =n k=1(λakk+μbkk) =λn k=1a kk+μn k=1b kk=λtr(A)+μtr(B).

(ii) La matriceABest carrée de taillenalors queBAest carrée de taillep, mais ces matrices ont même trace

car : tr(AB) =n k=1(AB)kk=n k=1p l=1a klblk=p l=1n k=1b lkakl=p l=1(BA)ll=tr(BA).

ExempleL"équation matricielleAB-BA=Ind"inconnue(A,B)? ?n(?)2n"a pas de solution car pour toutes matrices

A,B? ?n(?): tr(AB-BA) =tr(AB)-tr(BA) =0?=n=tr(In).

2 SYSTÈMES LINÉAIRES

2.1 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE ET IMPORTANCE DE LA LINÉARITÉ

Tout système linéaire peut être écrit sous forme matricielle. Par exemple, pour tout(x,y,z)??3:???2x+y-3z=3

5y+z=2

9x+10y+2z=1??"

2 1-3 0 5 1

9 10 2""

x y z" 3 2 1"

Nous aurons désormais tendance à identifier toute famille denéléments de?à uneCOLONNE, i.e. à considérer que

n=?n,1(?). Plus généralement, pour tousA? ?n,p(?)etB??n=?n,1(?), le système linéaire : ?a

11x1+a12x2+···+a1pxp=b1

a a n1x1+an2x2+···+anpxp=bn,

d"inconnueX??p=?p,1(?)peut être écrit matriciellementAX=B. On appelle alorsAlamatricedu système etBson

second membre, et on dit que le système esthomogènesiB=0, i.e. sib1=...=bn=0. 5

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Pour toute matriceA? ?n,p(?), l"applicationX?-→AXde?p=?p,1(?)dans?n=?n,1(?)estlinéaireau sens que

nous avons donné à ce terme au début du chapitre " Équations différentielles et suites récurrentes linéaires », à savoir que

pour tousX,Y??petλ,μ??:A(λX+μY) =λ(AX)+μ(AY). Tout système linéaire est donc en ce sens une " équation

linéaire ». Le résultat suivant en découle.

Théorème(Structure de l"ensemble des solutions d"un système linéaire)SoientA? ?n,p(?)etB??n. On

s"intéresse au système linéaireAX=Bd"inconnueX??p. Deux situations peuvent se présenter :

— soit ce système n"a pas de solution, on dit qu"il estincompatible,

— soit il en a, on dit qu"il estcompatible. Elles sont dans ce cas soumises au principe bien connu suivant :

Solution générale

du système completSolution particulièreSolution généraledu sytèmeHOMOGÈNE

DémonstrationRappelons brièvement la raison de ce résultat. Dans le cas oùle système étudié possède une

solutionXpart, alors pour toutX??p:

AX=B??AX=AXpart??AX-Xpart=0

??X-Xpartest une solution du systèmeHOMOGÈNEassocié ??Xest la somme de la solution particulièreXpart et d"une solution du systèmeHOMOGÈNEassocié.

ExempleLe système linéaire!x+y=1

x+y=0d"inconnue(x,y)??2n"a pas de solution.

Définition(NotationVect)SoientX1,...,Xr??n. L"ensemble des combinaisons linéaires deX1,...,Xnest noté

Vect(X1,...,Xr). Concrètement : Vect(X1,...,Xr) =

1X1+...+λrXr|λ1,...,λr??

ExempleDans?2: Vect

(2,3) (2x,3x)|x?? et Vect (1,0),(0,1) x(1,0) +y(0,1)|x,y?? (x,y)|x,y?? =?2.

Dans?3: Vect

(1,2,0),(1,0,1) x(1,2,0) +y(1,0,1)|x,y?? (x+y,2x,y)|x,y??

Raisonnons maintenant dans l"autre sens. Dans?3:

(x+y-z,2x-y,x+3y+z)|x,y,z?? x(1,2,1)+y(1,-1,3)+z(-1,0,1)|x,y,z?? =Vect (1,2,1),(1,-1,3),(-1,0,1)

Dans?2:

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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