[PDF] Anneaux et corps abstraits - Université Paris-Saclay

View - Download Anneaux et corps abstraits - Université Paris-Saclay

Previous PDF

Next PDF

Anneaux et corps abstraits

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Introduction

2. Anneaux généraux

Motivés parZet ses quotientsZnZ, nous avons introduit dans une définition du cha- pitre précédent la notion d"anneau commutatif unitaire. Mais la commutativité de la multi- plication n"est pas toujours satisfaite, ou "naturelle». Exemple 2.1.Soit l"espace vectoriel des matrices22: M

22(R) :=na bc d:a; b; c; d2Rquelconqueso

muni de l"addition : a bc d+a0b0 c

0d0:=a+a0b+b0

c+c0d+d0;d"élément neutre0 00 0; et muni de la multiplication ditematriciellequi correspond à lacompositiondes applica- tions linéaires : a bc da0b0 c

0d0:=aa0+bc0ab0+bd0

ca

0+dc0cb0+dd0;d"élément neutreI22:=1 00 1:

Le cours d"Algèbre Linéaire a démontré queM22(R), muni de+,, satisfait toutes les propriétés attendues, à l"exception de deux propriétés. PourM2M22, il n"existe pas toujoursM02M22satisfaisantMM0=I22= M 0M. Deux matrices quelconquesA;B2M22ne satisfont pas toujours :

AB?=BA(souvent faux):

Par exemple :

1 10 11 01 1=2 11 1

!6=1 11 2=1 01 11 10 1: Ceci motive une définition générale d"anneau(mathématiques, pas olympique), dans laquelle on ne demande pas forcément que la multiplicationsoit commutative. 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceDéfinition 2.2.SoitAun ensemble muni de deuxlois de composition internes+et,

c"est-à-direa+b2Aetab2Apour tousa;b2A. On dit queAest unanneaus"il vérifie les propriétés suivantes. (1)Le coupleA;+est ungroupe abélien, au sens d"une définition vue au chapitre pré- cédent, d"élément neutre0A. (2)La loi de multiplicationest associative. (3)La loiest distributive, à gauche et à droite, par rapport à+: a(b+c) =ab+ac(8a;b;c2A); (a+b)c=ac+bc(8a;b;c2A):

Onditqu"unanneau

pour tousa;b2A. Proposition 2.3.Dans un anneauA;+;, les trois propriétés suivantes sont satisfaites. (1)a0A= 0A= 0Aa, pour touta2A. (2)a(b) =ab= (a)b, pour tousa;b2A. (3)(a)(b) =ab, pour tousa;b2A. Démonstration.(1)Comme0Aest un élément neutre pour la loi+, on a0A= 0A+ 0A. Ainsi, en multipliant cette égalité paraet en utilisant la distributivité, on a : 0

Aa= (0A+ 0A)a= (0Aa) + (0Aa):

Enfin, comme(A;+)est un groupe, on en déduit que0A= 0Aa. On montre de manière similaire quea 0A= 0A. (2)Siaetbsont dansA, alors on a : (ab) + (a(b)) =a(bb) =a0A= 0A; grâce à(1)que nous venons de voir. On en déduit quea(b)est l"inverse deabpour la loi+, c"est-à-dire : a(b) =(ab):

On montre de façon similaire que(a)b=(ab).

(3)Siaetbsont dansA, utilisons deux fois la propriété(2), pour conclure : (a)(b) =(a(b)) =(ab)=ab: Le cas d"un anneau dans lequel0A= 1Aest très dégénéré : l"Exercice 1 propose de vérifier qu"alors tous les élémentsa2Asont égaux à0A, de telle sorte queA=f0Ag. On dit alors queAest l"anneau nul. Mais comme tout ce qui est nul ne vaut rien, on supposera toujours à partir de maintenant que : 0

A6= 1A:

Clairement :Z;+;;Z=nZ;+;;Q;+;;R;+;;C;+;;

sont des anneaux, commutatifs qui plus est. En fait, il y a des inclusions qui respectent les structures d"anneau.

2.Anneaux généraux 3Définition 2.4.SoitA;+A;Aun anneau. On dit qu"un sous-ensembleBAest un

sous-anneaudeAlorsque : (1)B;+Aest unsous-groupe abéliendeA;+A, c"est-à-dire que : b; b

02B=)b+Ab02B;

où l"addition est prise dansA, de telle sorte queB;+Aest un groupe abélien en lui- même. (2)pour tousb;b02B, on abAb02Baussi; (3)1A2B. On vérifie, en jouant avec la logique, queB;+;est alors un anneau en lui-même. Proposition 2.5.SiBAest un sous-anneau deA;+A;A, alors le tripletB;+A;Aest un anneau.

On notera souvent+,, sans les indices+A,A.

Par exemple, les inclusions suivantes sont des inclusions de sous-anneaux : ZQRC; pour l"addition+et la multiplicationclassiques. Dans le chapitre précédent, nous avons comparé : Z mZZnZ?=ZmnZ; oùm,nsont deux entierspremiers entre eux. À cette occasion, nous avons introduit la notion d"isomorphismeentre anneaux commutatifs. Voici une définition générale valable dans un anneau quelconque.

Définition 2.6.Étant donné deux anneauxA;+A;AetB;+B;B, l"anneau produitAB;+;est l"ensemble produit constitué de couples d"éléments :

AB:=(a;b):a2Aquelconque; b2Bquelconque;

pour lequel les deux lois de compositions internes+etsont définies par : (a;b) + (a0;b0) :=a+a0; b+b0d"élément neutre0A;0B; (a;b)(a0;b0) :=aAa0; bBb0d"élément neutre1A;1B: On vérifie par le raisonnement (tauto)logique que

AB;+;est effectivement un

anneau, au sens de la Définition 2.2. SiAetBsont commutatifs,ABl"est également. Plus généralement, étant donné un nombre>1d"anneauxA1;:::;A, on peut construire l"anneau-produit : A

1 A:=na1;:::;a:a12A1quelconque; :::; a2Aquelconqueo

muni des opérations :

Par exemple, avec :

Z2Z=0;1mod2;

Z3Z=0;1;3mod3;

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, Franceon a :

Z2ZZ3Z=(0;0);(0;1);(0;2);(1;0) (1;1);(1;2):

3. Morphismes d"anneaux et idéaux

Soient deux anneaux quelconquesAetB.

Définition 3.1.Unmorphisme d"anneauxdeAversBest une applicationf:A!B satisfaisant : (1)f(a+b) =f(a) +f(b), pour tousa;b2A, etf(0A) = 0B; (2)f(ab) =f(a)f(b), pour tousa;b2A, etf(1A) = 1B. Par (contre-)exemple, avec un entier fixé2Z, l"applicationn7!ndeZdansZ est un morphisme de groupes(Z;+)!(Z;+), mais cependant, dès que6=2, ce n"est pas un morphisme d"anneaux, car : f(mn) =mn6=mn=f(m)f(n)(m;n2Z): Terminologie 3.2.Unendomorphisme d"anneauest un morphismeA!Ad"un anneau

Avers lui-même.

Unisomorphisme d"anneauxest un morphismeA!Bd"anneaux qui estbijectif, c"est-à-dire simultanément injectif et surjectif. Unautomorphisme d"anneauest un isomorphisme d"un anneauAsur lui-même. Par exemple, l"application de conjugaison complexe : z=x+iy7!xiy=z; est un automorphisme de l"anneauC;+;. Définition 3.3.Sif:A!Best un morphisme d"anneaux, on appellenoyaudefl"en- semble :

Kerf:=a2A:f(a) = 0;

et on appelleimagedefl"ensemble :

Imf:=b2B:9a2A; f(a) =b=f(A):

Nous laissons en exercice la démonstration de la Proposition 3.4.L"imagef(A)d"un morphisme d"anneauxf:A!Best toujours un sous-anneau deB. Toutefois, le noyauKerfd"un tel morphismef:A!Bn"est en généralpasun sous-anneau deA, car il ne contient pas toujours1A. Pour terminer cette section, introduisons brièvement une notion qui sera utile ultérieu- rement, et que nous présentons ici seulement dans le cas où la multiplicationest com- mutative. Définition 3.5.Un sous-ensemble non videIAd"un anneau commutatifAest appelé unidéals"il vérifie les deux propriétés suivantes : a2Ietb2I =)ab2I; a2Ietp2Aquelconque =)pa2I:

5.Intégrité et structure de corps 5Cette notion absolument fondamentale dans toutes les mathématiques interviendra na-

turellement lorsque nous étudierons lespolynômesà une indéterminéex, dans le prochain chapitre.

4. Groupe des inversibles dans un anneau

Si un anneauAn"estpasun corps, en général, l"ensembleAnf0gde ses éléments non nuls n"estpasun groupe pour la loide multiplication. Dans ce cas, on peut introduire un ensemble plus petit, qui lui, est un groupe. Définition 4.1.Un élémenta2Aest ditinversible(à gauche et à droite) s"il existe un

élément, notéa12A, tel que :

a

1a= 1A=aa1:

On note alorsAl"ensemble des éléments inversibles deApour la loi. Attention! Il ne faudra pas confondreAavecA=Anf0g! Proposition 4.2.Sia;b2Asont inversibles, alors leur produitab2Al"est aussi.

Preuve.En effet,b1a12Afonctionne :

b

1a1ab=b1b= 1A=aa1=abb1a1:

Théorème 4.3.Le coupleA;est un groupe.

Démonstration.Comme la loiest associative surA, elle l"est également surA. L"élé- ment1Aest tautologiquement inversible, et donc, on a1A2A, et1Aest un élément neutre pour la multiplication. Enfin, nous affirmons que tout élément deAest inversible. En effet, il suffit de vérifier que sia2A, alorsa12Aaussi. Mais cela est clair, car l"identitésymétriquequi exprime quea1est un inverse poura: a

1a= 1A=aa1;

peut être lue comme une identité qui exprime queaest un inverse poura1. aa

1= 1A=a1a:

Terminologie 4.4.Le groupeA;est appelégroupe des inversiblesde l"anneauA.

Enfin, on vérifie aisément (exercice) la

Proposition 4.5.SiAetBsont deux anneaux quelconques, alors :AB=AB:

5. Intégrité et structure de corps

En supposant que notre anneauAn"est pas commutatif, voici la notion d"intégrité, que nous avons déjà présentée dans le cas commutatif. Définition 5.1.Un anneauA;+;est ditintègresi, pour tousa;b2A, la relation ab= 0Aimplique quea= 0Aoub= 0A. Autrement dit, par contraposition, dans un anneau intègre, sia6= 0Aet sib6= 0A, alors ab6= 0Aaussi.

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceProposition 5.2.Dans un anneau intègre, les deuxrègles de simplificationsuivantes sont

vraies. (1)sia6= 0A, alorsab=acimpliqueb=c; (2)sic6= 0, alorsac=bcimpliquea=b. Démonstration.Prouvons seulement la règle(1), l"autre étant symétrique. Supposons donc queab=ac. Alors comme(A;+)est un groupe (commutatif), on a abac= 0. Commeac=a(c), la distributivité de la multiplication par rapport à l"addition donne : a(bc) = 0A: Enfin, commea6= 0Aet commeAest par hypothèse intègre, cela forcebc= 0A, donc nous concluons bien queb=c. L"anneauZ;+;est intègre, c"est bien connu, tandis que l"anneauM22(R);+; des matrices carrées de taille22à coefficients dansRn"estpasintègre, comme le montre la matrice non nulle :

M:=0 1

0 0 qui satisfait :

M6=0 0

0 0 maisMM=0 1 0 0 0 1 0 0

00 + 10 01 + 10

00 + 00 01 + 00

0 0 0 0 Voici encore une notion que nous avons déjà introduite, dans un chapitre qui précède, dans le cadre commutatif. Définition 5.3.UncorpsK;+;est un anneauA;+;avec1A6= 0Atel queA; est ungroupe. Ici,A=Anf0g. De façon équivalente, un corps est un anneau ayant au moins deux éléments tel que tout élément non nul admet un inverse multiplicatif. Par exemple, les anneauxQ,R,C, sont des corps. Par contre, l"anneauZn"est pas un corps, car tout entiern6=1;1n"a pas d"inverse multiplicatif dansZ. Proposition 5.4.Tout corps est un anneau intègre. Démonstration.Soit donc un corpsK- êtes vous d"accorps? Soienta;b2Ktels que : ab= 0: Pour satisfaire l"intégrité au sens de la Définition 5.1, nous devons montrer quea= 0ou b= 0. Supposons premièrement quea6= 0et cherchons à montrer queb= 0. PuisqueKest

un corps, l"élémenta2Kest inversible dansK, c"est-à-dire qu"il existe un élément, noté

a

1, tel queaa1= 1 =a1a.

Multiplions alors l"égalité0 =abà gauche para1, ce qui nous donne :

0 =a1(ab) =a1ab=b;

6.Corps des fractions d"un anneau commutatif intègre 7et donc nous obtenons bien0 =b.

Deuxièmement, si nous supposonsb6= 0, le même argument (symétrisé) donnea= 0. Y a-t-il une réciproque à cette proposition? Pas toujours, mais voici au moins une réci- proque "partielle», valable avec l"hypothèse supplémentaire de cardinalité finie. Théorème 5.5.Pour un anneauAde cardinal fini avec1A6= 0A, on a équivalence entre : (i)Aest un corps. (ii)Aest intègre; Rappelons que la théorie des ensembles élémentaire nous a appris que siEest un en- semble fini et sif:E!Eest une application quelconque, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] théorie des anneaux pdf

[PDF] groupes anneaux corps exercices corrigés pdf"

[PDF] anneau commutatif intègre

[PDF] anneau commutatif unitaire

[PDF] montrer qu'un anneau est integre

[PDF] difference entre chateau moyen age et renaissance

[PDF] les chateaux de la renaissance cm1

[PDF] les chateaux de la renaissance cm2

[PDF] l'évolution des chateaux forts

[PDF] chateau de la renaissance wikipedia

[PDF] comparaison chateau fort chateau renaissance cm1

[PDF] difference chateau fort et renaissance

[PDF] caractéristique d'un conducteur ohmique exercice

[PDF] conducteur ohmique cours

[PDF] dipole ohmique definition