[PDF] Le cours de lAPM I : Groupes anneaux corps

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André et Germaine REVUZ

COURS DE

anneaux, corps LE

1 -Groupes,

Congruences paractiques de cycles, par Paul ROBERT (64 pages, 3 NF, franco 3,50 NF).

3. Recherche d'une a:domatique commode pour premier ensei

gnement de la géométrie élémentaire, par Gustave CROQUET ( 40 pages, 2 NF, franco 2,50 NF). 4. Le calcul des probabilités et l'enseignement, par A. HUISMAN,

R. FORTET, MOURIER, FUCHS, D. DUGUE,

G.-T. GUILBAUD, J. BOUZITAT, J. VILLE, GENUYS

(144 pages, 7 NF, 8 NF).

5. L'enseignement de la mécanique, par P. GERMAIN, MA

ZET, J. KAMPE, de FERIET

(40 pages, 2 NF, franco 2,50 NF). Etude commentée d'une méta-démonstration de Godet, par

Jean BALIBAR

(40 pages, 2 NF, franco 2,50 NF).

En préparation.

• Les Mathématiques

" modernes » dans l'enseignement du second degré, par André HUISMAN. • Le cours de l' A ..P.M.. ll.. Les espaces vectoriels, par André et

Germaine

REVUZ.

Pour se procurer les brochures de I'A.P.M.,

Adresser commandes et virements postaux à l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public, C.C.P. Paris

5 708-21.

Préciser au dos du virement les brochures commandées. Voir page 3 de la couverture les conditions d'adhésion à I'A.P.M.E.P.

LE c0 uRs DE L'A. P. M.

1

Groupes, ann

ux, corps

Association des Professeurs

de Mathématiques de l'Enseignement Public

PARIS-1962

(épuisé). sJmp.le et précis des Mathématiques m(}•OeJmes,

2. Congruences paractiques de cycles,

(64 pages, 3 NF, franco 3,50 NF).

3. Recherche d'une anomatique commode le premier

gnement de la géométrie élémentaire, Gustave CROQUET ( 40 pages, 2 NF, franco 4. Le calcul des probabilités et l'enseignement, par A. HUISMAN,

R. A. FUCHS, D. DUGUE,

G.-T. GUILBAUD, BOUZITAT, J. VILLE, F. GENUYS

(144 pages, 7 NF, franco 8 NF).

5. L'enseignement de la mécanique, par P. GERMAIN, R. MA

J. KAMPE, de FERIET

(40 pages, 2 NF, franco 2,50 NF).

7. Etude commentée d'une méta-démonstration de Godel, par

Jean BALIBAR

(40 pages, 2 NF, franco 2,50 NF).

En préparation.

• Les Mathématiques

"modernes » dans l'enseignement du second degré, par André HUISMAN. • Le cours de rA.P .M. ll. Les espaces vectoriels, par André et

REVUZ.

et virements postaux à l'Association des Professeurs de l'Enseignement Public, C.C.P. Paris

5 708-21.

commandes dos du virement les brochures commandées.

3 de la couverture les conditions d'adhésion à l'A.P.M.E.P.

Germaine

LE COUR DE L'A. P.M.

1

Groupes, anneaux, corps

Association des Professeurs

de Mathématiques de l'Enseignement

Public:

PARIS-1962

<< Afin que, ... aux dépens d'autrui Sage, je m'enseignasse. »

REGNIER.

" C'est assez désagréable... de ne pouvoir plus rien apprendre pour toute la vie ! Nos aïeux s'en tenaient aux enseignements qu'ils avaient reçus dans leur jeunesse: mais, nous, il nous faut recommencer tous les cinq ans1 si nous ne voulons pas être complètement démodés. » (Les affinités électives). mettent à la disposition des professeurs Les des textes utiles à l'enseignement.

Ou bien ces

textes sont inédits, ou bien ils ont déjà paru, soit dans le Bulletin de I 1 A.P.M., soit ailleurs. Dans tous les cas/ il a paru inté ressant de regrouper des écrits sous une forme commode pour les maîtres auront à s'en servir.

Brochures parues :

1. Le langage simple et précis des mathématiques modernes, par A. REVUZ et

L. LESIEUR, Professeurs à la Faculté des Sciences de Poitiers {avril 1960), (épuisée).

2. Congruences Paratactiques de cycles, par Paul ROBERT, Inspecteur général honoraire

de l'Instruction Publique (avril 1960>.

3. Recherche d'une axiomatique commode pour le premier enseignement de la géométrie

élémentaire, par Gustave CHOQUET, Professeur à la Sorbonne (février 1961).

4. Le calcul des probabilités et l'enseignement, par A. HUISMAN/ R. FORTET/

E. MOURIER A. FUCHS, D. DUGUE, G.-T. GUILBAUD, J. BOUZITAT, J. VILLE et 1

F. GENUYS (novembre 1961).

5. L'enseignement de la mécanique, par P. GERMAIN, J. KAMPE DE FERIET et

R. MAZET (novembre 1961).

6. Le cours de I

1 A.P.M. !. Groupes, anneaux, corps, par A. et G. REVUZ.

7. Etude commentée d'une méta-démonstration de Godel, par J. BALIBAR.

Brochures en préparation :

111 Les Mathématiques " modernes » dans l'enseignement du second degré, par

A. HUISMAN.

111 Le Cours de I'A.P.M. Il. Les espaces vectoriels, par A. et G. REVUZ.

Les pages qui suivent contiennent la matière d'un cours organisé à Paris par l'A.P.M.E.P. durant l'année scolaire 1960-1961, à raison d'une séance d'une heure et demie tous les quinze jours.

Conférencier, rédacteur

du cours, correcteur des stencils (une poly copie du cours précédent et des solutions d'exercices était distribuée à chaque séance), organisateurs, auditeurs (leur nombre a dépassé deux cents) étaient tous bénévoles : ce qui prouve que les professeurs de 1v!athé matiques n'hésitent pas à consacrer du temps et de la peine à approfon dir leur culture, et témoigne de la vitalité de l'Association. Ce cours ne prétend pas constituer un traité d'Algèbre parfaitement équilibré : les nécessités de l'horaire ont contraint à passer sous silence certaines questions importantes, comme l'étude élémentaire des groupes de substitutions, les anneaux euclidiens..., qui sont traitées dans un autre omJrage d'initiation (Lentin et Rivaud), ou à ne les faire figurer que sous forme d'exercices (par exemple, la structure de corps de Q). Il est à souhaiter d'autre part que de nombreux lecteurs aient envie d'aller au delà de ce qui a été traité et désirent connaître, par exemple, la théorie des idéaux ou la théorie de Galois, qu'ils trouveront dans les ouvrages de

Bourbaki, de Dubreil, de Van der

Waerden ...

Soixante-six exercices ont été proposés. Leurs solutions sont groupées à la fin du volume. Ils sont de difficulté assez inégale, mais en général assez soutenue (il ne faut pas oublier qu'il s'agit d'un cours s'adressant à des professeurs !) : quelques applications immédiates, des exemples, des contre-exemples et un assez grand nombre de compléments importants à certains points du cours.

Des conférences d'initiation

à ce qu'on appelle les Mathématiques

modernes avaient été organisées les années précédentes en liaison avec la

Société

Mathématique de France. Le but du cours 1960-1961 était d'ap profondir cette initiation par des exposés se déroulant plus lentement et n'hésitant pas à pénétrer dans le détail de certaines questions. Son ambi tion était de convaincre que les Mathématiques dites modernes ne s'op posent pas aux Mathématiques des âges précédents, mais sont essentiel lement issues d'une prise de conscience de ce qui restait trop souvent implicite. On retrouve toutes les Mathématiques classiques dans les Mathématiques modernes, mais on les retrouve sous un éclairage qui sur prend parfois au premier abord, mais dont les avantages : cohérence, clarté des idées fondamentales, mise en ordre des théories, mise en évi dence des raisons profondes des résultats, apparaissent bien vite. -4 Dans cette mise en ordre, la notion de structure est l'outil essentiel. Pour parler brièvement, on peut dire qu'une théorie mathématique est l'étude d'une ou de plusieurs structures et de leurs homomorphismes, ou encore que l'esprit moderne pense en termes d'ensembles, de relations et d'applications, de structures et d'homomorphismes. C'est à acquérir cette mentalité que l'on a voulu aider le lecteur : pour ce faire, on n'a pas craint d'insister lourdement au départ, et de ne pas aller toujours droit au but. On remarquera, en particulier, que l'étude de l'homomorphisme des groupes est traitée lentement et non sans lourdeur, et que, quelques paragraphes plus loin, le théorème général sur la factorisation des homo morphismes de structures algébriques est exécuté en quelques lignes : c'est, assurément, cette dernière démonstration qui est la " bonne », mais on a pensé qu'il n'était pas mauvais d'avoir auparavant démonté dans le cas particulier des groupes le détail du mécanisme. De même, dans l'étude des nombres réels, on a cru devoir insister sur toutes les structures de R et étudier en détail les deux méthodes fondamentales très différentes qui permettent de passer de Q à R, en ne cherchant pas l'élégance de l'exposé, mais la mise en lumière de la motivation de chacune des démarches effectuées.

On assiste

actuellement à une pénétration progressive de l'esprit moderne dans l'Enseignement du Second Degré. Un des buts de ce cours est d'y aider. On n'y trouvera cependant aucune allusion directe à l'En seignement du Second Degré. L'objectif visé, et qui parait bien raisonna blement le premier à atteindre, était de répandre chez les professeurs l'esprit des Mathématiques contemporaines. Un second objectif sera de déterminer comment cet esprit peut pleinement se développer dans l'En seignement élémentaire, dont une des tâches est certainement de faire prendre conscience, dans les démarches intellectuelles les plus familières à l'humanité du xx" siècle, des structures mathématiques qui en sont le fondement. Il faut souhaiter que de futures " brochures de l'A .P.JVI. » soient prochainement consacrées à cette étude, et qu'elles naissent, comme celle-ci, et plus encore que celle-ci, d'un travail collectif au sein de l'Asso ciation.

André REvuz.

DES

CHAPITRE PREMIER. -ENSEMBLES. RELATIONS.

§ l. Notion d'ensemble. Algèbre des ensembles. p.

1. Les ensembles .................................... . 9

2. Appartenance .................................... . 9

3. Inclusion et égalité ............................... . 10

4. Ensemble des parties d'un ensemble ................. . 10 5. Complémentaire d'un ensen1ble .................... . 11 1

6. Quantificateurs logiques ........................... . 11

7. sur les parties d'un ensemble : intersection 12

8. Reunion ......................................... . 13

9. Différence symétrique ............................. . 13

10. Différence ........................................ . 14

11. Produit cartésien d'ensembles ...................... . 14

§ 2. Relations et applications.

1. Relation binaire .................................. . 14

2. Relation ternaire ................................. . 15

3. Fonctions et applications .......................... . 15

4. Classification des applications ..................... . 16

5. Restriction ....................................... . 17

6. Extension ........................................ . 17

7. Composition des applications ...................... . 17

8. Image par une application f d'une partie A de E ..... . 17

9. Inversion d'une application ........................ . 18

10. Famille indexée .................................. . 19

11. Généralisation des notions d'intersection et de réunion 19

12. Relation d'équivalence ............................. . 20

13. Factorisation canonique d'une application ........... . 21

14. Relation d'ordre .................................. . 22

15. Eléments remarquables dans les ensembles ordonnés .. 25

16. Treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Exercices 1 à 18

CHAP. 2. -GROUPES.

§ l. Généralités sur les structures algébriques.

1. Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Loi de composition externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Propriétés des lois de composition interne . . . . • . . . . . . 29 -6

§ 2. des groupes. H<•mcl)morl!lhilsmtes.

1. Axiomes de la structure de groupe ................. . 30

2. du groupe sur lui-n1ême et résolution des

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