Rotations 3D et Quaternions
Rotation d'un angle ϑ autour de l'axe w page. 016. Page 17. Dr Mohamed Bouri 2018. Passage Axe/Angle => Matrice de cos. dir. (10). R =(1-cosϑ) xx xy xz xy yy
Chapitre 5 : Transformations et changements de repères - Master
Rotation 3D : autres axes. ROX =.. 1. 0. 0. 0 cosθ −sinθ. 0 sinθ cosθ Exemple : rotation d'axe quelconque. ▷ Avec un objet défini localement dans ...
Transformations géométriques : rotation et translation
rotation autour axe y rotation autour axe x rotation autour axe z. 1 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 0 0 1 x y z. T. T. T. T. ⌈. ⌉. │. │. │. │. = │. │. │. │. ⌊.
Rotation dans lespace 3D
Le vecteur colinéaire à l'axe autour duquel la rotation est effectuée a pour composantes Lorsque l'on dispose d'une matrice de rotation quelconque rappelons ...
Rappels mathématiques Transformations géométriques 2D et 3D 1
autour d'un point quelconque voir la section. “Composition de transformations ... On peut maintenant écrire la matrice de la rotation autour de l'axe Y : (EQ ...
LES ROTATIONS DE R3 : VERSION MATRICIELLE 1. Lespace R
est une solution non nulle et l'axe de la rotation de matrice B est engendré par le vecteur de Soit Ru
Quaternions orientation et mouvement
Oct 17 2017 Porte tournée d'un angle θ autour d'un axe dirigé par −→k. Angles d'Euler (zxz) (θ
Chapitre II - Transformations de corps rigides
Un carré après avoir subi une rotation autour d'un axe quelconque et une translation la position finale de l'objet selon une matrice de rotation 3 x 3 suivie ...
ME 5.1a
Nov 9 2020 l'axe y d'un angle et la matrice de rotation autour de l'axe x d'un angle ... dans l'espace 3D autour d'axes arbitraires γ β. Rotations ...
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de B selon les axes de B
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Plusieurs transformations appliquées aux objets 3D peuvent être Un carré après avoir subi une rotation autour d'un axe quelconque et une translation.
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
Jan 22 2014 Transformations affines 3D. 5. Gestion des matrices dans OpenGL ... dans le plan
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Rappelons les produits scalaire et vectoriel le déterminant (de matrices 2 Comme u et ?u engendrent le même axe Ru
QUATERNION
Convertir des matrices de rotation et des quaternions v un vecteur 3D. ... ? autour d'un axe de rotation v unitaire quelconque.
ÉTUDE DE LÉQUILIBRE DES CORPS
Le corps a tendance à tourner horaire autour de "O". On calcul toujours un moment par rapport à un axe de rotation quelconque exemple l'axe "O" on notera
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May 30 2018 Rotation des axes cartésiens d'un angle ? autour de l'axe z. ex ey e x e y ?. A. Ax. Ay. A x. A y. Un vecteur A quelconque peut s'exprimer ...
RAPPORT DE PROJET DE FIN DÉTUDES Aleksander Przybylo
Matrice de rotation. Une fonction spéciale a été implantée qui permet de créer une matrice de rotation autour d'un axe quelconque :
ANIMATION BASÉE SUR LINTERPOLATION
Ð Déplacement sur un axe 3D: É Le modèle contient un nombre de frame réduit pour l'animation. ... Ð Rotation autour d'un axe quelconque.
Rotation en trois dimensions
Commençons par faire une rotation d’axe Oz et d’angle ? Dans un repère orthonormé Oxyz cela revient à faire une rotation plane dans le plan xOy ou dans un plan parallèle tout en laissant fixes les points de l’axe Oz Cette rotation a pour matrice cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 R ? ? ? ? ? =
Qu'est-ce que la matrice de rotation ?
Ces dernières sont aussi appelées rotations vectorielles (d'où le nom de « matrice de rotation »), parce qu'en dimension 2 et 3, elles correspondent respectivement aux rotations affines planes autour de l'origine et aux rotations affines dans l'espace autour d'un axe passant par l'origine.
Comment calculer la rotation d'une matrice ?
Ainsi, à partir de n'importe quelle matrice de rotation 3×3, on peut déterminer un axe et un angle, et ceux-ci déterminent complètement la rotation (à l'orientation près). Une matrice de rotation 2×2 a nécessairement la forme suivante : avec a2 + b2 = 1. Nous pouvons donc poser a = cos ? et b = sin ?, pour un certain angle ?.
Qu'est-ce que la rotation en dimension supérieure à 3 ?
Mais en dimension supérieure à 3, le fait nouveau est qu'une rotation n'est pas nécessairement de cette forme (i.e. le sous-espace de ses vecteurs fixes peut très bien être de dimension strictement inférieure à n –2) : c'est seulement un produit de rotations de cette forme (cf exemples ci-dessous). correspond à une rotation de 90° dans le plan.
Comment interpréter une matrice de rotation ?
L'interprétation d'une matrice de rotation peut donner naissance à plusieurs ambiguïtés : La modification des coordonnées d'un vecteur peut correspondre à une rotation de ce vecteur ( alibi ), ou à une rotation du repère ( alias ). La matrice peut représenter la rotation dans un repère orienté positivement ou négativement.
IMN428
Chapitre 2 - Transformations géométriques
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
22 janvier 2014
Transformations géométriques1 / 104
Plan de la présentation
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques2 / 104
Vecteurs et matrices
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques3 / 104
Propriétés des vecteurs
Les vecteurs sont utiles pour représenter despositions(points, objets, caméra), desorientations(directions, normales), des mouvements(translation), desinformations sur les surfaces (couleur, propriétés lumineuses) etc. Dans le cours d"infographie, on rencontrera des vecteurs à2, 3 et 4 dimensions:(x;y),(a;b;c),(;; ;).Transformations géométriques4 / 104Propriétés des vecteurs
Soient deux scalaires,aetbet 3 vecteurs,P,QetR. On a les propriétés suivantes : (a)P+Q=Q+P (b)(P+Q) +R=P+ (Q+R) (c)(ab)P=a(bP) (d)a(P+Q) =aP+aQ (e)(a+b)P=aP+bPTransformations géométriques5 / 104Propriétés des vecteurs
Les vecteurs s"additionnent et se soustraientcomposante à composante, c"est-à-dire que siP= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);
alors P+Q= (P1+Q1;P2+Q2;:::;Pn+Qn):Transformations géométriques6 / 104Propriétés des vecteurs
On évalue l"amplitude(ou lanorme) d"un vecteurVde dimensionn avec la formule jVj=v uutn X i=1V 2i: Par exemple, dans le cas d"un vecteur de dimension 3(Vx;Vy;Vz), on aura jVj=qV2x+V2y+V2z:
Un vecteur ayant une norme de 1 sera ditvecteur unitaire.Transformations géométriques7 / 104Propriétés des vecteurs
Soit un scalaireaet deux vecteursPetQ. On a les propriétés suivantes : (a)jPj 0 (b)jPj=0 si et seulement siP= (0;0;:::;0) (c)jaPj=jajjPj (d)jP+Qj jPj+jQjCette dernière propriété porte le nom d"inégalité du triangle.Transformations géométriques8 / 104
Propriétés des vecteurs
Un vecteurVnon nul (au moins une des composantes doit être différente de 0) peut être ramené à un vecteur unitaire en le multipliant par1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.
Attention à ne pas confondre la normalisation avec le concept de vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à une surface en un point donné.Transformations géométriques9 / 104
Produit scalaire
Leproduit scalairesert à mesurer ladifférence entre deux directionsdonnées par des vecteurs. On évalue le produit scalaire de deux vecteurs de taillen,PetQ, à l"aide de la formule PQ=nX i=1P iQi Cette formule peut aussi être exprimée sous la forme d"unproduit matriciel:PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2
6 664Q1 Q 2... Q n3 7
775:Transformations géométriques10 / 104
Produit scalaire
SoientPetQ, deux vecteurs de
taillen. Le produit scalairePQ peut aussi être évalué avec la formulePQ=jPjjQjcos;
oùest l"angle planaire entre les vecteursPetQ.niPQoPrthgalzP n P Q P n Q n n niPQorthghgniPQnortnhgroaltnzengQ vtQontrntPQnvc1 Qn2Qt3QQcnt3rn4Qltrgen25ntPQnQ6avtzrcn lre.n=alal 7n aozzegt8Qtn.n2QntPQnvc1 Qn2Qt3QQcntPQn4Qltrgenanvconl9nvenePr3cnzcn:z1agQn;7;7n <5ntPQn v3nr=nlrezcQen>eQQn?hhQcoz@n<9nAQltzrcn<7BC9n3QnDcr3n n ;lre.i=lialal al7n>;7EFCn iPzenQ@hvcoentrn nhg EEE ;lre nnn iii i iiiPQPQ .
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