[PDF] Baccalauréat STI 2007 Lintégrale de juin à novembre 2007

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?Baccalauréat STI 2007?

L"intégrale de juin à novembre 2007

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bleus

Métropole Arts appliqués juin 2007

......................3 Métropole Arts appliqués septembre2007.............. 6 La Réunion Génie civil juin 2007 juin 2007.............10 Métropole Génie civil juin 2007.........................12 Polynésie Génie mécanique juin 2007.................. 15 Métropole Génie civil septembre 2007..................18 Polynésie Génie civil septembre 2007.................. 21 Nouvelle-Calédonie génie civil déc. 2007...............24 Antilles-GuyaneGénie électronique juin 2007..........27 La Réunion Génie électronique juin 2007...............29 Métropole Génie électronique juin 2007................33 Polynésie Génie électronique juin 2006.................37 Métropole Génie électronique septembre 2007........39 Nouvelle-Calédonie Génie électronique déc. 2007.....42 France Génie des matériauxjuin 2007..................45 Antilles-GuyaneGénie des matériauxseptembre 200748 Métropole Génie des matériaux septembre 2007...... 51

A. P. M. E. P.L"intégrale 2007

2 ?Baccalauréat STIArts appliqués- Métropole? juin 2007

EXERCICE18 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n"est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Les réponses exactes aux questions 2 et 3 rapportent deux points, les autres un point. 1234
-1 -2 -3 -41 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 a.Une équation de cette ellipse est :

A : 25x2+9y2=

225B : 9x2+25y2=

225C : 3x2+5y2=15D : 9x2-25y2=

225
b.Un de ses foyers est le point F de coordonnées :

A : (4; 0)B : (5; 0)C : (0; 3)D : (2; 0)

2.Soit la fonctionfdéfinie sur [0; 9] parf(x)=-x3+9x2dont la courbe repré-

sentative dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.On remarquera quef(0)=0 etf(9)=0.

20406080100

1 2 3 4 5 6 7 8 9

O L"aire du domaine compris entre la courbe defet l"axe des abscisses est, en unités d"aire :

A : 0B : 546,75C : 81D : impossible àcalculer

3.Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parf(x)=lnx+4x. Une primitive def

est la fonctionFdéfinie sur ]0 ;+∞[ par :

A :1x+4B :1x+2x2C : lnx+2x2D :xlnx+2x2-

x Baccalauréat STI Arts appliquésL"intégrale 2007

4.On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.Toutes les cartes ont la même pro-

babilité d"être tirées. La probabilité de tirer une carte qui ne soit ni un roi ni un coeur est :

A :3552B :1752C :913D :213

5.On donne la fonctionfdéfinie parf(x)=e2x-ex+x; l"intégrale?

1 0 f(x)dx vaut :

A : e2-e+1B :12e2-e+1C : 3-2

EXERCICE212points

Un graphiste designer a conçu un flacon pour un parfum. ll s"agit d"un parallélé- pipède rectangle de base carrée surmonté d"un cube, comme lemontre la figure ci-dessous :

6 cm6 cmx x

xx ABC D E F GH 8 cm LecubedebaseEFGHestplacéaucentreducarrésupérieur ABCD.Lavariablexdé-

signe la distance entre les côtés du carré de base EFGH du cubeet les côtés du carré

ABCD. Le flacon a une hauteur totale de 8 cm et les côtés du carréABCL) mesurent

6 cm. On admettra que l"on a : 0?x?3.

PartieA.

1.Démontrer que le volume du petit cube estU(x)=-8x3+72x2-216x+216.

2.En déduire que le volume total du flaconestV(x)=-8x3+72x2-144x+288.

PartieB.

Métropole4juin 2007

Baccalauréat STI Arts appliquésL"intégrale 2007

1.Soitfla fonction définie sur [0; 3] parf(x)=-x3+9x2-18x+36.

SoitCfla courbe représentant la fonctionfdans le plan muni d"un repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

(unités graphiques : 5 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées). a.f?désignant la dérivée de la fonctionf, calculerf?(x). b.Résoudre l"équationf?(x)=0 dans l"intervalle [0; 3]. On appelleαla va- leur exacte de son unique solution. Déterminerαpuis sa valeur arrondie au dixième. c.Étudier le signe def?(x) sur [0; 3] et dresser le tableau de variations def sur [0; 3]. d.Pour quelle valeur dexcette fonction admet-elle un minimum?

2.Déterminer une équation de la tangente T àCfen son point d"abscisse 1.

3. a.Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les

valeurs calculées au centième. x00,511,522,53 f(x)

PartieC.

1.Vérifier que le volume du flacon vérifieV(x)=8f(x).

2.À l"aide de la partie B de ce problème, déterminer la valeur encm3, arrondie

à l"unité, du volume minimal V

m.

Métropole5juin 2007

?Baccalauréat STIArts appliqués- Métropole? septembre 2007

EXERCICE18 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte.Donner la lettre correspondant àcette réponse sur le tableau de la feuille annexe. Chaque réponse exacte rapporte un point.

Question1

La fonctionfdéfinie surRparf(x)=e-2xadmet pour dérivée la fonctionf?définie parf?(x)= A. e -2xB. 2e-2xC.-2e-2xD.-e-2x

Question2

L"équation, d"inconnue réellex, lnx+2=0 admet pour solution : A. e -2B.-2 C.-e-2D. aucune

Question3

Le nombre e

-ln3est égal à :

A.-3 B.1

3C.-13D. n"existe pas

Question4

12 -1 -21 2 3-1-2-3 1AB A B ?O La courbe dessinée ci-dessus admet pour équation : A. x2

3+y22=1 B.x29-y24=1 C.x29+y24=0 D.x29+y24=1

Question5

Un des foyers de l"ellipse précédente est le point F de coordonnées : A. F ?0 ;?

13?B. F??13 ; 0?C. F??5 ; 0?D. F?0 ;?5?

Les trois dernières questions portent sur les données suivantes : sibles : choix X : une médiathèque. choix Y : un complexe sportif. La municipalité a reçu 1000 fiches réponses de ses électeurs.On a classé les élec- teurs par tranches d"âge : Tranche A : 18 à 30 ans Tranche B : 30 à 50 ans Tranche C : Plus de 50 ans

Qn a obtenu les résultats suivants :

Baccalauréat STI Arts appliquésA. P. M. E. P.

ABCTotal

X138214172524

Y176188112476

Total3144022841000

On tire la fiche d"un électeur au hasard :

Question6

La probabilitép(X) qu"il vote pour X vaut :

A. 0,314 B. 0,138 C. 0,524 D.

524
476

Question7

La probabilitép(B∩X) est égale à :

A. 0,214 B.

214

402C.214524D. 0,712

Question8

La probabilitép(B?X) est égale à :

A. 0,926 B. 0,214 C.

214

524D. 0,712

EXERCICE212points

Archibald Nikolaüs veut faire graver et dorer ses initialesANsur les volumes reliés de sa bibliothèque. Pour cela, il établit un modèle que l"on areproduit en partie sur la feuille annexe, dans un repère orthonormé?

O,-→ı,-→??

PARTIE1

Étude d"une premièrecourbeC1

C

1est la représentation graphique d"une fonctiong, définie sur l"intervalle [5 ; 9],

par g(x)=-x2+bx+c oùbetcsont des réels à déterminer.

1.Écrire les conditions que doivent vérifier les réelsbetcpour que la courbe

C

1passe par les points A(5; 1) et B(9; 5).

2.On admet queg(x)=-x2+15x-49.

a.On désigne parg?la dérivée de la fonctiong.Calculerg?(x) et étudier son signe. En déduire les variations de la fonctiongsur l"intervalle [5; 9]. b.Déterminer pour quelle valeur dexla fonctiongadmet un maximum. En déduire les coordonnées du sommet C de la courbeC1et le placer sur le graphique de la feuille annexe.

PARTIE2

Étude ettracé de la courbeC2

C

2désigne la courbe représentant la fonctionfdéfinie, pour toutxde l"intervalle

[1; 5],par: f(x)=1+1

2x2-4lnx.

1. a.f?désignant la dérivée de la fonctionfcalculerf?(x).

b.Vérifier quef?(x)=(x-2)(x+2) x. c.En déduire le signe def?(x) sur l"intervalle [1; 5].

Métropole7septembre 2007

Baccalauréat STI Arts appliquésA. P. M. E. P.

2.Établir le tableau de variations de la fonctionfsur l"intervalle [1 ; 5].

3.Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant des résultats

arrondis au dixième. x11,522,533,544,55 f(x)1,17,1

4.TracerC2avec soin sur la feuille annexe, dans le même repère?

O,-→ı,-→??

PARTIE3

Archibald Nikolaüs veut faire dorer à la feuille d"or la partie du plan limitée par l"axe des abscisses, la courbeC2les droites d"équationx=1 etx=5.

1.Hachurer sur le graphique de la feuille annexe la partie à dorer.

2. a.Vérifier que la fonctionFdéfinie sur l"intervalle [1 ; 5] par

F(x)=1

6x3-4xlnx+5x

est une primitive def. b.En déduire la valeur exacte de l"intégrale I=? 5 1 f(x)dx. c.Quelle est l"aire de la partie hachurée? (On donnera un résultat en unités d"aire, arrondi au dixième).

Métropole8septembre 2007

Baccalauréat STI Arts appliquésA. P. M. E. P.

FEUILLE ANNEXE à rendreavecla copie

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

AB

Question

numéro12345678

Réponse

Métropole9septembre 2007

Durée : 4 heures

?Baccalauréat STILa Réunion 15 juin 2007?

Génie mécanique, énergétique, civil

EXERCICE15 points

1.Résoudre dans l"ensembleCdes nombres complexes l"équation :

z 2-4z?

3+16=0.

2.Le plan est rapporté au repère?

O,-→u,-→v?

d"unité graphique 2 cm. On considère les points A et B d"affixes respectiveszA=2?

3-2i et

z B=2? 3+2i. a.Déterminer le module et un argument dezAet dezB. b.En déduire une construction des points A et B dans le repère?

O,-→u,-→v?

c.Déterminer une mesure en radians de l"angle orienté?--→OA ;--→OB? d.Déterminer la nature du triangle AOB. e.Soit I le point d"affixezI=4? 3 3. Démontrer que I est le centre du cercle circonscrit au triangle AOB.

EXERCICE24 points

Soit l"équation différentielle (E) :

1

4y??+9y=0,

oùyest une fonction deux fois dérivable de la variable réellex.

1.Résoudre l"équation différentielle (E).

2.Trouverlafonctionf,solution particulièrede(E),vérifiantlesconditionssui-

vantes : f 6? =-12etf??π6? =3?3.

3. a.Vérifier que, pour tout nombre réelx,f(x)=cos?

6x+π

3? b.En déduire les solutions, dans l"ensembleRdes nombres réels, de l"équa- tionf(x)=0.

4.Calculer la valeur moyenne de la fonctionfsur l"intervalle?

-5π

36;π36?

PROBLÈME11points

Le plan est rapporté àun repèreorthogonal?

O,-→ı,-→??

(unités graphiques : 2 cm sur l"axe des abscisses, 1 cm sur l"axe des ordonnées).

PartieA : étude d"une fonctionauxiliaire

Soitgla fonction définie sur l"ensembleRdes nombres réels par : g(x)=2e-2x-8e-x-4x+6. Baccalauréat STI Arts appliquésA. P. M. E. P.

1.Soitg?la fonction dérivée deg. Montrer que, pour tout nombre réelx,

g ?(x)=-4(e-x-1)2.

2.Dresser le tableau de variations de la fonctiong. On ne donnera pas les li-

mites en-1 et+1.

3. a.Calculerg(0).

b.En déduire le signe deg(x) surR.

PartieB : étude de la fonction

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x)=2e-2x-8e-x+6.

O,-→ı,-→??

1. a.Résoudre dansRl"équationf(x)=0.

b.Donner l"interprétation graphique des solutions trouvéesà la question précédente.

2. a.Étudier la limite defen+1. En déduire l"existence d"une asymptoteDà

la courbeC.

On donnera une équation deD.

b.Vérifier que, pour tout nombre réelx,f(x)=e-2x?2-8ex+6e2x?.

En déduire la limite defen-1.

3. a.Déterminerladérivéef?def.Montrerque,pourtoutnombreréelx,f?(x)

est du même signe que (-e-x+2). c.Donner une équation de la tangenteTà la courbeCau point d"abscisse 0. d.En utilisant les résultats de la partie A, étudier les positions relatives de la droiteTet de la courbeC. e.Tracer les droitesTetD, puis la courbeC.

PartieC : primitive et calculd"aire

1.Déterminer une primitiveFde la fonctionf.

2.Hachurer la partieEdu plan comprise entre l"axe des abscisses, la courbeC,

et les droites d"équationsx=-ln3 etx=0.

3.Calculer, en cm2, la valeur exacte de l"aire de la partieE; en donner une va-

leur approchée au mm

2près par défaut.

La Réunion11juin 2007

Durée : 4 heures

?BaccalauréatSTIGéniemécanique,civil Métropole? juin 2007 L"utilisation d"une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

EXERCICE14 points

On considère l"équation différentielle (E) : 4y??+π2y=0 oùyest une fonction nu- mérique deux fois dérivable de la variable réellex.

1.Résoudre l"équation (E).

2.Déterminer la fonctiong, solution de cette équation, dont la courbe repré-

1 2;? 2 2? et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l"axe des abscisses.

3.Vérifier que, pour tout nombre réelx,g(x)=?

2

2cos?π2x-π4?

4.Calculer la valeur moyenne de la fonctiongsur l"intervalle [0; 1].

EXERCICE25 points

i désigne le nombre complexe de module 1 et d"argument 2.

1.Résoudre dans l"ensemble des nombres complexes l"équation

z

2+2z+10=0.

2.Déterminer les nombres complexescetdvérifiant le système :

?-2c+d=1+13i -c+d=4+8i

3.Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal?

O,-→u,-→v?

d"unité gra- phique 1 cm. a.Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont : -1+3i,-1-3i, 3-5i et 7+3i. b.Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A. c.Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C. d.En déduire que les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on déterminera le centreΩet le rayon. Tracer le cercle sur la figure.

PROBLÈME11points

Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=exlnx+ex x. Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civilA. P. M. E. P. On appelleCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

d"unités graphiques 4 cm sur l"axe des abscisses et 1 cm sur l"axe des ordonnées.

PartieA

L"objet decette première partie est l"étude des limites dela fonctionfaux bornesde son ensemble de définition.

1.Déterminer la limite defen+∞.

2. a.Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx,

f(x)=ex x(xlnx+1).

On rappelle que lim

x→0xlnx=0. En déduire la limite defen 0. b.Montrer que la courbeCadmet une asymptoteDdont on donnera une

équation.

PartieB : étude d"une fonctionintermédiaire

Soitgla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=lnx+2 x-1x2

1. a.On désigne parg?la dérivée de la fonctiong.

Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx, g ?(x)=x2-2x+2 x3. b.Étudier le signe deg?(x). En déduire que la fonctiongest strictement croissante sur l"intervalle ]0 ;+∞[. L"étude des limites n"est pas deman- dée.

2. a.Démontrer que l"équationg(x)=0 admet une solution uniqueαdans

l"intervalle?1 2; 1? b.Donner un encadrement d"amplitude 10-2deα.

3.Déduire des questions B 1 et B 2 le signe deg(x), pourxappartenant à l"in-

tervalle ]0 ;+∞[. Partie C : étude des variations de la fonctionfet construction de la courbe asso- ciée

1. a.f?désignant la dérivée def, calculerf?(x) et montrer quef?(x)=exg(x),

pour tout nombrexappartenant à l"intervalle ]0 ;+∞[. b.En déduire le signe def?(x) sur l"intervalle ]0 ;+∞[.

2. a.Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

b.Calculer une valeur approchée à 10-1près def(α), en prenant 0,6 pour valeur approchée deα.

3. a.Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

x0,250,50,7511,251,51,7522,252,5 f(x) à 10 -1près b.Construire l"asymptoteDet la courbeCpourxappartenant à l"intervalle ]0; 2,5].

Métropole13juin 2007

Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civilA. P. M. E. P.

PartieD : calculd"aire

1.Montrer que la fonctionF, définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parF(x)=exlnx

est une primitive def.

2.On désire calculer l"aire de la partieEdu plan comprise entre la courbeC,

l"axe des abscisses et les droites d"équations respectivesx=1 etx=2.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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