Transformations géométriques : rotation et translation
une rotation autour de l'origine d'un angle θ antihoraire. • Opération linéaire* : multiplication de matrice. 179 x y θ. 2. 1 cos sin.
ROBOTIQUE - ENSTA Bretagne
La matrice (vecteur) de translation opère selon l'axe 0 y . La matrice de rotation (d'angle nul) est telle que : 0. 1. 0. 1.
Chapitre 5 : Transformations et changements de repères - Master
// compose avec une matrice de translation. (multiplication à droite) m1. rotate ( angle axisX
Rappels mathématiques Transformations géométriques 2D et 3D 1
Si on tourne ce repère de l'angle de la rotation ces vecteurs se confondent avec les axes. Si l'on considère les deux vecteurs colonnes de la sous matrice et.
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
22/01/2014 d'échelle suivi d'une translation est différent d'une translation suivie ... original la matrice de passage devient une matrice de rotation :.
Comparaison de décompositions de la matrice homographique et
03/09/2018 The precision of the transformation is evaluated on the translation and the rotation part. The decomposition of the essential matrix appears to ...
Chapitre II - Transformations de corps rigides
matrice de rotation 3 x 3 suivie d'une translation. Bref la rotation peut être interprétée indépendamment de la translation. Page 31. 31. Interpolation de ...
Chapitre V: Le groupe des déplacements géométriques
Cette relation permet donc d'exprimer toute matrice de translation en fonction des matrices composantes de . 2 Les rotations. Une rotation peut être définie
Chapitre 5 Transformations linéaires
b) La translation ta : R3 → R3 n'est pas une transformation linéaire. En On construit la matrice de rotation dans le systeme de coordonnees defini par B2.
Exponentielle de matrices: cas des rotations et des déplacements
17/06/2003 la matrice de rotation d'angle θ. On peut le voir simplement ... En utilisant la conjugaison par la matrice de la translation de vecteur. −− ...
Transformations géométriques : rotation et translation
Correspond à déplacer un point (vecteur) avec une rotation autour de l'origine
Least-Squares Rigid Motion Using SVD by Olga Sorkine-Hornung
16 janv. 2017 sense i.e.
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
22 janv. 2014 mouvements (translation) des informations sur les surfaces ... z
Untitled
matrix to rotation and translation? Page 7. [ ]×. = E t R. = t E 0. T. : Left nullspace of the essential matrix is the epipole in image 2.
Synthèse dimages Outils mathématiques de base
4 sept. 2020 Point + Vecteur = Point (translation du point). • Point + Point = rien ! ... Matrice de rotation autour de l'axe des z :.
ENSTA Bretagne
3.3 Translation et rotation. 3.4 Matrices de transformation homogène. 3.5 Obtention du modèle géométrique. 3.6 Paramètres de Denavit-Hartenberg modifié.
Finding the exact rotation between two images independently of the
translation and rotation cause fundamentally different flow fields on the tion that involves the fundamental or essential matrix between the two images.
1 Chap 4
on multiplie les matrices représentant les transformations élémentaires. ? Exemple: Rotation autour d'un axe // à l 'axe x. ? Matrice
Rotations and rotation matrices
vector by a rotation matrix R and addition of a translation vector t. For this purpose we work in an orthogonal Cartesian system in a?ngstro?ms: conversion
Rotation Matrices and Translation Vectors in Crystallography
Rotation matrices (R) and translation vectors (t) are very powerful descriptions of the symmetry within the crystal and give aid in origin specification in
Geometric transformations in 3D and coordinate frames
matrix tistranslation vectortransformationfollowedbytranslation Using homogeneous Notes: 1 general 2 Invert an affinetransformationusinga4x4 matrixcoordinates inverse An inverseaffinetransformationis also anaffinetransformation 14 using ffine homo Translation Linear •Scale Linear •Rotation Lineartransform transform transform tran gen ation ation
Combining translation and rotation
translation: 3 units right reflection across the y-axis rotation 90° clockwise about the origin translation: 1 unit right and 3 units uprotation 180° about the origin Create your own worksheets like this one with Infinite Algebra 2 Free trial available at KutaSoftware com
Lecture 3: Coordinate Systems and Transformations
The rststepistousetranslationtoreducetheproblemtothatof rotationabouttheorigin: =T(p0)RT( p0): To ndtherotationmatrixRforrotationaroundthevectoru we rstalignuwiththezaxis usingtworotations xand y Thenwecanapply rotationof aroundthez-axisandafterwardsundothealignments thus =Rx( x)Ry( y)Rz( )Ry( y)Rx( x):
ROTATIONS AND REFLECTIONS USING MATRICES translation
ROTATIONS AND REFLECTIONS USING MATRICES Earlier in your course you looked at a variety of ways in which a shape could be moved around on squared paper We studied: translation reflection rotation In each of these the size of the original shape remained fixed
2D Transformations - Department of Computer Science and
The standard rotation matrix is used to rotate about the origin (00) cos(?) -sin(?) 0 Affine matrix = translation x shearing x scaling x rotation
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Rotationofskewsymmetricmatrices ForanyrotationmatrixR: ?T RwR= ations ? (Rw) 3 inR The (described (described by {A}) to its new position by{B}) vector inthesecondpositionorientation 10 SE () 3 = http://www seas upenn edu/~meam520/notes02/RigidBodyMotion3 pdf 12 SE(3)isaLiegroup SE(3)satisfiesthefouraxiomsthatmustbesatisfiedbytheelementsofan
What is the transformation matrix for translation and rotation?
Note that translations and rotations do not commute! If the operations are applied successively, each is transformed to ( 3. 33) ( 3. 34) ( 3. 35) represents a rotation followed by a translation. The matrix will be referred to as a homogeneous transformation matrix.
What is rotation matrix?
The rotation matrix, or undefined if the data necessary to do the transformation is not yet loaded. Computes a rotation matrix to transform a point or vector from True Equator Mean Equinox (TEME) axes to the pseudo-fixed axes at a given time. This method treats the UT1 time standard as equivalent to UTC.
How do you describe a rotation about the origin followed by translation?
A rotation about the origin followed by a translation may be described by a single matrix where is the rotation matrix, is the translation, and is the vector of zeros. Since the last row of the rotation-translation matrix is always , they are sometimes shorthanded to a augmented matrix
How do you combine translation and rotation in robotics?
Combining translation and rotation Suppose a rotation by is performed, followed by a translation by . This can be used to place the robot in any desired position and orientation. Note that translations and rotations do not commute!
04/09/20201
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Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 PointsP(x,y,z):donneunepositionrelativeàl'originedansnotresystèmedecoordonnéesYZXP(x,y,z)Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 PointsExercicex = ?y = ?z = ?YZXP(x,y,z)rφθP(r, θ, φ)OAMQP(r,θ,φ) : donne la position en coordonnées polaires
04/09/20202
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Points -solution•On connaît le point P(r,θ,φ)•Triangle QOP est rectangle en Q•cos φ = z/OP=z/r => z = r cos φ•sin φ = QP/r => QP = r sin φ •Triangle OAM est rectangle en A•cos θ= OA/OM = x/OM => x = OM cos θ= QPcos θ=> x = r sin φcos θ•sin θ = AM/OM = y/OM =>y = OM sin θ= QPsin θ=> y = r sin φsin θYZXP(x,y,z)rφθP(r, θ, φ)OAMQIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 VecteursV (x, y, z) : donne une directiondans l'espace 3DPoints != Vecteurs•Point -Point = ?•Vecteur + Vecteur = ?•Point + Vecteur = ?•Point + Point = ?
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteurs-solutionV (x, y, z) : donne une directiondans l'espace 3DPoints != Vecteurs•Point -Point = Vecteur (AB = B -A)•Vecteur + Vecteur = Vecteur•Point + Vecteur = Point(translation du point)•Point + Point = rien !Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteursvwv + wAddition de vecteursv + wv2v(-1)v(1/2)VMultiplication par un scalaireàvecteursrestent//vwDifference de vecteursv -w = v + (-w)v-wv -wxyVecteurOP = P -OPO
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteurs Longueur(norme) d'un vecteur V (x, y, z) : ||v|| = Vecteur unitaire : u = u / (norme de u)Produit scalaire (Dot Product)•a · b = ||a|| ||b|| cos qd'où cosq= a ·b / ||a||||b||•a · b = xa* xb+ ya* yb+ za* zb•Si on considère les vecteurs unitaires du repère ?Le produitscalaireestun scalaireIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Vecteurs -Solution•Si on considère les vecteurs unitaires du repère ?•Leproduitscalairededeuxvecteursperpendiculairesestnul=> i . j = j . k = k . i = 0•Le produit scalaire du même vecteur vaut 1=> i . i = j . j = k . k = 1cossin0
04/09/20203
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Produit vectoriel (Cross Product)•Produit vectoriel àvecteur normal au 2 vecteurs•||a x b|| = ||a|| ||b|| sin qUVU x VLe produitvectorielestun vecteurUtile pour calculer les normalesIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Produit vectoriel-Solution•Le produit vectoriel de deuxvecteurscolinéairesestnul•i x i = j x j = k x k= 0•|i x j| = |j x k| = |k x i| = 1cossin0
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan3 points non alignés forment un plan unique•Equation : ax+ by + cz + d = 0Attention : 4 points ne sont pas forcement coplanaires (dans le même plan)Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Exercice 1Soit un point A élément du plan•Trouverunvecteur normal au plan •Trouverl'équation d'un plan passant par A
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Solution•Trouver un vecteur normal au plan •Planpeutêtre défini par un point et vecteur n•On considère le point A dans le plan•OnconsidèreunpointMégalementdans leplan•Ilreprésente l'ensemble des points de ce plan•Soit n la normale au plan, on a : n .AM=0=>n.(AO + OM) = n . (OM -OA)= n . OM -n . OACela équivaut à l'équation cartésienne avec M (x, y, z) et n (n1, n2, n3) :n1 x + n2 y + n3 z -(n1 a1 + n2 a2 + n3 a3) = 0ÞÉquation ax+ by + cz + d = 0avec a = n1, b = n2, c = n3, d = -n . OA+A+MIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Exercice 2Soient 3 points : A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)•Trouverunvecteur normal au plan •Trouverl'équation du plan A,B,C
04/09/20204
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Solution•Vecteur normal au plan ABC avec A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)•n = ABxAC= (-1,1,0) x (0,-1,1) = (1, 1, 1)•SoitM(x, y, z) ∊(A B C)•AM=M-A=(x-1, y, z) qui est orthogonal à n (1, 1, 1)•AM.n=0<=> x-1 + y + z = 0 <=> x + y + z -1 = 0 équation du plan (ABC)Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Plan -Solution•Autre méthode•Onsaitquel'équationduplanestdelaformeax+by+cz+d=0•A(1, 0, 0) appartient au plan (A, B, C)Þa +d=0•B (0, 1, 0) appartient au plan (A, B, C)Þb + d = 0•C (0, 0, 1) appartient au plan (A, B, C)Þc + d = 0Þd = -a = -b = -cÞx + y + z -1 = 0 convient
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Equation paramétrique d'une ligneSoient•P0 = (x0, y0, z0) •P1 = (x1, y1, z1) La ligne P passant par P0 et P1 estP(t) = P0+ t (P1-P0)x(t) = x0+ t (x1-x0)y(t) = y0+ t (y1-y0)z(t) = z0+ t (z1-z0)=avec -¥< t < ¥Si 0 < t < 1 on a le segment [P0 P1]sit=0, on a le point P0sit = 1, on a le point P1P0P1Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Equation d'un cercleabchypothénusea2+ b2= c2Pxy(0,0)rx2+ y2= r2Théorème de PythagoreCercle de centre (0,0) et de rayon r, pour tout P(x,y) sur le cercle :
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Equation d'une sphèreThéorèmede Pythagoregénéraliséà la3D : a2+ b2+ c2= d2(x-xc)2+ (y-yc)2+ (z-zc)2= r2x2+ y2+ z2= r2Pour tout P(x,y,z) sur le sphère de centre (0,0,0) et de rayon r :Pour tout P(x,y,z) sur le sphère de centre (xc,yc, zc) et de rayon r :Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Outils mathématiques Contexte : besoin mathématiques pour la synthèse d'images •Pour décrire la scène•Définition d'un système de coordonnées•Pour faire des transformations géométriques •Projection et transformationBases pour la géométrieMatrices et transformations géométriques•Définitionet opérationssur les matrices•Transformations géométriques•Compositions de transformations
04/09/20205
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 MatricesUne Matrice est un tableau de dimensions M (lignes) par N (colonnes)•matrice 3 par 6•élément 2,3 est (3)Un vecteur peut être considéré comme une matrice 1 (ligne) x M (col.)
()zyxv= ae100025
114311
212003
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Types de matricesMatrices identité notée I :Matrice diagonale:
ae 10 01 ae 10000100
0010 0001
Matrice symétrique:
ae 40000100
0020 0001 ae fec edb cba
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Opérations sur les matricesAdditionde matrices : Transposéed'une matrice : M par N devient N par M
ae ae 389724
651
376
825
941
T ae ae ae sdrc qbpa sr qp dc ba ae ae 63
52
41
654
321
T
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Opérations sur les matricesMultiplicationde deux matrices•Matrice x1 y1multipliée par matrice x2 y2•Multiplication possible ssiy1= x2•Résultat : matrice x1 pary2•Attention : si A * B est possible, cela ne veut pas dire que B *A l'est aussi !!!
ae ae ae x1y1y2y2x1x2Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Opérations sur les matrices•A est n par k , B est k par m•C = A * B est définie par•B*A != A*B
k l ljilijbac 1 ae ae ae ae ae ae ae ae aeIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Exemple de multiplications de matrices
ae ae ae -____ ____ 10 11 12 101132
ae ae ae ______ ______ ______ 010 001 100
111
013 322
04/09/20206
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Solution ae ae ae -____ ____ 10 11 12 101132
ae ae ae ______ ______ ______ 010 001 100
111
013 322
700-2-2 3210-3-1 -11Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Inverse d'une matrice•Si A * B = I et B * A = I alors A = B-1et B = A-1
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Transformations géométriquesLes transformations géométriques sont utilisées partout•Changement de repère•Projection•Déplacement dans le tempsElles sont effectuées en utilisant des matrices de transformationChaque point P(x,y,z) de l'objet est multiplié par une matriceNous obtenons une nouvelle position issue de la transformation :P'(x', y', z') = matrice de transformation * PIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Transformations géométriques en 2DAvantAprèsChangement d'échelle en 2DP(x,y,z)P'(x',y',z')
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Transformations géométriques en 2DAvantAprèsqAvantAprèsTranslation en 2DRotation en 2DP(x,y,z)P(x,y,z)P'(x',y',z')P'(x',y',z')Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de transformation en 3DEn 3D, un vecteur est transformé en le multipliantpar une matrice 3x3 appelée matrice de transformation
ae ae ae izhygx fzeydx czbyax z y x ihg fed cba Matrice de transformationVecteur P' transforméVecteur P qui subit la transformation04/09/20207
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de changement d'échelleC'estunematricediagonalede la formesuivante(avec a, b, c les facteursd'échelle) : Exemple:
ae ae ae cz by ax z y x c b a 00 00 00 ae ae ae -10 4 6 5 4 3 200010 002
Matrice de changement d'échelleIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Rotation autour d'un axe : exerciceOn veut faire une rotation autour de l'axe des zQuelle est la matrice de transformation correspondante ?YX
a aa aa i re ir rr yxP ))sin()(cos( )sin()cos( qa+ i eP aPPoint initial :
Introduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de rotation en 2DPoint P' issu de la rotation de P autour de l'axe des z :Remarque : Z ne change pas
ae ae- y x iyiiyxix iiyx erereP iii )cos()sin( )sin()cos( )sin()cos()sin()cos( ))sin())(cos(( qq qq qqqq qq qaqa YX qa+ i eP aPi2=-1Point PMatrice de transformationIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de rotation en 3DMatrice de rotation autour de l'axe des z :
ae 1000)θcos()θsin(
0)θsin(-)θcos(
YX ()yx()()()()()yθ cosxθ sin yθ sin-xθ cos+ car Z ne change pasIntroduction à l'informatique graphique -Université Lyon 1 Matrice de rotation en 3DRotation autour de X :Rotation autour de Y :
ae )θcos()θsin(0 )θsin(-)θcos(0 001 ae )θcos(0)θsin( 010 )θsin(-0)θcos(quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] pagination mémoire virtuelle
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