[PDF] TD 6 : Conditionnement martingales théorème d’arrêt Corrigé

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Processus aléatoiresThomas Budzinski

ENS Paris, 2017-2018 Bureau V2

thomas.budzinski@ens.fr TD 6 : Espérance conditionnelle dansL2, lois conditionnelles

Corrigé

Mercredi 18 Octobre

1 Espérance conditionnelle dansL2

Exercice 1

On se donne deux variables aléatoires réelles positivesXetY, et on suppose queE[XjY] =Yet

E[YjX] =X.

1.

Mon trerque si XetYsont dansL2, alorsX=Yp.s..

2. On se place main tenantdans le cas général. Mon trerque X=Yen remarquant que, pour tout a0, on a

E[X?Xa] =E[Y?Xa]:

Solution de l"exercice 11.On calcule

E(XY)2=EX2+EY22E[XY]:

OrE[XY] =E[XE[YjX]] =EX2et de mêmeE[XY] =EY2, doncE(XY)2= 0etX=Y p.s..

On peut aussi le voir autrement en utilisant l"interprétation de l"espérance conditionnelle dansL2:

il existe deux projections orthogonalespetqtelles quep(X) =Yetq(Y) =X, donc kXk=kq(Y)k kYk et de même dans l"autre sens. On a donc égalité, doncY2Im(q), doncX=q(Y) =Y. 2.

Soit a0. L"égalité

E[X?Xa] =E[Y?Xa]

est une conséquence immédiate de la définition de l"espérance conditionnelle. Notons que le membre

de gauche est fini, donc le membre de droite l"est aussi. L"égalité se réécrit

E[(XY)?Xa] = 0;

où la variable(XY)?Xaest intégrable car c"est la différence de deux variables intégrables. De

manière symétrique, on obtient

E[(XY)?Ya] = 0

donc, en faisant la différence des deux,

E[(XY)(?Ya?Xa)] = 0:

1 Or, si?Ya?Xa>0alorsYa < X, et si?Ya?Xa<0alorsY > aY. La variable (XY)(?Ya?Xa)est donc positive. Comme elle est d"espérance nulle, elle est nulle p.s.. On en déduit

Ya=?Xap:s::

Presque sûrement, ceci est vrai pour toutarationnel positif, donc presque sûrement il n"existe pas

dearationnel tel queXa < Y, d"oùXYp.s.. On a de même l"inégalité inverse, d"oùX=Y p.s.. Exercice 2(ConvergenceL2des martingales rétrogrades) Soit(Fn)n0une suite décroissante de sous-tribus deF, avecF0=F. SoitXune variable aléatoire de carré intégrable. 1. Mon trerque les v ariablesE[XjFn]E[XjFn+1]sont orthogonales dansL2, et que la série X n0(E[XjFn]E[XjFn+1]) converge dansL2. 2.

Mon trerque si F1=T

n0Fn, on a lim n!1E[XjFn] =E[XjF1]dansL2:

Solution de l"exercice 21.On calcule, p ourm < n:

E[(E[XjFn+1]E[XjFn])(E[XjFm+1]E[XjFm])]

=E[E[XjFn+1]E[XjFm+1]E[XjFn+1]E[YjFm]E[XjFn]E[YjFm+1] +E[XjFn]E[XjFm]] =EE[XjFm+1]2E[XjFm]2E[XjFm+1]2+E[XjFm]2 = 0; ce qui montre que la famille(E[XjFn]E[XjFn+1])n0est orthogonale. De plus, pourm=n, on a Eh (E[XjFn+1]E[XjFn])2i =EE[XjFn]2E[XjFn+1]2; donc par téléscopage PEh (E(XjFn+1)E(XjFn))2i Eh

E[XjF0]2i

=EX2<+1, d"où la convergence de la série dansL2, par critère de Cauchy dansL2. 2.

On déduit de la ques tionprécéden teque E[XjFn]converge, on noteYla variable aléatoire limite.

On n"a plus qu"à montrer queY=E[XjF1]. SoitZune variableF1-mesurable bornée. En particulier, pour toutn, elle estFn-mesurable donc

E[E[XjFn]Z] =E[XZ]:

Quandntend vers+1, le membre de gauche tend versE[Y Z](en utilisant la convergence de E[XjFn]et l"inégalité de Cauchy-Schwarz), d"oùE[Y Z] =E[XZ], d"oùY=E[XjF1].

RemarqueIl est aussi possible de résoudre entièrement l"exercice en utilisant seulement le fait que

L

2est un espace de Hilbert. On vérifie facilement que le sous-espace des variablesF1-mesurables est

l"intersection décroissantes des sous-espaces des variablesFn-mesurables. Il suffit donc de montrer que

dans un espace de Hilbert, les projections orthogonales sur une suite décroissante de sous-espaces fermés

convergent vers la projection orthogonale sur l"intersection de ces sous-espaces.

Exercice 3(Espérance conditionnelle et positivité) SoitXune variable aléatoire positive sur(

;F;P) etGune sous-tribu deF. Montrer quefE[XjG]>0]gest le plus petit ensembleG-mesurable (aux ensembles négligeables près) qui contientfX >0g. 2

Solution de l"exercice 3La variable aléatoireE[XjG]est par définitionG-mesurable, et]0;+1[est un

borélien, doncfE[XjG]>0gest un ensembleG-mesurable. De plus, par définition de l"espérance condi-

tionnelle,

EX?E[XjG]=0=EE[XjG]?E[XjG]=0= 0:

OrX?E[XjG]=00p.s., doncX?E[XjG]=0= 0p.s.. Cela signifie que fX >0g fE[XjG]>0g

à un ensemble négligeable près.

D"autre part, soitAun ensembleG-mesurable contenantfX >0g. Alors on aX= 0p.s. surAc. Toujours par définition de l"espérance conditionnelle on a donc

E[E[XjG]?Ac] =E[X?Ac] = 0:

De mêmeE[XjG]0, donc surAcon aE[XjG] = 0p.s., soitfE[XjG]>0g Aà un ensemble négligeable près.

2 Lois conditionnelles

Exercice 4SoientX1;:::;Xndes variables i.i.d. intégrables, etS=Pn i=1Xi.

Calculer E[SjX1]etE[X1jS].

Dans le cas où les Xisont exponentielles de paramètre >0, déterminer la loi conditionnelle de

X

1sachantS.

Solution de l"exercice 4-On a

E[SjX1] =nX

i=1E[XijX1] =X1+ (n1)E[X1]:

D"autre part, on a

nX i=1E[XijS] =E[SjS] =S: Or, les variablesXijouent des rôles symétriques, donc lesE[XijS]sont toutes égales, d"où

E[X1jS] =1n

S:

On peut aussi le vérifier plus proprement de la manière suivante. Soitf:R!Rmesurable bornée.

On sait que la loi jointe du couple(Xi;S)ne dépend pas dei, donc lesE[Xif(S)]sont les mêmes pour touti. Comme leur somme vautE[Sf(S)], on a donc

E[X1f(S)] =ESn

f(S) pour toute fonctionfmesurable bornée, doncE[X1jS] =Sn Soien tfetgdeux fonctions mesurables bornées. On cherche à calculerE[g(X1)jS]. Pour cela, on calcule

E[g(X1)f(S)] =Z

R n+g(x1)f(x1++xn)nex1:::exndx1:::dxn: En faisant le changement de variablessi=x1++xi, on obtient

E[g(X1)f(S)] =Z

0s1sng(s1)f(sn)nesnds1:::dsn

n(n2)!Z

0xsg(x)f(s)(sx)n2esdxds;

3 en intégrant selons2;:::;sn1. En prenant pourgla fonction constante égale à1, on obtient

E[f(S)] =n(n1)!Z

+1 0 f(s)sn1esds; doncSa pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue n(n1)!sn1es:

On cherche à faire apparaître cette densité dans l"expression trouvée précédemment :

E[g(X1)f(S)] =n(n1)!Z

+1 0 f(s)sn1esZs 0 g(x)(n1)(sx)n2s n1dx ds =E" f(S)Z S 0 g(x)(n1)(Sx)n2S n1dx#

On a donc

E[g(X1)jS] =Z

S 0 g(x)(n1)(Sx)n2S n1dx: Ceci est vrai pour toute fonctiongmesurable bornée, donc la loi conditionnelle deX1sachantS a pour densité (n1)(Sx)n2S n1 par rapport à la mesure de Lebesgue. Notons qu"en particulier, pourn= 2, cette densité est constante. Ainsi, conditionnellement àX1+X2, la variableX1est uniforme sur[0;X1+X2].

Exercice 5(Processus ponctuel de Poisson)

On notela mesure de Lebesgue surRd. SoitPun ensemble aléatoire de points dansRd. Pour tout borélienA, on noteN(A) =jP \Aj. On dit quePest unprocessus ponctuel de Poissonsi : 1. p ourtout b orélienAtel que(A)<+1, la variableN(A)suit une loi de Poisson de paramètre (A), 2. p ourtous b oréliensdis jointsA1;:::;Ak, les variablesN(Ai)sont indépendantes. SoitAun ouvert deRdtel que(A)<+1. Montrer que conditionnellement àN(A), les points deP dansAont la loi deN(A)points uniformes.

Indication :On pourra estimer la probabilité que les points se trouvent danskensembles disjoints fixés,

puis utiliser le lemme de classe monotone pour montrer qu"il est suffisant de considérer des ensembles

disjoints. Solution de l"exercice 5Soitk2N. Pourx2Aet" >0, on noteB"(x)le cube de centrexet de côté", c"est-à-dire l"ensemble desytels quekxyk1"2 . SiN(A) =k, on numérote leskpoints deP \Ade

manière aléatoire uniformeX1;:::;Xk. Soient égalementY1;:::;Ykdes points indépendantes uniformes

dansA. On va montrer que pour tous pointsx1;:::;xkdeux à deux distincts, pour" >0assez petit, on a P(X12B"(x1);:::;Xk2B"(xk)jN(A) =k) =P(Y12B"(x1);:::;Yk2B"(xk)):(1) On prend" >0assez petit pour que les cubesB"(xi)sont inclus dansAet deux à deux distinct. On 4 poseAi=B"(xi). On a alors

P(X12A1;:::;Xk2AkjN(A) =k)

1P(N(A) =k)1k!P(N(A1) ==N(Ak) = 1;N(An(A1[ [Ak)) = 0)

1k!1? (A)(k)kY i=1? (Ai)(1)?(An(A1[[Ak))(0) e(A)(A)kkY i=1(Ai)e(Ai)e(An(A1[[Ak))

1(A)kk

Y i=1(Ai) ="dk(A)k =P(Y12A1;:::;Yk2Ak); où le facteur

1k!au début vient du fait que lesXisont numérotés aléatoirement, et que seule une numé-

rotation peut permettre d"avoirX1dansA1et ainsi de suite. Cela prouve (1). On sait que(Xi)et(Yi)sont deux variables aléatoires à valeurs dans f

Ak=f(x1;:::;xk)2Akj8i6=j;xi6=xjg:

On voudrait montrer que pour tout borélienBinclus danseAk, on a

P((X1;:::;Xk)2B) =P((Y1;:::;Yk)2B):

On l"a montré pour les ensembles de la forme

B=kY i=1B "(xi);

où les cubes considérés sont disjoints et inclus dansA. LesBde cette forme sont stables par intersections

finies. De plus, ils forment une base d"ouverts de fAk, donc engendrent la tribu borélienne surfAk, donc d"après le lemme de classe monotone, il est bien suffisant de considérer ces ensembles.

RemarqueCette propriété montre qu"un processus ponctuel de Poisson est une manière naturelle de

tirer au sort "une infinité de points indépendants uniformes" dansRd, de manière à n"en avoir qu"un

nombre fini dans tout compact.

Elle est aussi utile pour montrer l"existence de tels ensembles de points et pour les simuler. On peut

procéder ainsi. On découpeRden une infinité de cubes unités(ci)i2I. Soient(Ni)i2Ides variables de

Poisson i.i.d. de paramètre1. Pour touti, conditionnellement àNi, on tire au sortNipoints i.i.d.

uniformes dans le cubeci. L"ensemble aléatoire de points obtenu est alors bien un processus ponctuel de

Poisson (ce n"est pas trivial, mais pas très dur non plus à vérifier).

RemarqueVoici une application "concrète". Des statisticiens ont remarqué que le processus ponctuel

de Poisson dans le plan modélisait très bien les impacts des bombardements de Londres par les nazis en

1944. Cela laisse supposer que les bombes étaient envoyées au hasard, sans but précis.

Exercice 6Que représente la jolie image ci-dessous? 5 Solution de l"exercice 6Les points forment un processus ponctuel de PoissonPdans le plan. On a de

plus tracé lescellules de Voronoïassociées à ces points : pour chaque pointx2 P, la cellule de Voronoï

autour dexest l"ensemble des points qui sont plus proches dexque de tout autre point deP. Cela

permet de générer des structures dont les propriétés à grande échelles sont proches de celles d"un réseau

carré ou triangulaire. Elles sont moins régulières localement, mais possèdent une forme d"invariance par

rotation qui n"est pas vérifiée par exemple par le réseau carré. 6quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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