[PDF] Espérance conditionnelle et indépendance Exercices

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Espérance conditionnelle et indépendance

Exercices

Geneviève Gauthier

Dernière mise à jour : 25 février 2004

Exercice 3.1. Démontrez les quatre propriétés ci-dessous : pour toutes variables aléatoires

XetYet pour tous nombres réelsaetb,

(E1) EP [aX+bY]=aE P [X]+bE P [Y]; P P [Y]; (E3)De façon générale,EP [XY]?=E P [X]E P [Y]; (E4)SiXetYsont indépendantes alorsE P [XY]=E P [X]E P [Y]. Exercice 3.2. Montrez que pour toute variable aléatoireXet pour tous nombres réelsaet b, (V1) VarP [X]≥0; (V2) Var P [X]=E P [X 2 ]-?EP [X]? 2 (V3)?a?R,Var P [aX+b]=a 2 Var P [X]. Exercice 3.3.Montrez que pour toutes variables aléatoiresXetYet pour tous nombres réelsaetb (C1) CovP [X,Y]=E P [XY]-E P [X]E P [Y]; (C2)SiXetYsont indépendantes alorsCov P [X,Y]=0; (C3)?a,b?R,CovP [aX 1 +bX 2 ;Y]=aCov P [X 1 ;Y]+bCov P [X 2 ;Y]. Exercice 3.4.Reprenons un problème traité dans les exercices du chapitre 2. Aujourd"hui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire. À partir de demain matin et ce, tous les matins

jusqu"à vendredi inclusivement, vous tirez à pile ou face pour savoir si vous retirez un dollar

(si possible) de la tirelire (pile) ou si vous y en mettez un (face). Quelle est l"espérance 1 conditionnelle du contenu de la tirelire vendredi midi étant donné l"information disponible mercredi midi ? Exercice 3.5.Reprenons l"exercice sur la ruine dujoueur (exercice 2.4). CalculezE[X 4 |F 0 E[X 4 |F 2 ],E[Y 4 |G 2 ]etE[Y 2 |G 4 ]pourpen général ainsi que pour le cas particulierp= 1 2 Exercice 3.6.Vous devez justifier toutes vos réponses.

Le processus stochastiqueX={X

t :t?{0,1,2,3,4}}représente l"évolution du prix d"une action. L"intervalle de temps considéré est d"une durée de six mois. X 0 (ω)X 1 (ω)X 2 (ω)X 3 (ω)X 4 (ω)P(ω) 1

11 13 15 16 16 0,06

2

11 13 15 16 14 0,065

3

11 13 15 15 16 0,06

4

11 13 15 15 14 0,065

5

11 13 15 14 16 0,06

6

11 13 15 14 14 0,065

7

11 13 12 13 14 0,0625

8

11 13 12 13 18 0,08

9

11 13 12 13 12 0,04

10

11 13 12 13 11 0,0675

11

11 11 12 13 14 0,0625

12

11 11 12 13 12 0,0625

13

11 11 12 12 12 0,0625

14

11 11 11 14 20 0,0625

15

11 11 11 14 12 0,0625

16

11 11 11 12 12 0,0625

a)Quelle est la filtration engendrée par le processusX? b)Donnez la distribution conditionnelle deX 4

étant donnéeX

2 c)Calculez l"espérance conditionnelle deX 4

étant donnéX

2 d)Donnez la distribution conditionnelle deX 4

étant donnéeF

2 e)Calculez l"espérance conditionnelle deX 4

étant donnéF

2 Problème 3.7.Considérons le contexte du problème 3.6. Deux investisseurs, disons A et B, achètent aujourd"hui une action (nous pourrions tout aussi bien dire cent mille actions, mais cela ne ferait qu"ajouter un paquet de zéros à nos calculs) qu"ils pourront revendre soit l"année prochaine(t=2)ou dans deux ans(t=4). Si un investisseur décide de vendre son action à l"instantt=2, il placera le montant obtenu de la vente dans un compte bancaire

rapportant un taux d"intérêt annuel de 15% (les intérêts sont capitalisés annuellement aux

2 datest=2ett=4). S"il décide de ne pas vendre l"action, il la vendra alors au bout de 2 ans, c"est-à-dire à l"instantt=4. Ces deux investisseurs seront tous les deux absents pour au moins les cinq prochaines années (disons qu"ils partent explorer la planète mars) et doivent donc mandater chacun un procureur (compétent et digne de confiance) pour effectuer les opérations à leur place. Comble de malchance, ces deux procureurs ne comprennent rien aux questions d"argent (com-

pétents ?), ce qui amène nos deux investisseurs à prévoir maintenant ce que les procureurs

devront faire l"année prochaine selon ce que ces derniers auront observé du comportement de l"action. Évidemment, les investisseurs donneront des instructions qui viseront à maximiser leur profit ! Le procureur de l"investisseur A sera en mesure d"observer le prix de l"action au tempst=1tandis que le procurreur de l"investisseur B ne le pourra pas (peut être que cet individu n"est pas le procureur idéal ! ). C"est-à-dire que les temps d"observations pour le procureur A sontt=1ett=2tandis que pour le procureur B, le temps d"observation est t=2. a)Quelles sont les directives laissées par l"investisseur A à son procureur ? b)Quelles sont les directives laissées par l"investisseur B à son procureur ? Afin de faciliter les comparaisons, vous pouvez utiliser le rendement de détention. Le rendement de détention associé à un titre pour un intervalle de temps donné (disons que nous achetons le titre au début de lat 1 ième période pour la vendre à la fin de lat 2 ième période) est R t 1 ,t 2 =X t 2 X t 1 Problème 3.8. Ce problème utilise la notation introduite dans les problèmes 3.6 et 3.7. a)Est-ce que les temps aléatoiresτ A etτ B représentant respectivement l"instant où l"action est vendue par le procureur A et par le procureur B sont des temps d"arrêts ? b)Si la mesure de probabilitéPest changée pourQoùQ(ω)= 1 16 pour toutω?Ω, est-ce queτ A etτ B sont des temps d"arrêt ?

Problème 3.9.SoientX

1 ,X 2 ,X 3 des variables aléatoires indépendantes telles queP(X i

1) =P(X

i =-1) = 1 2 .On définitA 1 ={X 2 =X 3 },A 2 ={X 1 =X 3 }etA 3 ={X 1 =X 2

Montrez que les événementsA

1 ,A 2 etA 3 sont indépendants deux à deux, mais que ces trois événements ensemble ne sont pas mutuellement indépendants. Problème 3.10.SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes, gaussiennes, cen-

trées et réduites. Soitεune variable aléatoire indépendante deYet telle que :P{ε=1}=

P{ε=-1}=

1 2 a) Montrez queZ=εYest gaussienne mais queY+Zn"est pas gaussienne. b) Montrez aussi queYetZne sont pas indépendantes, alors queCov(Z, Y)=0. Problème 3.11. Si les variables aléatoiresXetYsont indépendantes et identiquement distribuées, alors montrez queE[X-Y|X+Y]=0. 3

Solutions

1 Exercice 3.1

Preuve de(E1)E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y].

Comme yffS Y f X,Y (x,y)=? yffS Y

P[X=xetY=y]

=P?? yffS Y {X=xetY=y}? car ces événements sont disjoints =P?? yffS Y {{X=x}∩{Y=y}}? =P? {X=x}∩?? yffS Y {Y=y}?? =P[{X=x}∩Ω] =P[{X=x}]=f X (x)(1) alors

E[aX+bY]=?

xffS X yffS Y (ax+by)f X,Y (x,y) xffS X yffS Y axf X,Y (x,y)+? yffS Y xffS X byf X,Y (x,y) =a? xffS X x? yffS Y f X,Y (x,y)+b? yffS Y y? xffS X f X,Y (x,y) =a? xffS X xf X (x)+b? yffS Y yf Y (y) =aE[X]+bE[Y].? Remarquons, dans un premier temps, que siWest une variable aléatoire non négative alors 4

E[W]≥0. En effet,

E[W]=?

xffS W x???? 0 f W (x)? 0 ≥0.

E[W]≥0.

Mais, en utilisant(E1),nousavonsque

E[W]=E[Y-X]=E[Y]-E[X].

Ainsi,

2 Exercice 3.3

Preuve de(C1)Cov[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y].

5

Cov[X,Y]

xffS X yffS Y (x-E[X])(y-E[Y])f X,Y (x,y) xffS X yffS Y (xy-xE[Y]-yE[X]+E[X]E[Y])f X,Y (x,y) xffS X yffS Y xy f X,Y (x,y)-E[Y]? xffS X x? yffS Y f X,Y (x,y) -E[X]? yffSquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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