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1/9 Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)

III ESPERANCE MATHEMATIQUE

I.Définition et calcul de l"espérance mathématique d"une VA Ô La définition la plus générale de l'espérance d'un VA H

ËtRX: (donc à valeurs

positives ou nulles) est obtenue en introduisant une suite de partitions n mde H R : [,[[,[...[,[[,0[

221221

1ÂååååZ

JH nnn xxxxxxR où n n k kknx2,..,1,0,2ZZ et ÂZ H1k x L'espérance de X est alors définie comme la limite de la somme des valeurs k xpondérées par les probabilités des intervalles [,[ 1Hkk xx auxquels ils appartiennent ,([lim)(12 0 n i in iXn in xxPxXE n H

ZÂËĂ

Z et on note

H Z RX xxdPXE)()( (Remarquer que 1)([),([ , 12 0

ZëZ?

H H Z

RXPxxPn

n i in iX n Pour une VA RXËt: pouvant prendre des valeurs négatives aussi bien que positives on introduit la décomposition JH

JZJJZXXXXX)0,max()0,max( et on définit )(XE

par JH HZJZ JH RX RXdef xxdPxxdPXEXEXE)()()()()( si )(et )( JH XEXE ne sont pas

simultanément infinis..Ô De cette définition on peut déduire, cas particulier par cas particulier des formules de

calcul 1

Si la fonction de répartition

X Fprésente des sauts (discontinuités) aux points ,Ii i

ë~(I

dénombrable) d'amplitude IiqXPFF iiiXiX

ëZZZJ

H ,)()()(~~~ et qu'elle est dérivable ailleurs au sens ordinaire avec des valeurs de dérivée non nulles on a :˜š dxxxFqXE IiRXi Iii i

ëJë

HZ ~ (1) (où la somme continue se calcule à l"extérieur des points i ~de discontinuité)

Si la VA est de loi discrète, on a 1Z

Iiiq et ˜šIiRxxF

iX

ëJë?Z,0)(

~ si bien que l'espérance devient : i Iiii Iii

XPqXE~~~ZZZ

(2)

Si la VA X admet une densité de probabilité

X p ( cad si elle est de loi continue) on a

0)(ZZ?xXxP(il n'y a pas de saut dans

X F) et XX pxFZ)( . La somme discrète dans (1) devient alors nulle et l'espérance s'écrit : 1

Il n"est pas nécessaire de connaître parfaitement la définition générale de l"espérance donnée si dessus pour

appliquer ces formules et calculer des valeurs moyennes 2/9 Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger) dxxxpXE RX

Z (3)

Vocabulaire et notation : on dit couramment valeur moyenne pour espérance mathématique et on note )(XEm defX Z.

Interprétation : si on réalise n fois la même expérience aléatoire pour obtenir n réalisations

nixX ii ..,1,)(ZZ" et que l'on considère la moyenne arithmétique de ces résultats, n i xn 1 1 cette dernière pour n très grand tendra vers une limite égale à )(XE(on le montre théoriquement sous certaines hypothèses et on peut le 'constater' expérimentalement). II.Espérance d'une VA fonction d'autres VA(formule de transfert)

Soit une VA Y définie à partir de N VA

N

XX,..,

1 et d'une fonction RRf N 1N XXfYZ). La formule de transfert permet de calculer )(YE sans exhiber préalablement sa loi Y P. Elle s'écrit dans son expression la plus générale 1,..1 1 NXXN R xxdPxxfYE N Z. Les formules de calcul à a utiliser en pratique dépendent de la nature de la loi conjointe des i X.

Ô Si la loi conjointe

N XX P 1 admet une densité N XX p 1 (loi de type continu) alors on aura : NNXXN R dxdxxxpxxfYE N N

11,..1

Z Ô Si la loi conjointe est discrète, cad si il existe un ensemble dénombrable de points de N R Iixx i Ni i

ëZ),,..,(

1 ~ tel que ii NNi qxXxXPiZZZ?),..,(: 11 avec 1Z

ëIii

q alors )(YE se calcule par : 1i Iiii Ni Iii fqxxfqYE~ ZZ

Ô Le cas plus général d'une loi qui n'est ni de type continu ni de type discret n'est simple à

écrire que pour

1ZN auquel cas on a :

dxxfxFqfYE IiRXi Iii i

ëJë

HZ (avec les mêmes notations que pour (1)) Pour 1[Ndes termes complémentaires du type intégrale curviligne ou intégrale de surface peuvent intervenir (on ne donne pas ici de formule générale correspondante).

III.Propriétés de l'espérance mathématique utiles dans les calculs courants (autres que la

formule de transfert). Ô Positivité : si 1)0(ZÐXP alors 0)(ÐXE Ô Espérance d'une constante K : si cteKKXPZZZ,1)( alors KXEZ)(

Ô Linéarité : si, pour N VA

N

XX,..,

1 kN k XY Z 1 ‰ alors )()( 1kN k XEYE

Z‰

3/9 Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger) Ô Indépendance et factorisation : soient N VA N

XX,..,

1 indépendantes dans l'ensemble et soient N VA )(),..,(

111NNN

XfYXfYZZ construites à partir de N fonctions

NkRRf k ,..,1,:ZË. L'espérance de la VA Z Z N k k YY 1 est alors Z Z N k k YEYE 1

Å Remarque : les N VA

N

XX,..,

1

étant indépendantes, les N VA

1111NNN

XfYXfYZZ le sont aussi.

Å Corollaire :

N

XX,..,

1 indépendantes û ZZ Z N k kN k k XEXE 11

Cette propriété reste vraie si

N

XX,..,

1 sont N VA à valeurs respectivement dans N dd

RR,..,

1 et les k f de la forme 'kk dd

RRË

IV.Moments d'une VA, variance d'une VA

1.Définition : on appelle moment d'ordre N d'une VA X l'espérance )(

N

XE(si elle existe) .

2.Définition : A une VA X de valeur moyenne

X m on associe la VA notée c

X, appelée 'X

centrée' que l'on définit par . Xc mXXJZ On dira également qu'une VA X est centrée si sa valeur moyenne est nulle, auquel cas c XXZ.

On a toujours 0)()()(ZJZJZJZ

XXXXc mmmXEmXEXE

3.Définition : on appelle moment centré d'ordre N d'une VA X la quantité )(

N c

XE(si elle

existe) .

4.Propriété (inégalité de Markov) :

nn

XEXPn''')()(:00ÀÐÐ?[?

5.Définition : la variance d'une VA X est son moment centré d'ordre 2, )()(

2 c

XEXVARZ

6.Propriétés de la variance :

22
X mXVARXEHZ

Ô réels , )()(

2 ~~~?ZHXVARXVAR

Ô Si

N

XX,..,

1 indépendantes et ZY N

XXHH..

1 alors )(..)()( 1N

XVARXVARYVARHHZ

Ô De manière plus générale )()(

,11 jcicji NjiiN i

XXEXVAR‰‰‰

Z qui devient )()( 22
11 iciN i iN i

XEXVAR‰‰

Z

Z si 0)(ZûÖ

jcic

XXEji (condition qui sera

réalisée en particulier si les N VA sont indépendantes 2 à 2). Ô Inégalité de Bienaymé Tchebychef (faire c

Xpar Xremplacer ,1Zn dans Markov) :

2 )()(:0

XVARXP

4/9 Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger) V.Fonction caractéristique et calculs de moments V.1.Variables aléatoires à valeurs complexes

1.Définition :une VA sur ),,(P't à valeur dans C (corps des complexes) est une application

)()()(:""""iVUXXHZËtë où ),(VU est une paire de VA sur ),,(P't, chacune à valeurs dans R. Remarque : la définition se généralise sans problème au cas de VA Ndimensionnelles à valeur dans N C.

2.Loi de probabilité.

La loi de Z correspond à la loi conjointe du couple ),(VU. En notant ivuzHZ on écriera : 2 ),(),,()(RvuvuFzF VUZ ëZ 2 ),(),,()(Rvuvupzp VUZ

ëZ si ),(VU est de loi conjointe continue

Ceci se généralise pour une VA à valeurs dansquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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