[PDF] Espaces vectoriels Pour montrer que f est

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Espaces vectoriels

(2) (2) ()Espaces vectoriels1 / 31

1Applications lineaires

2Applications lineaires injectives, surjectives, bijectives

3Composition des applications lineaires

4Quelques applications lineaires particulieres

5

Equations lineaires(2) ()Espaces vectoriels2 / 31

Plan

1Applications lineaires

2Applications lineaires injectives, surjectives, bijectives

3Composition des applications lineaires

4Quelques applications lineaires particulieres

5

Equations lineaires(2) ()Espaces vectoriels3 / 31

Denition

Denition

Soit E et F deuxRespaces vectoriels. Une application f:E!F est une application lineaire(ou morphisme d'espaces vectoriels) si, et seulement si,18x;y2E;f(x+y) =f(x) +f(y)282R;8x2E;f(x) =f(x) L'ensemble des applications lineaires de E dans F est noteL(E;F).(2) ()Espaces vectoriels4 / 31

Proposition

Soit E et F deux espaces vectoriels. Une application f:E!F est une application lineaire si et seulement si

82R;8x;y2E;f(x+y) =f(x) +f(y):Remarque:

1Sifest une application lineaire deEdansF, on a en particulier

f(0E) = 0Fet8x2E;f(x) =f(x):2Par recurrence on peut montrer que pour toutn2N, (x1;:::;xn)2Enet (1;:::;n)2Rn, on a f nX k=1 kxk=nX k=1 kf(xk):(2) ()Espaces vectoriels5 / 31

Denition

On appelleendomorphismede E une application lineaire de E dans

E. L'ensemble des endomorphismes de E est noteL(E).On appelleforme lineairede E une application lineaire de E dansR.(2) ()Espaces vectoriels6 / 31

Exemples:

1Les applications lineaires deRn!Rmsont des applications lineaires

au sens de ce cours.2La derivationD:C1(R)! C0(R): f7!f0est une application lineaire de C

1(R) dansC0(R) :3Pour tous (a;b)2R2, l'application

f:R2!R (x;y)7!ax+by est une forme lineaire.4SiEest unRespace vectoriel. L'application IdE:E!E x7!xest une application lineaire. C'est l'application identite deE.(2) ()Espaces vectoriels7 / 31

Theoreme

Soit E et F deuxR-espaces vectoriels. L'ensembleL(E;F)est un sous-espace vectoriel de l'espace vectorielF(E;F). En particulier, toute combinaison lineaire d'applications lineaires est une application lineaire.Demonstration. (2) ()Espaces vectoriels8 / 31

Noyau et image d'une application lineaire

Denition

Soit f une application lineaire de E dans F.

On appellenoyaude f l'ensemble des antecedents de0Fdans E. On le note

Ker(f) =fx2E;f(x) = 0Fg:

On appelleimagede f l'ensemble des elements de F qui ont un antecedent par f . On le note Im(f) =fy2F;9x2E;f(x) =yg=f(E):(2) ()Espaces vectoriels9 / 31 Remarque:La redaction pour trouver un noyau ou une image n'a pas change :Noyau: Soitxun element quelconque deE. On a :x2Ker(f) si, et seulement si,f(x) = 0F. Et on resoud.Soityun element quelconque deF. On ay2Im(f) si, et seulement si, il existex2Etel quef(x) =y. Et on chercheles conditions sur ypour pouvoir resoudre.(2) ()Espaces vectoriels10 / 31

Theoreme

Soit E et F deuxR-espaces vectoriels et f une application lineaire de E

dans F.1Ker(f)est un sous-espace vectoriel de E.2Im(f)est un sous-espace vectoriel de F.(2) ()Espaces vectoriels11 / 31

Demonstration.Soitfune application lineaire deEdansF.1Ker(f) est bien une partie deE. Pour toutx2E, on a

f(x) =f(x+ 0E) =f(x) +f(0E) Or,f(x)2Fespace vectoriel, donc il a un opposef(x), qu'on ajoute de chaque cote. On obtient alors 0

F=f(0E), donc

0

E2Ker(f)

Soientx;y2Ker(f) eta;b2K. On a

f(ax+by) =af(x) +bf(y) =a:0F+b:0F= 0F

Doncax+by2Ker(f). Donc Ker(f) est bien un s.e.v deE2Im(f) est bien une partie deF. D'apres ce qui precede :f(0E) = 0F

donc 0

F2Im(f). Soientx;y2Im(f) eta;b2K. Il existeu;v2E

tels quef(u) =xetf(v) =y, donc ax+by=af(u) +bf(v) =f(au+bv) Commeau+bv2E, on aax+by2Im(f). Donc Im(f) est bien un s.e.v deF.(2) ()Espaces vectoriels12 / 31 Remarque:Le noyau et l'image d'une application lineaire contiennent le vecteur nul.

Exemple:Montrer que l'applicationU:R3[X]!R3[X]

P7!P00est lineaire.

Determiner son noyau et son image.

(2) ()Espaces vectoriels13 / 31 Plan

1Applications lineaires

2Applications lineaires injectives, surjectives, bijectives

3Composition des applications lineaires

4Quelques applications lineaires particulieres

5 Equations lineaires(2) ()Espaces vectoriels14 / 31

Denitions

Denition

Soit E et F deux ensembles et f une application de E (ensemble de

depart) vers F (ensemble d'arrivee). On dit que f est :injective si tout element de l'ensemble F admet au plusun

antecedent par f , autrement dit, si et seulement si

8x1;x22E;f(x1) =f(x2))x1=x2:surjective si tout element de l'ensemble F admet au moinsun

antecedent par f , autrement dit, si et seulement si

8y2F;9x2E;f(x) =y:(2) ()Espaces vectoriels15 / 31

Denition

bijective si f est a la fois injective et surjective, c'est-a-dire si tout element de l'ensemble F admet exactementun antecedent par f , autrement dit, si et seulement si

8y2F;9!x2E

il existe un unique;f(x) =y:(2) ()Espaces vectoriels16 / 31

Technique:

1Pour montrer quefest injective, on ecrit : Soitx1;x22Etels que

f(x1) =f(x2). On fait ensuite un raisonnement qui permet d'etablir quex1=x2.2Pour montrer quefn'est pasinjective, il faut trouver deux elements particuliers distinctsx

1etx2deEtels quef(x1) =f(x2).3Pour montrer quefest surjective, on ecrit : Soity2F. On cherche

x2Etel quef(x) =y. Puis on essaye de calculerxou de montrer qu'il existe.4Pour montrer quefn'est passurjective, il faut trouver un element

particulier deFqui n'admet aucun antecedent parf.5Pour montrer quefest bijective, on demontre qu'elle est a la fois

injective et surjective avec les methodes precedentes.6Pour montrer quefn'est pas bijective, on demontre qu'elle n'est pas

injective ouqu'elle n'est pas surjective. (2) ()Espaces vectoriels17 / 31

Denition

Soit(E;+;:)et(F;+;:)deuxRespaces vectoriels.On appelleisomorphismede E dans F toute application lineaire

bijective de E dans F.On appelleautomorphismede E tout endomorphisme bijectif de E (c'est-a-dire toute application lineaire bijective de E dans E). (2) ()Espaces vectoriels18 / 31

Caracterisations a l'aide de l'image et du noyau

Proposition

Soit(E;+;:)et(F;+;:)deuxRespaces vectoriels et f une application

lineaire de E vers F.1f est injective si et seulement siKerf=f0Eg.2f est surjective si et seulement siImf=F.3f est bijective si et seulement siKerf=f0EgetImf=F.(2) ()Espaces vectoriels19 / 31

Demonstration.Soitfune application lineaire deEversF1): Supposons quefest injective. On sait quef0Eg Kerf.

Soitx2Kerf, alorsf(x) = 0F=f(0E) donc par injectivite def, on ax= 0E. DoncKerf f0Eg.

FinalementKerf=f0Eg.

(. SupposonsKerf=f0Eg. Soientx;y2Etels quef(x) =f(y). On af(x)f(y) = 0F, donc par linearitef(xy) = 0F. Ce qui signiexy2Kerf. Comme

Kerf f0Eg, on axy= 0E, doncx=y. Doncfest injective.2"fest surjective" equivaut a8y2F;9x2E;f(x) =y, c'est a dire

Imf=F.3Vient de 1 et 2.

(2) ()Espaces vectoriels20 / 31 Plan

1Applications lineaires

2Applications lineaires injectives, surjectives, bijectives

3Composition des applications lineaires

4Quelques applications lineaires particulieres

5 Equations lineaires(2) ()Espaces vectoriels21 / 31

Theoreme

Soit E, F et G troisRespaces vectoriels, soit f2 L(E;F)et

g2 L(F;G). L'application gf est une application lineaire de E dans G.Demonstration.gfest bien une application deEdansG, montrons

qu'elle est lineaire. Soientx;y2Eeta;b2K: gf(ax+by) =g f(ax+by) =g af(x)+bf(y) ;par linearite def =ag f(x) +bg f(y) ;par linearite deg =agf(x) +bgf(y) Doncgfest bien lineaire.(2) ()Espaces vectoriels22 / 31

Theoreme

Soit E et F deuxRespaces vectoriels. La bijection reciproque f1d'un isomorphisme f de E dans F est un isomorphisme de F dans E.

Autrement dit, l'application reciproque f

1de l'isomorphisme f est non

seulement bijective, mais c'est aussi une application lineaire de F vers E. f

1la bijection reciproque de f verie ff1(y) =y pour tout y2F et

f

1f(x) =x pour tout x2E.(2) ()Espaces vectoriels23 / 31

Plan

1Applications lineaires

2Applications lineaires injectives, surjectives, bijectives

3Composition des applications lineaires

4Quelques applications lineaires particulieres

5 Equations lineaires(2) ()Espaces vectoriels24 / 31

L'homothetie vectorielle

Soit (E;+;:) unRespace-vectoriel et soitk2R. On appelle homothetie vectorielle de rapportkl'application h k:E!E: x7!kx Montrons quehkest un endomorphisme deEet determinons son noyau et son image. (2) ()Espaces vectoriels25 / 31

Les projecteurs

Denition

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplementaires de E. Tout element x de E se decompose de maniere unique x=xF+xGavec xF2F et x G2G. On appelle projection sur F parallelement a G l'application p:E!E x7!xF:

On dit egalement que p est un projecteur.

(2) ()Espaces vectoriels26 / 31

Proposition

La projection p sur F parallelement a G est un endomorphisme de E, qui verie

Im(p) =F;Ker(p) =G et8x2F;p(x) =x:Demonstration.

Remarque:Tout projecteurpveriepp=p(on dit qu'il est idempotent). (2) ()Espaces vectoriels27 / 31

Symetries

Denition

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplementaires de E. Tout element x de E se decompose de maniere unique x=xF+xGavec x F2F et xG2G. On appelle symetrie par rapport a F parallelement a G, l'application s:E!E x7!xFxGRemarque:

1Si l'on designe parpFla projection surFparallelement aGetpGla

projection surGparallelement aF, alors on as=pFpG. On a aussis= IdE2pG= 2pFIdE.2La symetriespar rapport aFparallelement aGest un automorphisme deEetsest sa propre reciproque (autrement dit ss= IdE). On dit quesest une involution (ousest involutive).(2) ()Espaces vectoriels28 / 31 Plan

1Applications lineaires

2Applications lineaires injectives, surjectives, bijectives

3Composition des applications lineaires

4Quelques applications lineaires particulieres

5 Equations lineaires(2) ()Espaces vectoriels29 / 31

Denition

Soit E et F deuxKespaces vectoriels. On appelle equation lineaire toute equation de la forme : u(x) =b:(1) ou u est une application lineaire de E dans F et b un element de F appele second membre. L'ensemble des solutions de l'equation(1)est l'ensemble des antecedents de b par l'application u. On appelle equation homogene associee (ou sans second membre) associee a(1)l'equation lineaire : u(x) = 0:(2)

L'ensemble des solutions de l'equation(2)estKer(u), le noyau de u.Remarque:Les equations lineaires generalisent les systemes d'equations

AX=BetAX=O(homogene).(2) ()Espaces vectoriels30 / 31 Exemple:L'equation dierentielley00+xy0y= sin(x) est lineaire :Eet Fsont l'ensembleC2(R;R),uest l'application lineairef7!f00+xf0fet le second membre est la fonction sinus. L'equation homogene associee est l'equation dierentielle :y00+xy0y= 0.Theoreme Soit E et F deuxKespaces vectoriel et u:E!F une application lineaire. On note S l'ensemble des solutions de l'equation lineaire u(x) =b (1).Si b62Im(u), alors S=?.Si b2Im(u), alors S=x0+x;x2Ker(u)ou x0est une solution particuliere de(1).(2) ()Espaces vectoriels31 / 31quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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