[PDF] Antilles Guyane 2012. Enseignement spécifique

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AntillesGuyane2012.Ense ignementspécifique

EXERCICE3(5points)(communàtouslescandi dats )

Soit(u

n )lasu itedéfiniepour toutentiernature lnnonnulpar u 1 1 2 u n+1 n+1 2n u n

1)Calculeru

2 ,u 3 etu 4

2)a) Démontrerque,pourtoutenti ernaturelnnonnul,u

n eststri ctementpositif. b)Démontrerquelasuite(u n )estdécroi ssante. c)Quepeu t-onendéduirepourlasu ite(u n

3)Pourtouten tiernaturelnnonnul,o npose

v n u n n a)Démontrerquelasuite(v n )estgéom étrique.Onpréciserasaraisonetsonp remiert ermev 1 b)End éduireque,pourtoutent iernaturelnnonnul, u n n 2 n

4)Soitlafonct ionfdéfiniesurl'in terval le[1;+∞[parf(x)=lnx-xln2.

a)Déterminerlalimitedefen+∞. b)Vérifierquepourtoute ntiernature ln,2 n =e nln2

Endé duirelalimitedelasui te(u

n http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

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EXERCICE3:corrigé

1)•u

2 =u 1+1 1+1

2×1

u 1 1 2 •u 3 =u 2+1 2+1

2×2

u 2 3 4 u 2 3 8 •u 4 =u 3+1 3+1

2×3

u 3 4 6 u 3 4 6 3 8 1 4 u 2 1 2 ,u 3 3 8 etu 4 1 4

2)a) Montronsparrécurrenceq uepourto utentiernaturelnonnuln,u

n >0. •u 1 1 2 >0. •Soitn!1.Supposonsqueu n >0.Alorsu n+1 n+1 2n u n >0. Onam ont réparrécurrenceque pourtout entiernaturelnonnuln,u n >0. b)Soitn∈N .Onsaitqueu n

̸=0puis

u n+1 u n n+1 2n n+n 2n =1.

Puisqueu

n >0,onendéduitencorequeu n+1 "u n

Onam ont réquepourtoutentie rnaturel nonnuln,u

n+1 "u n etdo nclasuite(u n )estdécroi ssante.

Lasu ite(u

n )estdécro issante. c)Lasu ite(u n )estdécroi ssanteetminoréepar0.Donclasuite(u n )convergeversunréelposi tifounul.

Lasu ite(u

n )estconver genteversunréelpositifounul .

3)a) v

1 u 1 1 1 2 .Soitn∈N v n+1 u n+1 n+1 1 n+1 n+1 2n u n u n 2n 1 2 u n n 1 2 v n

Donclasui te(v

n )estgéomét riquedepremiertermev 1 1 2 etde raiso nq= 1 2 b)Onsa italorsquepo urtoutentierna turelnonn uln, v n =v 1 q n-1 1 2 1 2 n-1 1 2 n

Maisalor s,pourtoutentiernat urelnonnuln,u

n =nv n n 2 n

Pourtoute ntiernaturel nonnuln,u

n n 2 n

4)a) Pourtoutré elx!1,f(x)=x

-ln2+ lnx x x→+∞ lnx x =0.

Onen déduit quelim

x→+∞ -ln2+ lnx x -ln2<0.Commed'autrepartlim x→+∞ x=+∞, lim x→+∞ f(x)=lim x→+∞ x -ln2+ lnx x b)•Soitnune ntiernaturel.ln(2 n )=nln2etdo nc2 n =e nln2 •Onsa itdéjàquela suite(u n )convergecarlasuite(u n )estdécroi ssanteetminoréepar0.Ensuite,pourtoutentier naturelnonnuln, http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. u n n 2 n e lnn e nln2 =e lnn-nln2 =e f(n)

D'aprèslaquestionpr écéde nte,lim

n→+∞ f(n)=-∞etdo nc lim n→+∞ u n =lim n→+∞ e f(n) =lim

X→-∞

e X =0. lim n→+∞ uquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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