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Sujet + Corrigé - Alain Piller

[ Antilles - Guyane 2016 ] Partie A: 1 Calculons la limite de la fonction ƒ en + ?: lim ƒ ( ¥ ) = lim ¥ e 1 – 2¥ ¥ g + ? ¥ g + ? = lim e ¥ x ¥2 e ¥ 2 ¥ e 1 – ¥ 2 = e ¥ x ¥2 e ¥ ¥ g + ? Or d’après le cours: lim 1 ¥ = 0 ¥ g + ? lim U e u

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[Corrigé du baccalauréat S Antilles–Guyane 20 juin 2016 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Les valeurs approchées des résultats seront données à 10?4 près Les parties A et Bsont indépendantes Partie A Un fabricant d’ampoules possède deux machines notées A et B La machine A

Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat STI2D/STL- SPCL 16 juin 2016?

Antilles-Guyane

EXERCICE13points

1. 1+2i

3-i=(1+2i)(3+i)(3-i)(3+i)=3-2+i+6i9+1=1+7i10=110+i710: réponseb.

2. ?2-2i?

3??2=4+4×3=4+12=16=42, donc??2-2i?3??=4.

D"où 2-2i?

3=4?24-24i?3?

=4? 12-? 3 2i? =4?cos-π3+isin-π3?=4e-iπ3. Réponsec.

3.lna+ln2a=lna×2a=ln?2a2?. Réponsec.

4.3y??+12y=0??y??+4y=0

On sait qu"une solution de cette équation différentielle est définie par f(t)=sin(2t),tétant un réel quelconque. Réponseb.

EXERCICE27points

PartieA - Étude graphique

1.f(1)=0;

2.f?(2,5)=0-1,5

5,5-2,5=-12;

3.Une équation de la tangenteTesty-f(2,5)=f?(2,5)(x-2,5); avec

f(2,5)=1,5 etf?(2,5)=-1

2, on obtient :y-1,5=-0,5(x-2,5), soit

y=-0,5x+2,75;

4.lim+∞f(x)=0.

PartieB - Modélisation

2.f(1)=(a+b)e-1+2,5=(a+b)e1,5;

3.D"après les résultats de la partie A (lecture graphiqueaetbvérifient le système :

(a+b)e1,5=0 -1,5a-b= -1 2

4.Comme e1,5?=0, la première équation entraînea+b=0 oub= -a, d"où en reportant dans la

seconde : -1,5a+a=-0,5 ou-0,5a=-0,5 oua=1 etb=-1.

On a donc pour tout réelx,

f(x)=(x-1)e-x+2,5.

PartieC - Étude algébrique

On admet que pour tout réelx,f(x)=(x-1)e-x+2,5. Corrigédu baccalauréat STI 2D/STLA. P. M. E. P.

1.On a limx→-∞x-1=-∞et limx→-∞e-x+2,5=+∞, d"où par produit de limites :

lim x→+∞f(x)=-∞.

2. a.f(x)=(x-1)e-x+2,5=(x-1)×e-x×e2,5=e2,5?x-1

e-x? =e2,5?xex-1ex? b.On sait que limx→+∞e x x=+∞, donc limx→+∞xex=0 et lim x→+∞1 ex=0, d"où par somme de limites limx→+∞xex-1ex=0 et enfin : lim x→+∞f(x)=0.

3. a.On a donc pour tout réelx,f?(x)=e-x+2,5-(x-1)e-x+2,5=

e -x+2,5(1-x+1)=(2-x)e-x+2,5. b.On sait que pour tout réelx, e-x+2,5>0, donc le signe def?(x) est celui de 2-x, donc : six<2,f?(x)>0 : la fonctionfest croissante sur ]-∞; 2[; six>2,f?(x)<0 : la fonctionfest décroissante sur [2 ;+∞[; f(2)=(2-1)e-2+2,5=e0,5est le maximum de la fonction surR.

D"où le tableau de variations :

x-∞2+∞ f(x)f ?(x)+0- -∞e 0,5 0

PartieD - Application

1.Voir l"annexe.

2.I=? 2,5 2 g(x)dx=? 2,5

2?-2x2+12x-16?dx=?

-2

3x3+6x2-16x?

2,5 2= 2

3×2,53+6×2,52-16×2,5-?

-23×23+6×22-16×2? =-15512+403=-155+16012=52.

3. a.Quel que soit le réelx,F?(x)=-e-x+2,5+xe-x+2,5=e-x+2,5(x-1)=f(x).

DoncFest une primitive defsurR.

b.On a doncJ=? 2,5 1 -2,5+e1,5.

4. a.En unité d"aire, on a donc :S=?

2,5 1 e-x+2,5(x-1)dx-? 2,5 2 g(x)dx=-2,5+e1,5-5

12=e1,5-3512.

b.La calculatrice donne e1,5-35

12≈1,56502 soit 1,57 unité d"aire au centième près.

EXERCICE33points

PartieA

1.On sait queP(μ-σ?M?μ+σ) soit iciP(120,95?M?121,79)≈0,683. (au millième près)

2.On aP(M?122,63)=P(M?121,37)-P(121,37?M?122,63)=0,5-P(121,37?M?

122,63)≈0,001. (au millième près)

Antilles-Guyane216 juin 2016

Corrigédu baccalauréat STI 2D/STLA. P. M. E. P.

PartieB

1.La fréquence des pneus dans l"échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg est égale à

f=2

36=118≈0,056.

2.I=??

18-1,96?

18×1718

36;118+1,96?

18×1718

36??
≈[-0,02 ; 0,131], soit plus vraisemblable

I≈[0 ; 0,131].

3.La proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg est comprise entre 0 et 0,131.

EXERCICE46points

PartieA

1.On a doncS0=2, puisS1=1,2S0=1,2×2=2,4 etS2=1,2S1=1,2×2,4=2,88.

2.Quel que soit le natureln, on aSn+1=1,2Sn: ceci montre que la suite(Sn)est une suite géo-

métrique de raisonq=1,2 et de premier termeS0=2.

3.On sait queSn=S0×qn=2×1,2n.

4.On résout l"inéquation :2×1,2n?10??1,2n?5??nln1,2?ln5??n?ln5

ln1,2≈8,8. La totalité de la ferme sera cultivée au cours de la 9 eannée soit en 2024.

PartieB

Valeur deK12345678910

Valeur deU11,82,63,44,255,86,67,48,29

2.Au bout de 10 ans la surface cultivée en bio sera de 8,8 ha.

3.On a 18×70

100=12,6. Comme 9<12,6 la limite de superficie n"est pas atteinte au bout de 10

ans. 4.

Variables

Kun entier naturel

Uun nombre réel

Début

Uprend la valeur 1

Kprend la valeur 0

Tant queU<12,6

Uprend la valeurU+0,8

Kprend la valeurK+1

Fin Tant que

Afficher 2015+K

Fin

Antilles-Guyane316 juin 2016

Corrigédu baccalauréat STI 2D/STLA. P. M. E. P.

ANNEXE 1

À rendreavecla copie

1 2 3 4 5 6 7-11

23
xy C OC g

Antilles-Guyane416 juin 2016

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

[PDF] Corrigé du baccalauréat STI2D/STL – SPCL 16 juin 2016 Antilles

Durée : 4 heures

Antilles-Guyane

EXERCICE13points

3-i=(1+2i)(3+i)(3-i)(3+i)=3-2+i+6i9+1=1+7i10=110+i710: réponseb.

3??2=4+4×3=4+12=16=42, donc??2-2i?3??=4.

D"où 2-2i?

3=4?24-24i?3?

3.lna+ln2a=lna×2a=ln?2a2?. Réponsec.

4.3y??+12y=0??y??+4y=0

EXERCICE27points

PartieA - Étude graphique

1.f(1)=0;

2.f?(2,5)=0-1,5

5,5-2,5=-12;

3.Une équation de la tangenteTesty-f(2,5)=f?(2,5)(x-2,5); avec

2, on obtient :y-1,5=-0,5(x-2,5), soit

4.lim+∞f(x)=0.

PartieB - Modélisation

2.f(1)=(a+b)e-1+2,5=(a+b)e1,5;

3.D"après les résultats de la partie A (lecture graphiqueaetbvérifient le système :

4.Comme e1,5?=0, la première équation entraînea+b=0 oub= -a, d"où en reportant dans la

On a donc pour tout réelx,

PartieC - Étude algébrique

1.On a limx→-∞x-1=-∞et limx→-∞e-x+2,5=+∞, d"où par produit de limites :

2. a.f(x)=(x-1)e-x+2,5=(x-1)×e-x×e2,5=e2,5?x-1

3. a.On a donc pour tout réelx,f?(x)=e-x+2,5-(x-1)e-x+2,5=

D"où le tableau de variations :

PartieD - Application

1.Voir l"annexe.

2?-2x2+12x-16?dx=?

3x3+6x2-16x?

3×2,53+6×2,52-16×2,5-?

3. a.Quel que soit le réelx,F?(x)=-e-x+2,5+xe-x+2,5=e-x+2,5(x-1)=f(x).

DoncFest une primitive defsurR.

4. a.En unité d"aire, on a donc :S=?

12=e1,5-3512.

12≈1,56502 soit 1,57 unité d"aire au centième près.

EXERCICE33points

PartieA

1.On sait queP(μ-σ?M?μ+σ) soit iciP(120,95?M?121,79)≈0,683. (au millième près)

2.On aP(M?122,63)=P(M?121,37)-P(121,37?M?122,63)=0,5-P(121,37?M?

122,63)≈0,001. (au millième près)

Antilles-Guyane216 juin 2016

PartieB

1.La fréquence des pneus dans l"échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg est égale à

36=118≈0,056.

2.I=??

18-1,96?

18×1718

36;118+1,96?

18×1718

I≈[0 ; 0,131].

3.La proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg est comprise entre 0 et 0,131.

EXERCICE46points

PartieA

1.On a doncS0=2, puisS1=1,2S0=1,2×2=2,4 etS2=1,2S1=1,2×2,4=2,88.

2.Quel que soit le natureln, on aSn+1=1,2Sn: ceci montre que la suite(Sn)est une suite géo-

3.On sait queSn=S0×qn=2×1,2n.

4.On résout l"inéquation :2×1,2n?10??1,2n?5??nln1,2?ln5??n?ln5

PartieB

Valeur deK12345678910

Valeur deU11,82,63,44,255,86,67,48,29

2.Au bout de 10 ans la surface cultivée en bio sera de 8,8 ha.

3.On a 18×70

100=12,6. Comme 9<12,6 la limite de superficie n"est pas atteinte au bout de 10

Variables

Kun entier naturel

Uun nombre réel

Début

Uprend la valeur 1

Kprend la valeur 0

Tant queU<12,6

Uprend la valeurU+0,8

Kprend la valeurK+1

Fin Tant que

Afficher 2015+K

Antilles-Guyane316 juin 2016

ANNEXE 1

À rendreavecla copie

2.f(1)=(a+b)e-1+2,5=(a+b)e1,5;