[PDF] Correction - Représentation d'état by Marc Bachelier - Issuu

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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Centre universitaire de Rélizane Ahmed Zabana

Faculté Des sciences et de la Technologie ST

Département d'Electrotechnique

• REPRÉSENTATION D"ÉTAT DES SYSTÈMES • COMMANDE PAR RETOUR D"ÉTAT • COMMANDE OPTIMALE • TRANSFORMÉE EN Z • COMMANDE ADAPTATIVE

Dr. H. Merabet Boulouiha

Année : 2014/2015

NOTES DE COURS : TECHNIQUES DE

COMMANDE AVANCÉE

Chapitre 2 Commande par retour d'état

!͵ 9-9RCLC9 NO1 ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ 21

.͵ 9-9RCLC9

NO2 ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ 22

C͵ 9-9RCLC9

NO3 ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ 22

5͵ 9-9RCLC9

NO4 ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ 23

9͵ 9-9RCLC9

NO5 ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ 23

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R9C...R{LC{ ΛaCRΜ ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ 49

Chapitre 1 2eprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe²

1 1

111ȁȁȁȁ1111ȁȁȁȁ ).42/$5C4)/.).42/$5C4)/.).42/$5C4)/.).42/$5C4)/. ȀȀȀȀ

4®´te² "e² ¬Îth®£e² Ît´£iÎe² ©´²°´Ȍº prβet £e "Ȍa²²erµi²²e¬et "iÎaire

re²tet µa"a¡"e² et e¥¥i¢a¢e² ©´²°´Ȍº ¢e °´e ¢e² ²¸²tͬe² attei¦et ´e ¢®¬p"e·itÎ te""e

°´e "Ȍ® e p´i²²e p"´² ²e ²ati²¥aire £e "Ȍ´i°´e re"ati® etrÎe ȟ ²®rtie ቗¢͒e²tȃºȃ£ire "e²

²¸²tͬe² ¬®®ȃµaria¡"e² 3)3/Ȁ 3i¦"e )p´t 3i¦"e /´tp´tቘ p®´r "e² ¢®¬¬a£er

²¸²tͬe² Ît´£iβ p®²²Í£et p"´²ie´r² etrÎe² et p"´²ie´r² ²®rtie² ¢a² £Ȍ´ ²¸²tͬe

¬´"tiȃµaria¡"e ቗-)-/ Ȁ -´"ti )p´t -´"ti /´tp´tቘȁ

,e² thήrie² £e ¢®¬¬a£e aµa¢Îe² ²®t ¡a²Îe² ¢®¬p"Íte¬et ²´r "e² ¬®£Î"i²ati®²

¬®£ere² ²®´² "a ¥®r¬e £e² µaria¡"e² £͒Îtatȁ ,a reprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe² e²t

´ ®´ti" p´i²²at per¬ettat £e ¬®£Î"i²er "e ¥®¢ti®e¬et £e ²¸²tͬe² "iÎaire²Ǿ e

te¬p² ¢®ti´ ®´ e te¬p² £i²¢ret et °´i p®²²Í£e e ®´treǾ "Ȍaµata¦e £e ¢®²erµer "a

reprβetati® te¬p®re""e £e² phή¬Íe²ȁ 1

111ȁȁȁȁ2222ȁȁȁȁ 6!2)!",%3 $͒O4!4 $͒5. 3934N-% $9.!-)15%6!2)!",%3 $͒O4!4 $͒5. 3934N-% $9.!-)15%6!2)!",%3 $͒O4!4 $͒5. 3934N-% $9.!-)15%6!2)!",%3 $͒O4!4 $͒5. 3934N-% $9.!-)15%

/ £Î¥iit "͒Îtat £͒´ ²¸²tͬe º "Ȍi²tat t0 ¢®¬¬e "Ȍi¥®r¬ati® ²´r "e pa²²Î

΢e²²aire et ²´¥¥i²ate p®´r £Îter¬ier "Ȍε®"´ti® ´"tÎrie´re £´ ²¸²tͬe °´a£ ®

¢®aÞtǾ p®´r

t൭t0Ǿ "e² ²i¦a´· £ȌetrÎe et "e² ΰ´ati®² £´ ²¸²tͬeȁȁȁȁ 0"´² ¦ÎÎra"e¬etǾ

"e² µaria¡"e² £ȌÎtat £a² "e² ²¸²tͬe² ph¸²i°´e² ²®t "e² Î"άet² apte² º e¬¬a¦a²ier

£e "ȌÎer¦ie ²®´² ¥®r¬e ¢iÎti°´e ®´ p®tetie""e Ȁ i£´¢ta¢e²Ǿ ¢apa¢itβǾ ¬a²²e²Ǿ

re²²®rt²ȁȁȁ Ce ²®t "e² Î"άet² a¸at ´e ¢apa¢itÎ £e ͓¬Î¬®ire͓ȁ

%·e¬p"e

%·e¬p"e%·e¬p"e%·e¬p"e Ȁ Ȁ Ȁ Ȁ ¢®²i£Îr®² "Ȍe·e¬p"e £e "a ϭi¦´re 1 £Î¢rit par "e² ΰ´ati®² £i¥¥Îretie""e² ²´iµate² Ȁ

ݲ቗ݭቘ൩ ݑ୓ݢ቗ݭቘൢ ݯ቗ݭቘ ቗1ȃ1ቘ

Représentation d'état des systèmes

Chapitre 1 2eprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe²

2

&i¦´re ቗1ȃ1ቘ Ȁ %·e¬p"e £Ȍ´ ²¸²tͬe Î"e¢tr®i°´eȁ

$a² "e ¢a² £e "Ȍe·e¬p"e ቗¥i¦´re ቗1ȃ1ቘቘǾ "Ȍi¥®r¬ati® ΢e²²aire et ²´¥¥i²ate p®´r

rβ®´£re "e ²¸²tͬe £Ȍΰ´ati®² ቗1ȃ1ቘ e²t "iÎe a´· ¢®£iti®² iitia"e² Ȁ

i቗t0ቘ et µ቗t0ቘȁ 0ar

¢®²Î°´etǾ ´ e²e¬¡"e p®²²i¡"e £e µaria¡"e² £ȌÎtat e²t ·቗tቘ൩ቛ

i቗tቘǾ µ቗tቘቜ 4ȁ /ċ ·቗tቘ e²t

µe¢te´r £ȌÎtatȁ

$Î¥iiti®

$Î¥iiti® $Î¥iiti® $Î¥iiti® 5 5 5 5 µe¢te´r £ȌÎtatµe¢te´r £ȌÎtatµe¢te´r £ȌÎtatµe¢te´r £ȌÎtat ȀȀȀȀ

e²t ´ e²e¬¡"e ¬ii¬a" £e µaria¡"e² £ȌÎtatǾ ¢Ȍe²tȃºȃ£ire £e

¦ra£e´r² te¬p®re""e²Ǿ ΢e²²aire² et ²´¥¥i²ate² p®´r £Îter¬ier "Ȍε®"´ti® ¥´t´re

£Ȍ´ ²¸²tͬe °´at ® ¢®aÞt "e² ΰ´ati®² °´i £Î¢riµet "e ¥®¢ti®e¬et £´

²¸²tͬe et "e² etrÎe² £e ¢e ²¸²tͬe.

$a² ¢e °´i ²´itǾ "ȌÎtat £Ȍ´ ²¸²tͬe e²t e ¦ÎÎra" reprβetÎ par ´

µe¢te´r £ȌÎtat ´

²era ®tÎ Ȁ

,e ®¬¡re

£e ¢®¬p®²ate² ¢®rre²p®£ a´ £e¦rÎ £e ¢®¬p"e·itÎ £´ ²¸²tͬeȁ )" £Î¥iit

"Ȍ®r£re £´ ²¸²tͬeȁ

2e¬ar°´e²

቗²´r ®tre e·e¬p"e ቗ϭi¦´re ቗1ቘቘǾ ቟ݢ ௪e²t ´ a´tre µe¢te´r £ȌÎtat p®²²i¡"eቘȁ

/ pa²²e £Ȍ´ µe¢te´r £ȌÎtat º ´ a´tre par ²i¬p"e ¢ha¦e¬et £e ¡a²eȁ

- ,e² µaria¡"e² £ȌÎtat ²®t ¦ÎÎra"e¬et ¢h®i²ie² p®´r "e´r ²i¦i¥i¢ati® ph¸²i°´e

etȝ®´ "e´r ²i¬p"i¢itÎ £a² "e² ΰ´ati®² £Ȍε®"´ti® °´i "e´r ²®t a²²®¢iÎe²ȁ

1111ȁȁȁȁ3333ȁȁȁȁ %15!4)/.3 $Ȍ%4!4%15!4)/.3 $Ȍ%4!4%15!4)/.3 $Ȍ%4!4%15!4)/.3 $Ȍ%4!4

,®r²°´Ȍ´ ²¸²tͬe e²t ¬®£Î"i²Î ²®´² "a ¥®r¬e £Ȍ´e reprβetati® £ȌÎtatǾ ® ¬®tre

°´Ȍi" e²t ¥ai²a¡"e £Ȍe·pri¬er "ȌÎtat £´ ²¸²tͬe º ´ i²tat £®Î e ¥®¢ti® £´ ²i¦a"

pr΢Σetȁ C®¬¬e ®´² aµ®² a¥¥aire º £e² µaria¡"e² ¢®ti´e² £´ te¬p²Ǿ "a ®ti®

Chapitre 1 2eprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe²

3

£ȌÎtat pr΢Σet Ȍe·i²te pa² µrai¬etȁ % reµa¢heǾ ¢e ¢®¢ept e²t º rappr®¢her £e

"Ȍε®"´ti® £´ ²¸²tͬeǾ a´tre¬et £it £e² µariati®² £e ¢ha°´e µaria¡"e £ȌÎtatȁ

,a ¥®r¬e ¦ÎÎra"i²Îe £e² ΰ´ati®² £e ²¸²tͬe ²®´² ¥®r¬e £ȌÎtat e²t Ȁ

቗ݭቘ൩ ݀ݱ቗ݭቘൢ ݁ݮ቗ݭቘ %°´ati® £ȌÎtat ቗1ȃ2ቘ

ݲ቗ݭቘ൩ ݂ݱ቗ݭቘൢ ݃ݮ቗ݭቘ %°´ati® £e ²®rtie ቗1ȃ3ቘ

$a² "e ¢a² £Ȍ´ ²¸²tͬe ²tati®aireǾ "e² ¬atri¢e² !Ǿ "Ǿ C et $ ²®t i£Îpe£ate² £´

te¬p²ȁ Ce ¢a² ²e´" ²era e·a¬iÎ par "a ²´iteȁ

·቗tቘ e²t appe"Îe µe¢te´r £ȌÎtat £´ ²¸²tͬe £e £i¬e²i® ȁ

´቗tቘ e²t appe"Îe µe¢te´r £ȌetrÎe ®´ µe¢te´r £e ¢®¬¬a£e £´ ²¸²tͬe £e £i¬e²i® ϗȁ

¸቗tቘ e²t appe"Îe µe¢te´r £e ²®rtie £´ ²¸²tͬe £e £i¬e²i® ¬ȁ

! e²t appe"Îe ¬atri¢e £ȌÎtat £´ ²¸²tͬe £e £i¬e²i® ×ȁ

" e²t appe"Îe ¬atri¢e £ȌetrÎe ®´ £e ¢®¬¬a£e £´ ²¸²tͬe £e £i¬e²i® ×ϗȁ

C e²t appe"Îe ¬atri¢e £e ²®rtie £´ ²¸²tͬe £e £i¬e²i® ¬×ȁ

$ e²t appe"Îe ¬atri¢e "a ¬atri¢e £e tra²¬i²²i® £ire¢te £´ ²¸²tͬe £e £i¬e²i®

Cela signifie que, d'une manière générale, on peut exprimer l'évolution du système

d'équations (1-2) et (1-3), modélisée par un vecteur constitué des dérivées premières des

composantes du vecteur d'état de dimension n, en fonction du vecteur d'état du système. Avec un vecteur de commande de dimension ℓ et un vecteur de sortie de dimension m. ୓቗tቘȁ ௾቗tቘۯ ఈ቗tቘ ୓቗tቘȁ

ϗ቗tቘۯ

቗1ȃ4ቘ ୓቗tቘȁ ௽቗tቘۯ ୓቗tቘȁ ௾቗tቘۯ ఈ቗tቘ ୓቗tቘȁ

ϗ቗tቘۯ

቗1ȃ5ቘ

Chapitre 1 2eprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe²

4 %·e¬p"e%·e¬p"e%·e¬p"e%·e¬p"e ȀȀȀȀ

2epre®² ®tre e·e¬p"e £e "a ¥i¦´re ቗1ȃ1ቘǾ "e ²¸²tͬe £Ȍΰ´ati®² ቗1ȃ1ቘ pe´t ²Ȍ΢rire

²®´² "a ¥®r¬e ¬atri¢ie""e ²´iµate Ȁ

2e¬ar°´e2e¬ar°´e2e¬ar°´e2e¬ar°´e Ȁ

$a² "e ¢a² £Ȍ´ ²¸²tͬe £i²¢retǾ ¢e² ΰ´ati®² preet "a ¥®r¬e ²´iµate Ȁ

1

111ȁȁȁȁ4444ȁȁȁȁ 0!33!'% $Ȍ5.% 2%02%3%.4!4)/. $Ȍ%4!4 6%23 &/0!33!'% $Ȍ5.% 2%02%3%.4!4)/. $Ȍ%4!4 6%23 &/0!33!'% $Ȍ5.% 2%02%3%.4!4)/. $Ȍ%4!4 6%23 &/0!33!'% $Ȍ5.% 2%02%3%.4!4)/. $Ȍ%4!4 6%23 &/.C4)/. $% .C4)/. $% .C4)/. $% .C4)/. $%

42!.3&%24

42!.3&%2442!.3&%2442!.3&%24

/ ¢®²i£Íre ´ ²¸²tͬe ,4) £Î¢rit par ²a reprβetati® £ȌÎtat Ȁ

቗ݭቘ൩ ݂ݱ቗ݭቘൢ ݃ݮ቗ݭቘ ቗1ȃ6ቘ

/ ²e re²treit a´ ¢a² £Ȍ´ ²¸²tͬe º ´e etrÎe et ´e ²®rtieȁ %·pri¬®² "a ¥®¢ti® £e

tra²¥ert

'቗pቘ £´ ²¸²tͬe e ¥®¢ti® £e² ¬atri¢e² !Ǿ "Ǿ C et $ȁ

቗ఀቘ ቗1ȃ7ቘ

$a² "e ¢a² £e² ²¸²tͬe² ¬´"tiȃetrÎe² ¬´"tiȃ²®rtie² ቗²¸²tͬe -)-/ቘǾ ' e²t ´e ¬atri¢e

£e² ¥®¢ti®² £e tra²¥ert etre ´e etrÎe et ´e ²®rtieȁ 0ar e·e¬p"e Ȁ

ೲ቗ఀቘ ቗1ȃ8ቘ

% preat "e² 4ȁ, ቗4ra²¥®r¬Îe £e ,ap"a¢eቘ £e² ΰ´ati®² £ȌÎtat et £e ²®rtieǾ ®

®¡tietȀ

቗ݩቘ൩ ݂ݗ቗ݩቘൢ ݃ݔ቗ݩቘ ቗1ȃ9ቘ

% ²´pp®²at "e² ¢®£iti®² iitia"e² ´""e².

Chapitre 1 2eprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe²

5

௾ൣ ݀ቘଡ଼୒݁ቜݔ቗ݩቘൢ ݃ݔ቗ݩቘ൩ ݂ቛ቗ݩ݈௾ൣ ݀ቘଡ଼୒݁ ൢ ݃ቜݔ቗ݩቘ ቗1ȃ10ቘ

&ia"e¬et Ȁ

቗ఀቘ൩݂ቛ቗ݩ݈௾ൣ ݀ቘଡ଼୒݁ ൢ ݃ቜ ቗1ȃ11ቘ

!µe¢ ) e²t "a ¬atri¢e i£etitÎ £e £i¬e²i® ȁ ,Ȍiµer²e £Ȍ´e ¬atri¢e e²t ®¡te´ par Ȁ % ²´¡²tit´at º "Ȍiµer²e ²a £Î¥iiti®Ǿ i" µiet Ȁ %·e¬p"e

%·e¬p"e%·e¬p"e%·e¬p"e ȀȀȀȀ ® ¢®²i£Íre "e ²¸²tͬe ,4) reprβetÎ par "e² ΰ´ati®² Ȁ

቗ݭቘ൩ ቟0 1 ൣ10 ൣ7በݱ቗ݭቘൢ ቟0

1በݮ቗ݭቘǾ ݲ቗ݭቘ൩ቛ1 0ቜݱ቗ݭቘ

,a ¬atri¢e ቗p)ȟ!ቘ £a² ¢et e·e¬p"e £eµiet Ȁ %t ²® iµer²e e²t ¢a"¢´"Î par Ȁ

ݩ୓ൢ 7ݩ ൢ 10

,a ¥®¢ti® £e tra²¥ertǾ £®¢Ǿ e²t £®Îe par Ȁ

1በ

୓ൢ 7ݩ ൢ 10൩1

ݩ୓ൢ 7ݩ ൢ 10

$a² ¢et e·e¬p"eǾ ®´² ®¡²erµ®² °´e "e £Îter¬iat £e "a ¬atri¢e

቗p)2 ȃ !ቘ e²t Φa" a´ p®"¸õ¬e £e £Î®¬iate´r £e

'቗pቘȁ C͒e²tȃºȃ£ire °´e "e² põ"e² £e "a ¥®¢ti® £e tra²¥ert

¢®rre²p®£et a´· ¹Îr®² £e

£et቗p) ൣ !ቘ °´i e²t a´²²i "e p®"¸õ¬e ¢ara¢tÎri²ti°´e £e "a

¬atri¢e £ȌÎtat

!ȁ 0ar ¢®²Î°´etǾ "e² põ"e² £e '቗pቘ ²®t "e² µa"e´r² pr®pre² £e "a ¬atri¢e

£ȌÎtat

Chapitre 1 2eprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe²

6

2e¬ar°´e Ȁ2e¬ar°´e Ȁ2e¬ar°´e Ȁ2e¬ar°´e Ȁ $a² "e ¢a² £Ȍ´ ²¸²tͬe º p"´²ie´r² etrÎe² etȝ®´ p"´²ie´r² ²®rtie²Ǿ ®

£Î¥iit £e ¬aiÍre aa"®¦´e ´e

¬atri¢e £e tra²¥ertȁ

%·e¬p"e

%·e¬p"e%·e¬p"e%·e¬p"e ȀȀȀȀ ® ¢®²i£Íre "e² £e´· ²¸²tͬe² ,4)Ȁ

቗ݭቘ൩ ቟0 1 ൣ10 ൣ7በݱ቗ݭቘൢ ቟0

1በݮ቗ݭቘǾ ݲ቗ݭቘ൩ ቟1 00 1በݱ቗ݭቘ

቗ݭቘ൩ ቟0 1 ൣ10 ൣ7በݱ቗ݭቘൢ ቟0ȁ5 0

0 1በݮ቗ݭቘǾ ݲ቗ݭቘ൩ ቟1 00 1በݱ቗ݭቘ

,e² ¥®¢ti®² £e tra²¥ert re²pe¢tiµe¬et p®´r "e² £e´· ¢a² ²®t Ȁ

1በ

୓ൢ 7ݩ ൢ 10൩ ୓ൢ 7ݩ ൢ 10ݩ ୓ൢ 7ݩ ൢ 10ۯ

2pൢ7

2p2ൢ7pൢ10

1 p

2ൢ7pൢ10

ȃ5 p

2ൢ7pൢ10

p p

2ൢ7pൢ10ۯ

1

111ȁȁȁȁ5555ȁȁȁȁ 42!.3&/2-!4)/. $Ȍ5.% &/.C4)/. $% 42!.3&/2-!4)/. $Ȍ5.% &/.C4)/. $% 42!.3&/2-!4)/. $Ȍ5.% &/.C4)/. $% 42!.3&/2-!4)/. $Ȍ5.% &/.C4)/. $% 42!.3&%24 6%23 42!.3&%24 6%23 42!.3&%24 6%23 42!.3&%24 6%23

,Ȍ%30!C% $Ȍ%4!4 ,Ȍ%30!C% $Ȍ%4!4,Ȍ%30!C% $Ȍ%4!4,Ȍ%30!C% $Ȍ%4!4

C®¬¬e ®´² "Ȍaµ®² £Î©º ¢itÎǾ "a reprβetati® £ȌÎtat £Ȍ´ ²¸²tͬe Ȍe²t

pa² ´i°´eȁ .®´² prβet®² i¢i £e² ¬Îth®£e² p®´r pr®¢Î£er ´ e²e¬¡"e £e

reprβetati® £e² µaria¡"e² £͒Îtat £Ȍ´ ²¸²tͬe ¢®ti´ º partir £Ȍ´e ¥®¢ti® £e

tra²¥ert

'቗pቘȁ ,e ¢h®i· £e "a reprβetati® pe´t £Îpe£re £e "a ¥®r¬e £i²p®i¡"e £e "a

¥®¢ti® £e tra²¥ert ®´ £´ t¸pe £ȌÎt´£e °´e "Ȍ® ²®´haite rÎa"i²er º partir £´ ¬®£Í"eȁ

2appe"®² parei""e¬et °´e "a reprβetati® £ȌÎtat £Ȍ´ ²¸²tͬe Ȍe²t pa² ´i°´e et

°´e "e² pr®priÎtβ £´ ²¸²tͬe e ²®t e a´¢´ ¢a² "iÎe² º "a ¥®r¬e ¢h®i²ieȁ

1

111ȁȁȁȁ5555ȁȁȁȁ1111ȁȁȁȁ 2%02%3%.4!4)/. -/$!,%2%02%3%.4!4)/. -/$!,%2%02%3%.4!4)/. -/$!,%2%02%3%.4!4)/. -/$!,%

Ce t¸pe £e reprβetati®Ǿ e¢®re £Î²i¦Îe reprβetati® para""Í"eǾ

¢®µiet e²²etie""e¬et ¡ie º "a reprβetati® £Ȍ´ ²¸²tͬe £®t "a ¥®¢ti® £e

tra²¥ert e²t p"a¢Îe ²®´² "a ¥®r¬e £Ȍ´e ²®¬¬eȁ 3®it "e ²¸²tͬe ¬®®µaria¡"e ,4) e²t

¬®£Î"i²Î par ´e ¥®¢ti® £e tra²¥ert '቗pቘȀ

Chapitre 1 2eprβetati® £ȌÎtat £e² ²¸²tͬe²

7

¬atÎria"i²Îe par "e ²¢hάa £e "a ¥i¦´re ቗1ȃ2ቘ e ¥ai²at apparaÞtre

¡"®¢² Î"άetaire²ȁ

0 00 0 00 0 0 1

&i¦´re ቗1ȃ2ቘ Ȁ 3¢hάa ¡"®¢ £e "a ¥®¢ti® £e tra²¥ertȁ

2e¬ar°´e²

! e²t £ia¦®a"eǿ "e² Î"άet² £ia¦®a´· ¢®rre²p®£et a´· põ"e² £´ ²¸²tͬeȁ

- 3i "e ²¸²tͬe a £e² põ"e² ¬´"tip"e²Ǿ ! e²t £ia¦®a"e par ¡"®¢²ȁ

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