Corrige complet du bac S Mathématiques Obligatoire 2008 PDF

19 Jun 2008 F(x) = x lnx ?x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I. (b) Démontrer à l'aide d'une intégration par parties ...

Fiche technique sur les limites

Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations. 1.1 Limite en +? et ?? f(x) xn. 1 xn. ? x. 1. ? x ln(x) ex lim x?+? f(x).

Liban mai 2019

1. On considère la fonction f définie sur ]0;1] par : f (x)=x(1?ln(x))2 .

Problèmes de bac - Logarithme népérien EXERCICE no 1 (France

f(x)=2x ? 3+4 ln x x . On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;??? ;?? ) d'unité graphique. 1 cm.

Amérique du Nord mai 2019

Sur l'intervalle [0;+?[ on définit la fonction f par f (x)=x?ln(x+1) . On note L la limite de la suite (un) et on admet que f (L)=L où f est la ...

Corrigé du TD no 9

x?0 x2 = 0. Corrigé : D'après la définition l'énoncé « lim x?0 Si x ? 0

Étude de fonctions - Bac Maths S 2019 Liban

Bac Blanc no 1 corrigé

2 Feb 2012 Soit g la fonction définie sur [0; +?[ par g(x) = ex ?xex +1. ... Résolution dans Rde l'équation f (x) = x : f (x) = x ... (lnx) ×elnx 3.

Corrigé du baccalauréat STI2D – spécialité Métropole–La Réunion

2 Jun 2021 On a tracé dans le repère orthonormé ci- contre la courbe représentative Cf de la fonction f définie sur ]0 ; +?[ par : f (x) = ln(x).

Corrigé du baccalauréat S Liban 31 mai 2019

31 May 2019 f ?(x) est donc du signe contraire de (ln(x)+1) ln(x)+1 > 0 ?? x > e?1 on en déduit le tableau des variations de f x. 0 e?1. 1 f ?(x).

Logarithms Math 121 Calculus II - Clark University

f(x) = lnxy Likewise let the right hand side of the equation be g(x) = lnx + lny where again y is a constant and x is a variable Then by the chain rule for derivatives d dx f(x) = d dx (lnxy) = 1 xy d dx xy = y xy = 1 x: We also have d dx g(x) = d dx (lnx+ lny) = 1 x + 0 = 1 x: Since f and g have the same derivatives on the interval (0;1

AP CALCULUS AB 2008 SCORING GUIDELINES - College Board

lnx fx x = for together with a formula for x>0 f?(x) Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2 In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x)

Logarithmic Functions - Dartmouth

f(x) = loga x; where a is a positive real number not equal to 1 The logarithmic function loga x takes an element of the domain x and gives back the unique number b = loga x such that ab = x Notice that logarithmic functions are only de?ned for positive real numbers x so the domain of a logarithmic function is Dom(loga x) = fx 2 R: x > 0g:

Lecture 2 : The Natural Logarithm - University of Notre Dame

6 The function f(x) = lnx is a one-to-one function Since f0(x) = 1=x which is positive on the domain of f we can conclude that f is a one-to-one function 7 Since f(x) = lnx is a one-to-one function there is a unique number e with the property that lne = 1: We have ln(1) = 0 since R 1 1 1=t dt = 0 Using a Riemann sum with 3 approximating

Consider the function fx x x ln defined for 0

x ln x 3/2/2006 page 6 of 8 Suppose that I wish to find x such that fx 1 Describe an iterative procedure based upon the Newton-Raphson method to do this: xxkk 1 G where G Illustrate one step starting at the “guess” x0 1 x ln x 3/2/2006 page 7 of 8 Newton-Raphson: Solving gx x x ln 1 0 : x gx gx' G

What is LNX FX x?

lnx fx x = for together with a formula for x>0, f?(x). Part (a) asked for an equation of the line tangent to the graph of fat x=e2. In part (b) students needed to solve fx?( )=0 and determine the character of this critical point from the supplied f?(x).

How do you prove a function LNX?

nnProof.SSincenlnx= ln((x)n) = lnx, divide bynto get the desired identity. Theorem 9.Ifyis an rational number andxa positive number then lnxy=ylnx.Proof. Letybe the rational numberm=nwithnpositive. Then Theorem 10. The function lnxis an increasing one-to-one function on its domain (0;1). Proof.

Is f(x) a continuous variable?

Since there are no holes, jumps, asymptotes, we see that f(x) is (piecewise) continuous. Note that, unlike discrete random variables, continuous random variables have zero point probabilities, i.e., the probability that a continuous random variable equals a single value is always given by 0. Formally, this follows from properties of integrals:

Baccalauréat S

Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité

19 juin 2008,4 heures

Exercice 1 5 points

Les courbesCfetCgdonnées ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O;?ı;??), les

fonctionsfetgdéfinies sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)=lnxetg(x)=(lnx)2.Cg Cf e1234123 -1 -2?ı??

1.On cherche à déterminer l"aireA(en unités d"aire) de la partie du plan grisée.

On note I=?

e 1 lnx dxet J=? e 1 (lnx)2dx.(a)Vérifier que la fonction F définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par

F(x)=xlnx-xest une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I.(b)Démontrer à l"aide d"une intégration par parties que J=e-2I.(c)En déduire J.

(d)Donner la valeur deA.1

2.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n "aboutit

pas.

Pourxappartenant à l"intervalle [1;e], on note M le point de la courbeCfd"abscissexet N le point de la courbe

gde même abscisse. Pour quelle valeur dexla distance MN est maximale? Calculer la valeur maximale de

MN.

Exercice 2 5 points

Dans l"espace muni d"un repère orthonormal (O;

?ı;??;?k), on considère les points

A(1 ; 1 ; 0),B(1 ; 2 ; 1) et C(3 ;-1 ; 2).1.(a)Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

(b)Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+y-z-3=0.2.On considère les plans (P) et (Q) d"équations respectivesx+2y-z-4=0 et 2x+3y-2z-5=0.

Démontrer que l"intersection des plane (P) et (Q) est une droite (D), dont une représentation paramétrique est :

?x= -2+t y=3 z=t(t??)3.Quelle est l"intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q)?

4.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l"évaluation.

Déterminer la distance du point A à la droite (D).

Exercice 3 5 points

La durée de vie, exprimée en heures, d"un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi expo-

nentielle de paramètreλoù X est un réel strictement positif.

On rappelle que pour toutt?0, P(X?t)=?

t 0

λe-λxdx.

La fonction R définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par R(t)=P(X>t) est appelée fonction de fiabilité.1.Restitution Organisée de Connaissances

(a)Démontrer que pour toutt?0 on a R(t)=e-λt.(b)Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c"est-à-dire que pour tout réel

s?0, la probabilité conditionnelle PX>t(X>t+s) ne dépend pas du nombret?0.2.Dans cette question, on prendλ=0,00026.(a)Calculer P(X?1 000) et P(X>1 000).(b)Sachant que l"évènement (X>1 000) est réalisé, calculer la probabilité de l"évènement (X>2 000).(c)Sachant qu"un agenda a fonctionné plus de 2 000 heures, quelle est la probabilité qu"il tombe en panne

avant 3 000 heures? Pouvait-on prévoir ce résultat?

Exercice 4 5 points

Le plan est muni d"un repère orthonormal direct (O; ?u;?v) (unité graphique 1 cm). Soient A, B et I les points d"affixes respectives 1+i, 3-iet 2.

À tout point M d"affixez, on associe le point M?d"affixez?telle quez?=z2-4z. Le point M?est appelé l"image de

M.1.Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l"exercice.

2.Calculer les affixes des pointsA

?et B?, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on?3.Déterminer les points qui ont pour image le point d"affixe-5.4.(a)Vérifier que pour tout nombre complexez, on a :z?+4=(z-2)2.(b)En déduire une relation entre

??z?+4??et|z-2|et, lorsquezest différent de 2, une relation entre arg?z?+4? et arg (z-2),2 (c)Que peut-on dire du point M ?lorsque M décrit le cercleCde centre I et de rayon 2?5.Soient E le point d"affixe 2+2eiπ3

, J le point d"affixe-4 et E?l"image de E.(a)Calculer la distance IE et une mesure en radians de l"angle

?-→u;-→IE? .(b)Calculer la distance JE ?et une mesure en radians de l"angle?-→u;-→JE?? .(c)Construire à la règle et au compas le point E ?; on laissera apparents les traits de construction.3

Correction

Exercice 1 5 points

Les courbesCfetCgdonnées ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O;?ı;??), les

fonctionsfetgdéfinies sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par :

f(x)=lnxetg(x)=(lnx)2.1.On cherche à déterminer l"aireA(en unités d"aire) de la partie du plan grisée.

On note I=?

e 1 lnx dxet J=? e 1 (lnx)2dx.(a)F ?(x)=lnx+x×1x -1=lnx, donc F est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l"intervalle [1;e]. I=? e 0 lnxdx=[xlnx-x]e0=1(b)Intégration par parties : ?u(x)=(lnx)2;u?(x)=2x lnx v ?(x)=1 ;v(x)=x? donc J=?x(lnx)2?e 0-2? e 0 lnxdx=e-2I(c)J=e-2I=e-2? e 0 lnxdx=e-2[xlnx-x]e0=e-2.(d)A=????? e 0? ?lnx-(lnx)2??dx????=? e 0? ?lnx-(lnx)2??dx=? e

0?lnx-(lnx)2?dx=I-J=1-e+2=3-e?0,281.2.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n "aboutit

pas. Pourxappartenant à l"intervalle [1;e], on note M(x;lnx) et N(x;(lnx)2). MN(x)=??lnx-(lnx)2??=lnx-(lnx)2car (lnx)2?lnxsur [1;e] MN ?(x)=2x lnx-12 ; MN ?(x)>0 sixMN?(x)+0- MN(x) 01 4

0Ainsi, MN(x) possède un maximum pourx=?e. La valeur maximal est12

Exercice 2 5 points

Dans l"espace muni d"un repère orthonormal (O;

?ı;??;?k), on considère les points A(1 ; 1 ; 0),B(1 ; 2 ; 1) et C(3 ;-1 ; 2).1.(a)A, B et C ne sont pas alignés : AB( (0 1 1) ;-→AC( (2 -2 2)

Les coordonnées ne sont pas proportionnelles.

AB et-→AC ne sont donc pas colinéaires et A, B et C ne sont pas alignés; ils déterminent ainsi un plan.4

(b)Pour démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+y-z-3=0, il suffit de vérifier que les

coordonnées des points A, B et C, non alignés, vérifient l"équation proposée : ?2×1+1×1-1×0-3=0

2×1+1×2-1×1-3=0

2×3+1×(-1)-1×2-3=02.On considère les plans (P) et (Q) d"équations respectivesx+2y-z-4=0 et 2x+3y-2z-5=0.

Intersection des plane (P) et (Q) :

x+2y-z-4=0

2x+3y-2z-5=0???x+2y=z+4

2x+3y=2z+5???2x+4y=2z+8

2x+3y=2z+5???x+2y=z+4

y=3???x=-2+z y=3

En posantz=t, on obtient une représentation paramétrique est la droite (D), intersection des deux plans :

?x= -2+t y=3 z=t(t??)3.(ABC)∩((P)∩(Q))=(ABC)∩(D) :

M(x;y;z)?(ABC)∩(D)???

??2x+y-z-3=0 x=-2+t y=3 z=t??? ??2(-2+t)+3-t-3=0 x=-2+t y=3 z=t??? ??t=4 x=2 y=3 z=4=?M(2;3;4)

Distance du point A à la droite (D) :

Pour tout point M de la droite (D), AM2=(-2+t-1)2+(3-1)2+(t-0)2=2t2-6t+13.

(2t2-6t+13)?=4t-6; le minimum de ce polynome du second degré (coefficient dex2positif) est obtenu pour

t=32

Ainsi, la distance de A à la droite (D) est :

d(A,D)=?? 32
-3? 2 +4+94 =?34 2

Exercice 3 5 points

On rappelle que pour toutt?0, P(X?t)=?

t 0

λe-λxdx.

La fonction R définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par R(t)=P(X>t) est appelée fonction de fiabilité.1.Restitution Organisée de Connaissances

(a)Pour toutt?0 on a :

R(t)=P(X>t)=1-P(X?t)=1-?

t 0

λe-λxdx=1-?

-e-λx?t

0=e-λt(b)La variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c"est-à-dire que pour tout réels?0, la proba-

bilité conditionnelle P

X>t(X>t+s) ne dépend pas du nombret?0 :

-λt=e-λs2.Dans cette question, on prendλ=0,00026.(a)P(X?1000)=1-R(1000)=1-e-0,00026×1000=1-e-0,26?1-0,77105=0,2289?0,229

P(X>1 000)=e-0,00026×1000=e-0,26?0,771.5

(b)Sachant que l"évènement (X>1 000) est réalisé, calculer la probabilité de l"évènement (X>2 000).

P e-0,00026×2000e

-0,00026×1000=e-0,00026×(2000-1000)=e-0,26?0,771(c)Sachant qu"un agenda a fonctionné plus de 2 000 heures, la probabilité qu"il tombe en panne avant 3 000

heures est donné par : P 1-? 2000
0 -2000λ=1-e-1000λ =1-e-0,26=1-0,771=0,229 On aurait pu prévoir ce résultat d"après la question1. b. En effet, P

Exercice 4 5 points

Le plan est muni d"un repère orthonormal direct (O; ?u;?v) (unité graphique 1 cm). Soient A, B et I les points d"affixes respectives 1+i, 3-iet 2.

À tout point M d"affixez, on associe le point M?d"affixez?telle quez?=z2-4z. Le point M?est appelé l"image de

M.1.Figure :

A IJ B A?EE?

2.Affixes des pointsA

?et B?, images respectives des points A et B : a

On remarque que A

?=B?.6

3.Points qui ont pour image le point d"affixe-5 :

Dire que M a pour image le point d"affixe-5 signifie que :z2-4z=-5??z2-4z+5=0. C"est une équation du second degré.Δ=16-20=(2i)2.

D"où les solutions sontz1=4+2i2

=2+ietz2=4-2i2 =2-i.4.(a)Pour tout nombre complexez, on a :z?+4=z2-4z+4=(z-2)2.(b)Ainsi :

??z?+4??=|z-2|2et, lorsquezest différent de 2, arg?z?+4?=2arg(z-2).(c)Dire que M décrit le cercleCde centre I et de rayon 2 signifie que|z-2|=2.

Donc??z?+4??=|z-2|2=4, ce qui signifie que M?appartient au cercle de centre le point I?d"affixe-4 et de

rayon 4.5.E le point d"affixe 2+2eiπ3 =2+2? cosπ3 +isinπ3 =3+i?3

Affixe de E

?:e?=?3+i?3 ?2-4?3+i?3 ?=-6+2i?3 (a)Distance IE : IE=|e-2|=???2+2eiπ3 -2???=???2eiπ3 ???=2×???eiπ3 ???=2;

Mesure en radians de l"angle

?-→u;-→IE? : arg (e-2)=arg?

2+2eiπ3

-2? =arg?

2×?

eiπ3 =π3 .(b)Distance JE ?: JE?=??-6+2i?3+4??=??-2+2i?3 ??=4×? ????-12 +i?3 2 ????=4;

Mesure en radians de l"angle

?-→u;-→JE?? : arg? 4? 12 +i?3 2

2π3

ou plus simplement : JE ?=??e?+4??=|e-2|2=22=4 et?-→u;-→JE?? =arg(e?+4)=2×arg(e-2)=2×π3 =2π3 (c)Construction : le point E est sur le cercle de centre I et de rayon 2; son image E ?est donc sur le cercle de centre J et de rayon 4.7quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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[PDF] Corrige complet du bac S Mathématiques Obligatoire 2008

What is LNX FX x?

How do you prove a function LNX?

Is f(x) a continuous variable?

Baccalauréat S

19 juin 2008,4 heures

Exercice 1 5 points

1.On cherche à déterminer l"aireA(en unités d"aire) de la partie du plan grisée.

On note I=?

2.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n "aboutit

Exercice 2 5 points

Dans l"espace muni d"un repère orthonormal (O;

4.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l"évaluation.

Exercice 3 5 points

On rappelle que pour toutt?0, P(X?t)=?

λe-λxdx.

Exercice 4 5 points

2.Calculer les affixes des pointsA

Correction

Exercice 1 5 points

On note I=?

0?lnx-(lnx)2?dx=I-J=1-e+2=3-e?0,281.2.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n "aboutit

0Ainsi, MN(x) possède un maximum pourx=?e. La valeur maximal est12

Exercice 2 5 points

Dans l"espace muni d"un repère orthonormal (O;

Les coordonnées ne sont pas proportionnelles.

2×1+1×2-1×1-3=0

2×3+1×(-1)-1×2-3=02.On considère les plans (P) et (Q) d"équations respectivesx+2y-z-4=0 et 2x+3y-2z-5=0.

Intersection des plane (P) et (Q) :

2x+3y-2z-5=0???x+2y=z+4

2x+3y=2z+5???2x+4y=2z+8

2x+3y=2z+5???x+2y=z+4

M(x;y;z)?(ABC)∩(D)???

Distance du point A à la droite (D) :

Ainsi, la distance de A à la droite (D) est :

Exercice 3 5 points

On rappelle que pour toutt?0, P(X?t)=?

λe-λxdx.

R(t)=P(X>t)=1-P(X?t)=1-?

λe-λxdx=1-?

0=e-λt(b)La variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c"est-à-dire que pour tout réels?0, la proba-

X>t(X>t+s) ne dépend pas du nombret?0 :

P(X>1 000)=e-0,00026×1000=e-0,26?0,771.5

Exercice 4 5 points

M.1.Figure :

2.Affixes des pointsA

On remarque que A

3.Points qui ont pour image le point d"affixe-5 :

D"où les solutions sontz1=4+2i2

Affixe de E

Mesure en radians de l"angle

2+2eiπ3

2×?

Mesure en radians de l"angle

2π3