annales de lannée universitaire 2011-2012 PDF

3 May 2010 L'organisation en réseau comme forme ” indéterminée ”. Yvon Pesqueux. To cite this version: Yvon Pesqueux. L'organisation en réseau comme ...

Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour

forme indéterminée mais ne jamais l'écrire. Dans la rédaction on justifie en écrivant « par croissance comparée ». Pour lever une indétermination avec des

Limites – Corrections des Exercices

Pour lever cette forme indéterminée on factorise l'expression et on utilise les règles de limite d'un produit : x3 + x2 = x3(1 + 1 x. ) et puisque lim.

Lorganisation en réseau comme forme `` indéterminée

3 May 2010 L'organisation en réseau comme forme “ indéterminée ”. Univers virtuels et collabo- ration Sep 2008

annales de lannée universitaire 2011-2012

Remarque : Au cours de ces 4 calculs de limites il y a eû : une forme non-indéterminée

LES SUITES (Partie 1)

Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. Il est important cependant de reconnaître les formes indéterminées pour lesquelles il.

Limites asymptotes EXOS CORRIGES

le cas d'une forme indéterminée «. ?. ?. ». Il existe (au moins) deux manières de rédiger : 1ère manière : Factorisation des deux membres par leur terme

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

a) Il s'agit d'une forme indéterminée de type "??? ". Levons l'indétermination : V. Fonctions de la forme ln u. Propriété : Soit u une fonction ...

cours 1

Les formes indéterminées. D'une certaine façon lever une indétermination revient à déterminer laquelle des deux expressions va le plus vite vers sa limite

Limites dans la fonction logarithme népérien Techniques de

Exemple 1. Déterminer la limite de f(x) = ( ). 6 ln²ln +. ? x x en ?+ . Un calcul direct donne une forme indéterminée . On va factoriser par la plus haute

Exercices corrigés limites et - Groupe Réussite

Limite d’une fonction : les formes indéterminées 1 Limite d’un polynôme La limite d’une fonction polynôme quand x tend vers l’infini est égale à la limite de son terme du plus haut degré Exemple f(x)=x²?x+1 lim x?+? f(x)=+??? lim x?+?

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la forme indéterminée n est pas dûe à des termes qui deviennent grands ici la forme indéterminée est dûe à des termes qui tendent vers O donc inutile de se braquer sur les plus grands exposants si par exemple tend vers 2 aura intérêt à faire apparaitre des termes

Comment définir une forme indéterminée?

On a une forme indéterminée (ou avant d’introduire la fonction exponentielle). donc . On termine par continuité de la fonction exponentielle . Limite en de .

Quels sont les différents types de formes indéterminées?

Formes indéterminées. Formes indéterminées. Quand on calcule des limites, les formes suivantes sont indéterminées : Formes indéterminées 0×? ? ? 0 0 +?? ?. Indéterminations levées par le cours. Polynômes, fonctions rationnelles • La limite d’un polynôme en +? ou ?? est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

Comment évaluer les limites impliquant les formes indéterminées ?

La règle de L'Hôpital est très utile pour évaluer les limites impliquant les formes indéterminées 0 0 et ? / ?. Cependant, nous pouvons également utiliser la règle de L'Hôpital pour aider à évaluer les limites impliquant d'autres formes indéterminées qui apparaissent lors de l'évaluation des limites.

Comment calculer la limite d'une forme indéterminée?

Exemple : on cherche la limite en + ? de f ( x) = x 3 ? 2 x 2. Donc lim x ? + ? x 3 ? 2 x 2 = ? ? ?. C'est donc une forme indéterminée. On procède alors au calcul suivant en factorisant par le terme de plus haut degré : f ( x) = x 3 ( 1 ? 2 x).

Annexe Dannales de l"année universitaire2011-2012D.1 Examen partiel numéro 1 du 3 novembre 2011

En une heure, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

Exercice 1.

Déterminer le domaine de définition de

f(x) =? x2-3x+ 2

Exercice 2.

Calculer

lim x→+∞x

3+xcosx+ sinx

2x3; limx→+∞⎷

x2+ 2x+ 2 x.

Exercice 3.

Calculer

lim x→0x

2+⎷

x+ 4 x+ 1; limx→1x

2-1x2+x-2; limx→01-⎷

1 + 2x

Exercice 4.

Étudier le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de f(x) = (x2-3)⎷ x+ 1.

Exercice 5.

Montrer que l"équation(x+1)cosx-⎷x= 0admet au moins une solution dans R.

Exercice 6.

Calculer le domaine de définition et de continuité def(x) =log(2+cosx)x. Peut-on la prolonger par continuité en0?

Exercice 7.

Soitf:R→Rdéfinie surR. On suppose quelimx→+∞f(x)x= 2. Montrer que pour toutxsuffisament grand, on af(x)> x. 127

128ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

D.2 Examen partiel numéro 2 du 8 décembre 2011 En une heure, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

Formulaire des DL en0

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)

log(1-x) =-x-x2

2-x33+··· -xnn+xnε(x)

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)

2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)

expx= 1 +x

1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)

cosx= 1-x2

2!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)

sinx=x-x3

3!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)

Exercice 1.Écrire les développements limités enx= 0et à l"ordre indiqué entre parenthèses

des expressions suivantes : log(1 +x)-log(1-x)à l"ordre4;cosx×log(1-x)à l"ordre4; 3 cosxà l"ordre3;log(1-x)cosxà l"ordre3; Exercice 2.Déterminer les limites suivantes en0:

1 +x-1

Exercice 3.On suppose que le DL defen0d"ordrenest

f(x) =P(x) +xnε(x), avecP(x) =a0+a1x+a2x2...+anxnpolynôme de degrénetlimx→0ε(x) = 0. Supposons de plus quea0=a1= 0et quen≥2. Montrer que le DLn-2(0)def(x) x2est f(x) x2=P(x)x2+xn-2ε(x) =a2+a3x+a4x2+...+anxn-2+xn-2ε(x).

Application : donner les DL

3(0)delog(1+x)-x

x2et delog(cosx)x2.

D.3. EXAMEN TERMINAL DU 10 JANVIER 2012129

D.3 Examen Terminal du 10 janvier 2012

En deux heures, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

L"énoncé comporte un recto et un verso

Formulaire des DL en0

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)

log(1-x) =-x-x2

2-x33+··· -xnn+xnε(x)

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)

2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)

expx= 1 +x

1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)

cosx= 1-x2

2!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)

sinx=x-x3

3!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)

Exercice 1.Déterminer les domaines de définition, de continuité et de dérivabilité def(x) =⎷

x2-9ex.

Exercice 2.Montrer que l"équationex=⎷

x+ 1possède au moins une solution surR.

Exercice 3.Écrire les développements limités enx= 0et à l"ordre indiqué entre parenthèses

des expressions suivantes : cosx-⎷

1 +xà l"ordre2;log(1-x)×3⎷1 +xà l"ordre2;

e x cosxà l"ordre3;(cosx)sinxà l"ordre3. Exercice 4.Déterminer les limites suivantes en0: 3

1 +x-1⎷1 +x-1;esinx-1log(1-x);ecosx⎷1 +x;sin2x1-cosx;xsinx-1xlogx.

Exercice 5.Déterminer les limites suivantes en+∞: x

2-⎷

x logx;⎷

1 + sinx

x;?

1 +2x?

130ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

Exercice 6.Calculerf(0),f?(0)etf??(0)pour

f(x) = (1 + sinx)⎷ 1+x.

Exercice 7.Montrer que(cosx)sinx≂e-x3

2au voisinage de0.

Exercice 8.Montrer que les premiers termes des développements asymptotiques en+∞des fonctions suivantes sontx2 x-1=x+ 1 +1x+o?1x? xsin?1 x? = 1-16x2+o?1x2? D.4 Corrigé de l"examen partiel du 3 novembre 2011

Examen partiel numéro 1 du 3 novembre 2011

En une heure, les documents et calculatrices ne sont pas autorisés

Exercice 1.

Déterminer le domaine de définition de

f(x) =? x2-3x+ 2

Corrigé.

Soitx?R. On a quefest définie enxsi, et seulement six2-3x+ 2≥0. Pour étudier le signe du binôme, on le factorise. Le discriminantvaut32-4×1×2 = 9-8 = 1et les deux racines sont1et2, doncx2-3x+ 2 = (x-1)(x-2), qui est positif si et seulement si

x?]- ∞,1[?]2,+∞[(un tableau de signes peut-être dressé si on n"est pas sûr de soi). Donc

D f=]- ∞,1]?[2,+∞[.

Exercice 2.

Calculer

lim x→+∞x

3+xcosx+ sinx

2x3; limx→+∞⎷

x2+ 2x+ 2 x.

Corrigé.

On a x

3+xcosx+ sinx

2x3=12+cosx2x2+sinx2x3.

tendent vers0lorsquex→+∞. Donc, par le théorème des gendrames, on alimx→+∞cosx

2x2= 0.

pour toutx?= 0, et par le théorème des gendarmeslimx→+∞sinx

2x3= 0. Finalement,

lim x→+∞x

3+xcosx+ sinx

2x3=12+ 0 + 0 =12.

D.4. CORRIGÉ DE L"EXAMEN PARTIEL DU 3 NOVEMBRE 2011131 Concernant le seconde limite, on commence par rappeler que six?R, alors⎷ x2=|x|.

D"autre part, on rappelle aussi que six0, on a|x|

x= 1. On a donc, pourx >0, en mettantx2en facteur dans la racine : x2+ 2x+ 2 x=|x|?

1 +2x+2x2

x=?1 +2x+2x2, avec 2 x→0et2x2→0lorsquex→+∞, donc le terme à l"intérieur de la racine tend vers

1 + 0 + 0 = 1, et par continuité de la racine carrée en 1

lim x→+∞⎷ x2+ 2x+ 2 x=⎷1 = 1. Une remarque importante, à lire.Dans ces deux exercices, ilne faut passe contenter de dire "on garde les termes de degrés les plus importants" (c"est-à direx3

2x3=13pour la première

limite, et⎷ x2 x= 1pour la seconde limite). En effet, cet argumentn"est valable que pour les fractions rationnelles, i.e. les quotients de polynômes.Hors, aucune de ces deux fonctions

n"est un polynôme : la première fait intervenir des sinus et cosinus, la seconde des racines carr´des.

Ilfautfaire comme dans ce corrigé.

Exercice 3.

Calculer

lim x→0x

2+⎷

x+ 4 x+ 1; limx→1x

2-1x2+x-2; limx→01-⎷

1 + 2x

Corrigé.

Le numérateur dex2+⎷x+4

x+1tend vers0 +⎷0 + 4 = 2lorsquex→0alors que le dénominateur tend vers0 + 1 = 1. Donc le quotient tend vers2 1= 2: lim x→0x

2+⎷

x+ 4 x+ 1= 2. Commentaire. Il arrive parfois (mais pas à chaque examen) qu"une limite ne soit pas une forme indéterminée. Commencez donc toujours par vérifier si, comme c"est le cas ici, la limite se calcule sans difficulté. Lorsquextend vers1, les numérateurs et dénominateurs dex2-1 x2+x-2tendent tous deux vers0, d"où une forme indéterminée du typequotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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[PDF] annales de lannée universitaire 2011-2012

Comment définir une forme indéterminée?

Quels sont les différents types de formes indéterminées?

Comment évaluer les limites impliquant les formes indéterminées ?

Comment calculer la limite d'une forme indéterminée?

Exercice 1.

Déterminer le domaine de définition de

Exercice 2.

Calculer

3+xcosx+ sinx

2x3; limx→+∞⎷

Exercice 3.

Calculer

2+⎷

2-1x2+x-2; limx→01-⎷

1 + 2x

Exercice 4.

Exercice 5.

Exercice 6.

Exercice 7.

128ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

Formulaire des DL en0

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)

2-x33+··· -xnn+xnε(x)

2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)

1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)

2!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)

3!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)

1 +x-1

Exercice 3.On suppose que le DL defen0d"ordrenest

Application : donner les DL

3(0)delog(1+x)-x

D.3. EXAMEN TERMINAL DU 10 JANVIER 2012129

D.3 Examen Terminal du 10 janvier 2012

L"énoncé comporte un recto et un verso

Formulaire des DL en0

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x)

2-x33+··· -xnn+xnε(x)

2x2+···+α(α-1)...(α-n+ 1)n!xn+xnε(x)

1!+x22!+···+xnn!+xnε(x)

2!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+x2nε(x)

3!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1ε(x)

Exercice 2.Montrer que l"équationex=⎷

1 +xà l"ordre2;log(1-x)×3⎷1 +xà l"ordre2;

1 +x-1⎷1 +x-1;esinx-1log(1-x);ecosx⎷1 +x;sin2x1-cosx;xsinx-1xlogx.

2-⎷

1 + sinx

1 +2x?

130ANNEXE D. ANNALES DE L"ANNÉE UNIVERSITAIRE 2011-2012

Exercice 6.Calculerf(0),f?(0)etf??(0)pour

Exercice 7.Montrer que(cosx)sinx≂e-x3

2au voisinage de0.

Examen partiel numéro 1 du 3 novembre 2011

Exercice 1.

Déterminer le domaine de définition de

Corrigé.

Exercice 2.

Calculer

3+xcosx+ sinx

2x3; limx→+∞⎷

Corrigé.

3+xcosx+ sinx

2x3=12+cosx2x2+sinx2x3.

2x2= 0.

2x3= 0. Finalement,

3+xcosx+ sinx

2x3=12+ 0 + 0 =12.

D"autre part, on rappelle aussi que six0, on a|x|

1 +2x+2x2

1 + 0 + 0 = 1, et par continuité de la racine carrée en 1

2x3=13pour la première

Ilfautfaire comme dans ce corrigé.

Exercice 3.

Calculer

2+⎷

2-1x2+x-2; limx→01-⎷

1 + 2x

Corrigé.

Le numérateur dex2+⎷x+4

2+⎷