Cardinalité des ensembles finis PDF

MATRICES

1 sur 9. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. MATRICES Propriétés : Soit A B et C trois matrices carrées de même taille.

TRANSLATION ET VECTEURS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. TRANSLATION ET VECTEURS Soit t la translation qui envoie A sur A' B sur B' et C sur C'.

Formulaire dalgèbre Quotients et fractions Le dénominateur dun

Le dénominateur d'un quotient ne doit pas être nul. Sous cette condition a

Cardinalité des ensembles finis

Ensembles équipotents. Soient E = {ab

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka ...

Basic Algebra Rules 1. Fractions. Let a b

and d be numbers. (a

SECOND DEGRE (Partie 2)

= = = ×. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr b) Calculons le discriminant de l'équation 2x2 ? 3x +. 9. 8. = 0 : a = 2 b =

CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE

Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une solution x de ax ? b. (mod n)

PGCD ET NOMBRES PREMIERS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PGCD ET NOMBRES PREMIERS c) Si b divise a alors PGCD(a ; b) = b. Démonstration de c :.

Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les règles de calcul…

Règle 3 : simplifier des fractions. Attention à la position du « = » : a c ac a b b.

Basics of Probability - University of Arizona

Exercise 1 Show that the inclusion-exclusion rule follows from the axioms Hint: A[B= (ABc)[B and A= (AB) [(ABc) Deal two cards A= face on the second cardg B= face on the rst cardg P(A[B) = P(A) + P(B) P(AB) Pfat least one aceg= 1 13 + 1 13? To complete this computation we will need to compute P(AB) = Pfboth cards are acesg 3

AP Calculus AB and AP Calculus BC Sample Questions

(A) (B) and (C) and (D) and Learning Objectives Essential Knowledge Mathematical Practices for AP Calculus LO 2 2B: Recognize the connection between differentiability and continuity EK 2 2B1: A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain MPAC 4: Connecting multiple representations MPAC 2

Common Core State Standards for Mathematics

a b c x y Mathematical understanding and procedural skill are equally important and both are assessable using mathematical tasks of sufficient richness The Standards set grade-specific standards but do not define the intervention methods or materials necessary to support students who are well below or well above grade-level expectations

Discrete Mathematics Problems - UNF

A?(B ?A) = ? 37 [2] (A?B)?(A?B) = A 38 [2] (A?B)?C ? A?C 39 [2] (A?C)?(C ?B) = ? 40 Argue that the symmetric di?erence operator does or does not always satisfy the associative property List the elements in the following sets Assume the universe is Z+: 41 {xx < 8} 42 {xx = 6?x ? 4} 43

Basic Algebra Rules - University of California San Diego

1 Fractions Let abc and d be numbers (a) You can break up a fraction from a sum in the numerator but not in the denom-inator: a+b c = a c + b c but a b+c 6= a b + a c (b) Cancellation of the c here requires that it appears in each additive term of the numerator and denominator: ca+cb cd = c(a+b) cd = a+b d but ca+b cd 6= a+b d

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understands the mathematics and may have a better chance to s?d at a less familiar task such as expanding (a + b + c)(x + y) Mathematical understanding and procedural skill are equally important and both are assessable using mathematical tasks of sufficient richness The Standards set grade-specific standards but do not define the

What is the AP Calculus AB & AP Calculus BC curriculum framework?

AP Calculus AB and AP Calculus BC Curriculum Framework, published in fall 2014. The AP Calculus AB and AP Calculus BC Course and Exam Description , which is out now, includes that curriculum framework, along with a new, unique set of exam questions.

What is 2.1c2 AP Calculus AB/BC?

2.1C2: Specific rules can be used to calculate derivatives for classes of functions, including polynomial, rational, power, exponential, logarithmic, trigonometric, and inverse trigonometric. Te Collee oar 1 Sample uestions AP Calculus AB/BC Exam Return to Table of Contents 2. is (A) 1 (B) 3 (C) 9 (D) nonexistent

How is temperature modeled in AB/BC?

13 Sample uestions A Calculus AB/BC Exam Return to Table of Contents 13. The temperature of a room, in degrees Fahrenheit, is modeled by , a differentiable function of the number of minutes after the thermostat is adjusted.

What is AP Calculus Lo 1 A(B)?

Mathematical Practices for AP Calculus LO 1 .1A(b): Interpret limits expressed symbolically. EK 1.1A2: The concept of a limit can be extended to include one-sided limits, limits at infinity, and infinite limits. MPAC 1: Reasoning with definitions and theorems MPAC 2 Connecting concepts MPAC 3: Implementing algebraic/computational processes MPAC

Cardinalité

Université de Toulouse

Année 2020/2021

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Cardinalité des ensembles finis

Cardinalité des ensembles finis2 / 23

Ensembles équipotents

SoientE=fa;b;c;dgetF=f1;2;3g.Il existe une application surjective deEsurF, mais pas d"application injective.Il existe application injective deFsurE, mais pas d"application surjective. En fait, il n"y a pas assez d"éléments dansF(ou trop peu dansE). Le cardinal d"un ensemble précise la notion de nombre d"élémentsEnsemble de même cardinal Deux ensembles (fini ou non) sontéquipotentsou demême cardinals"il existe une bijection entre eux. Cardinalité des ensembles finisEnsembles équipotents3 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté

Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Pour montrer que cet entier est définit de manière unique, on prouve la

proposition suivante :Proposition S"il existe une application injective def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors nk.S"il existe une application surjective def1;:::;ngdansf1;:::;kg alorsnk.S"il existe une application bijection def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors n=k.Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux.

Proposition

SoientEetFdeux ensembles finis. On a :Il existe une application injective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application surjective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application bijective deEdansFsi et seulement si Card(E) =Card(F).Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Il y a au moins deux personnes à Paris qui ont exactement le même nombre de cheveux.Principe des tiroirs généralisé SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>kCard(F)aveck2?alors il existe une valeur defqui est répétée au moinsk+1 fois.Cardinalité des ensembles finisPrincipe des tiroirs5 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Dénombrement

Dénombrement6 / 23

Pourquoi dénombrer un ensemble fini?

En informatique vous utiliserez la notion de dénombrement au moins dans

les deux cas de figures suivants :dénombrer le nombre de cas à analyser par un algorithme en vu

d"étudier sa complexité;lorsqu"on tire au hasard un élément dans un univers finis de manière équiprobable (c"est à dire que chaque élément à la même probabilité d"être tiré), la probabilité que cet élément soit dans l"ensembleA est

P(A) =Card(A)Card(

):DénombrementMotivations7 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)AB

abcd efgh DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)

Card(A[B[C) =Card(A) +Card(B) +Card(C)Card(A\B)

Card(A\C)Card(B\C) +Card(A\B\C)AB

C abcd efgh i jkl m DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles

Produit cartésien

Card(AB) =Card(A)Card(B)

Card(A1 An) =Card(A1) Card(An)a

1a 2a 3a

4(a1;b1)(a1;b2)(a1;b3)(a2;b1)(a2;b2)(a2;b3)(a3;b1)(a3;b2)(a3;b3)(a4;b1)(a4;b2)(a4;b3)A=fa1;a2;a3;a4g,B=fb1;b2;b3g,Card(AB) =43=12DénombrementOpération sur les ensembles9 / 23

Dénombrement et opérations sur les ensembles

Passage au complémentaire

Card A

=Card(

)Card(A)DénombrementOpération sur les ensembles10 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples :

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples : Voici les 4! =24 permutations de quatre éléments distincta,b,cetd: abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cdba cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

De combien de façons pouvez-vous ranger 10 livres sur une étagère?DénombrementArrangement11 / 23