[PDF] DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES Yvan Monka – Académie de





Previous PDF Next PDF



MATRICES

1 sur 9. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. MATRICES Propriétés : Soit A B et C trois matrices carrées de même taille.



TRANSLATION ET VECTEURS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. TRANSLATION ET VECTEURS Soit t la translation qui envoie A sur A' B sur B' et C sur C'.



Formulaire dalgèbre Quotients et fractions Le dénominateur dun

Le dénominateur d'un quotient ne doit pas être nul. Sous cette condition a



Cardinalité des ensembles finis

Ensembles équipotents. Soient E = {ab



DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka ...





SECOND DEGRE (Partie 2)

= = = ×. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr b) Calculons le discriminant de l'équation 2x2 ? 3x +. 9. 8. = 0 : a = 2 b = 



CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE

Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une solution x de ax ? b. (mod n)



PGCD ET NOMBRES PREMIERS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PGCD ET NOMBRES PREMIERS c) Si b divise a alors PGCD(a ; b) = b. Démonstration de c :.



Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les règles de calcul…

Règle 3 : simplifier des fractions. Attention à la position du « = » : a c ac a b b.



Basics of Probability - University of Arizona

Exercise 1 Show that the inclusion-exclusion rule follows from the axioms Hint: A[B= (ABc)[B and A= (AB) [(ABc) Deal two cards A= face on the second cardg B= face on the rst cardg P(A[B) = P(A) + P(B) P(AB) Pfat least one aceg= 1 13 + 1 13? To complete this computation we will need to compute P(AB) = Pfboth cards are acesg 3



AP Calculus AB and AP Calculus BC Sample Questions

(A) (B) and (C) and (D) and Learning Objectives Essential Knowledge Mathematical Practices for AP Calculus LO 2 2B: Recognize the connection between differentiability and continuity EK 2 2B1: A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain MPAC 4: Connecting multiple representations MPAC 2



Common Core State Standards for Mathematics

a b c x y Mathematical understanding and procedural skill are equally important and both are assessable using mathematical tasks of sufficient richness The Standards set grade-specific standards but do not define the intervention methods or materials necessary to support students who are well below or well above grade-level expectations



Discrete Mathematics Problems - UNF

A?(B ?A) = ? 37 [2] (A?B)?(A?B) = A 38 [2] (A?B)?C ? A?C 39 [2] (A?C)?(C ?B) = ? 40 Argue that the symmetric di?erence operator does or does not always satisfy the associative property List the elements in the following sets Assume the universe is Z+: 41 {xx < 8} 42 {xx = 6?x ? 4} 43



Basic Algebra Rules - University of California San Diego

1 Fractions Let abc and d be numbers (a) You can break up a fraction from a sum in the numerator but not in the denom-inator: a+b c = a c + b c but a b+c 6= a b + a c (b) Cancellation of the c here requires that it appears in each additive term of the numerator and denominator: ca+cb cd = c(a+b) cd = a+b d but ca+b cd 6= a+b d



Searches related to a/b/c math PDF

understands the mathematics and may have a better chance to s?d at a less familiar task such as expanding (a + b + c)(x + y) Mathematical understanding and procedural skill are equally important and both are assessable using mathematical tasks of sufficient richness The Standards set grade-specific standards but do not define the

What is the AP Calculus AB & AP Calculus BC curriculum framework?

AP Calculus AB and AP Calculus BC Curriculum Framework, published in fall 2014. The AP Calculus AB and AP Calculus BC Course and Exam Description , which is out now, includes that curriculum framework, along with a new, unique set of exam questions.

What is 2.1c2 AP Calculus AB/BC?

2.1C2: Specific rules can be used to calculate derivatives for classes of functions, including polynomial, rational, power, exponential, logarithmic, trigonometric, and inverse trigonometric. Te Collee oar 1 Sample uestions AP Calculus AB/BC Exam Return to Table of Contents 2. is (A) 1 (B) 3 (C) 9 (D) nonexistent

How is temperature modeled in AB/BC?

13 Sample uestions A Calculus AB/BC Exam Return to Table of Contents 13. The temperature of a room, in degrees Fahrenheit, is modeled by , a differentiable function of the number of minutes after the thermostat is adjusted.

What is AP Calculus Lo 1 A(B)?

Mathematical Practices for AP Calculus LO 1 .1A(b): Interpret limits expressed symbolically. EK 1.1A2: The concept of a limit can be extended to include one-sided limits, limits at infinity, and infinite limits. MPAC 1: Reasoning with definitions and theorems MPAC 2 Connecting concepts MPAC 3: Implementing algebraic/computational processes MPAC

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES I. Divisibilité dans

Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit également : - a est un diviseur de b, - b est divisible par a, - b est un multiple de a. Exemples : • 56 est un multiple de -8 car 56 = -7 x (-8) • L'ensemble des multiples de 5 sont {... ; -15 ; -10 ; -5 ; 0 ; 5 ; 10 ; ...}. On note cet ensemble

5!

. • 0 est divisible par tout entier relatif. Propriété (transitivité) : Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise b et b divise c alors a divise c. Démonstration : Si a divise b et b divise c alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = ka et c = k'b. Donc il existe un entier relatif l = kk' tel que c = la. Donc a divise c. Exemple : • 3 divise 12 et 12 divise 36 donc 3 divise 36. • On peut appliquer également la contraposée de la propriété de transitivité : Comme 2 ne divise pas 1001, aucun nombre pair ne divise 1001. En effet, si par exemple 10 divisait 1001 alors 2 diviserait 1001. Propriété (combinaisons linéaires) : Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si c divise a et b alors c divise ma + nb où m et n sont deux entiers relatifs. Démonstration : Si c divise a et b alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = kc et b = k'c. Donc il existe un entier relatif l = mk + nk' tel que ma + nb = lc. Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1. Alors N divise n + 1 - n = 1. Donc N = -1 ou N = 1.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2II. Division euclidienne Propriété : Soit a un entier naturel et b entier naturel non nul. Il existe un unique couple d'entiers (q ; r) tel que a = bq + r avec

. Définitions : - q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b, - r est appelé le reste. Exemple : Dans la division euclidienne de 412 par 15, on a : 412 = 15 x 27 + 7 Démonstration : Existence : 1er cas :

: Le couple (q ; r) = (0 ; a) convient. 2e cas :

: Soit E l'ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a. Alors E est non vide car l'entier

2b×a

appartient à E. En effet b≥1 donc

2b×a≥2a>a

. E possède donc un plus petit élément c'est à dire un multiple de b strictement supérieur à a tel que le multiple précédent soit inférieur ou égal à a. Il existe donc un entier q tel que

. Comme, on a . Et comme b > 0, on a 0. Le seul multiple de b compris entre -b et b est 0, donc r' - r = 0 et donc r' = r. D'où q = q'. Propriété : On peut étendre la propriété précédente au cas où a est un entier relatif. - Admis -

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 Méthode : Déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne Vidéo https://youtu.be/bwS45UeOZrg Déterminer le quotient et le reste de la division de -5000 par 17. A l'aide de la calculatrice, on obtient : Ainsi : 5000 = 17 x 294 + 2 Donc : -5000 = 17 x (-294) - 2 Le reste est un entier positif inférieur à 17. Donc : -5000 = 17 x (-294) - 17 - 2 + 17 Soit : -5000 = 17 x (-295) + 15 D'où, le quotient est -295 et le reste est 15. III. Congruences dans

Exemple : On considère la suite de nombres : 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36. Si on prend deux quelconques de ces nombres, alors leur différence est divisible par 5. Par exemple : 21 - 6 = 15 qui est divisible par 5. On dit que 21 et 6 sont congrus modulo 5. Définition : Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont congrus modulo n lorsque a - b est divisible par n. On note

a≡bn

. Propriété : Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont congrus modulo n, si et seulement si, la division euclidienne de a par n a le même reste que la division euclidienne de b par n. Démonstration : - Si r = r' : a - b = nq + r - nq' - r' = n(q - q') donc a - b est divisible par n et donc

a≡bn

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 - Si a et b sont congrus modulo n : a - b = nq + r - nq' - r' = n(q - q') + r - r' Donc r - r' = a - b - n(q - q') Comme

a≡bn , a - b est divisible par n et donc r - r' est divisible par n. Par ailleurs, et Donc et

Et donc

. r - r' est un multiple de n compris entre -n et n donc r - r' = 0, soit r = r'. Exemple : On a vu que

21≡65

. Les égalités euclidiennes 21 = 4 x 5 + 1 et 6 = 1 x 5 + 1 montrent que le reste de la division de 21 par 5 est égal au reste de la division de 6 par 5. Propriétés : Soit n un entier naturel non nul. a)

a≡an pour tout entier relatif a. b) Si a≡bn et b≡cn alors a≡cn (Relation de transitivité) Démonstration : a) a - a = 0 est divisible par n. b) a≡bn et b≡cn

donc n divise a - b et b - c donc n divise a - b + b - c = a - c . Propriété (Opérations) : Soit n un entier naturel non nul. Soit a, b, a' et b' des nombres relatifs tels que

a≡bn et a'≡b'n alors on a : - a+a'≡b+b'n a-a'≡b-b'n a×a'≡b×b'n a p ≡b p n avec p∈!

Démonstration de la dernière relation : • Initialisation : La démonstration est triviale pour p = 0 ou p = 1 • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :

a k ≡b k n - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : a k+1 ≡b k+1 n a k+1 ≡a×a k ≡b×b k ≡b k+1 n

• Conclusion : La propriété est vraie pour p = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel p.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Exemples : On a

7≡43

et

11≡203

donc : -

7+11≡4+20≡243

et on a alors

7+11≡03

7×11≡4×20≡803

et on a alors

7×11≡23

. Démontrer une congruence : Vidéo https://youtu.be/wdFNCnSfIgE Méthode : Déterminer le reste d'une division euclidienne à l'aide de congruences Vidéo https://youtu.be/uVS-oeibDJ4 a) Déterminer le reste de la division de 2456 par 5. b) Déterminer le reste de la division de 2437 par 7. a) Toute puissance de 1 est égale à 1. On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 5. On choisit alors de décomposer 456 à l'aide du facteur 4 car

2 4 ≡16≡15 2 456
≡2

4×114

5 ≡2 4 114
5 ≡1 114
5 , on applique la formule de congruences des puissances. ≡15

Le reste est égal à 1. b) On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 7. On choisit alors de décomposer 437 à l'aide du facteur 3 car

2 3 ≡8≡17 2 437
≡2

3×145+2

7 ≡2 3 145
×2 2 7 ≡1 145

×47

≡47

Le reste est égal à 4. Méthode : Résoudre une équation avec des congruences Vidéo https://youtu.be/Hb39SqG6nbg Vidéo https://youtu.be/aTn05hp_b7I a) Déterminer les entiers x tels que

6+x≡53

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr6b) Déterminer les entiers x tels que

3x≡54

a)

6+x≡53

6+x-6≡5-63

x≡-13 x≡23 Les entiers x solutions sont tous les entiers de la forme 2 + 3k avec k∈! b)

3x≡54

donc

3x≡14

Or x est nécessairement congru à l'un des entiers 0, 1, 2 ou 3 modulo 4. Par disjonction des cas, on a : x modulo 4 0 1 2 3 3x modulo 4 0 3 2 1 On en déduit que

x≡34 . Les entiers x solutions sont tous les entiers de la forme 3 + 4k avec k∈!

Appliquer un codage (Cryptographie) : Vidéo https://youtu.be/GC7lFz4WGsc Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
[PDF] a/b + c/d = a+c/b+d

[PDF] (a/b)/c

[PDF] combien y a-t-il de semaines dans une année

[PDF] nombre semaine année 2017

[PDF] combien il y a de semaine dans l'année

[PDF] 1 décennie

[PDF] la loi de finance 2017 maroc pdf

[PDF] loi de finance 2017 maroc bulletin officiel

[PDF] loi de finance 2017 maroc résumé

[PDF] loi de finances 2016 maroc pdf

[PDF] projet de loi de finance 2017 maroc pdf

[PDF] budget citoyen 2017 maroc pdf

[PDF] loi de finance maroc 2017

[PDF] loi de finance 2017 maroc nouveautés

[PDF] gravida para avorta définition