Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation
f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn n ? N?. R f (x) = nxn?1. R f(x) = 1 x. R. ? f (x) = ? Dérivée de la racine.
CONVEXITÉ
La fonction racine carrée x ! x est concave sur 0;+????? . - Admis -. Notation : La dérivée d'une fonction dérivée f ' se note f ''.
I. Sens de variation dune fonction ; extréma
x ? x. La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante. f '(x) = 1. 2 x.
FONCTIONS DE REFERENCE
f (x) = x . Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle 0;+????? . Démonstration : Soit a et b deux nombres réels
SECOND DEGRE (Partie 2)
L'équation f(x)=0 a deux solutions donc la courbe de f traverse l'axe des abscisses en deux points. Page 4. 4. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
On appelle racine du trinôme f tout réel qui annule f. Exemple : 1 est une racine Signe : ax2 +bx+c est toujours du signe de a et s'annule pour x = x1.
DÉRIVATION (Partie 2)
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.
Domaine et racines dune fonction
x x dom f. -. = ?. + ?. +. +. ?. = Remarque : cette condition engendre l'exclusion de certaines valeurs de x. 2ème cas : la fonction contient une racine
COMMENT ETUDIER LE SIGNE DUNE EXPRESSION
Pour tout nombre réel x x²est positif
3 Méthodes de résolution de léquation f(x)=0
Si la fonction a est continue et que la suite (xn) définie ci-dessus converge
Approximation des racines carrées : un peu d’histoire
La méthode est utilisée pour trouver les racines de l’équation f(x) = 0 où f est une fonction différentiable Pour bien fonctionner la première approximation choisie doit être proche de la racine cherchée et la dérivée de f ne doit pas s’annuler aux approximations successives de la racine
Exercices 4 Fiche 4 : Inéquations avec une racine carrée
x x x x x t t t t d 5 0 5 et 4 2 0 2 4 2 le domaine d’existence des solutions est D E Il n’y a pas de solution: S Exercices 4 3 : Résoudre les inéquations suivantes : a) 1 23 x ! Domaine d’existence des solutions: il faut que 11 2 0 2 xx t t et il faut que 1 x existe donc xz0 x f 0 1 2 f 0 1 x 2 0
Comment calculer la racine double d’une équation caractéristique?
!!sont la racine double de l’équation caractéristique ? < 0 =x(t) = (!cos!(!") + !!sin!(!")) !!" où ! !!+!"et sont les racines complexes de l’ équation caractéristique
Comment résoudre graphiquement f(x)=0 ?
Pour résoudre graphiquement f(x)=0 il suffit de regarder la ou ta courbe coupe l'axe des abscisses. La ou elle coupe, tu as trouvé une valeur de x qui résoud l'équation! La ou elle coupe, tu as trouvé une valeur de x qui résoud l'équation!
Qu'est-ce que la valeur approchée à l'écran d'une Casio FX-92+ ?
Le résultat qui s'affiche à l'écran est une valeur approchée de la racine carrée de départ. extrait une valeur approchée de la racine carrée. La valeur de la racine affichée à l'écran est incomplète car la partie décimale est en réalité infinie ! La Casio fx-92+ affiche donc une valeur approchée sous la forme d'un nombre décimal.
Past day
1 DÉRIVATION - Chapitre 2/3
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQPartie 1 : Dérivées des fonctions usuelles
1) Exemple :
Démonstration au programme : Dérivée de la fonction carréVidéo https://youtu.be/-nRmE8yFSSg
Soit la fonction définie sur ℝ par Démontrons que pour tout réel, on : ′ =2. Calculons le nombre dérivé de la fonction en (nombre réel quelconque).Pour ℎ≠0 :
= 2+ℎOr : lim
= lim2+ℎ = 2
Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à 2.
On a donc défini sur ℝ une fonction, notée ′ dont l'expression est ′
=2. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de . Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. Démonstration au programme : Dérivée de la fonction inverseVidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk
Soit la fonction définie sur ℝ\{0} par Démontrons que pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2Pour ℎ≠0 et ℎ≠- :
Or : lim
= lim 5- 1 6 = - Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à - Ainsi, pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2 2Définitions :
On dit que la fonction est dérivable sur un intervalle ,si elle est dérivable en tout réel
de .Dans ce cas, la fonction qui à tout réel de associe le nombre dérivé de en est appelée
fonction dérivée de et se note ′.2) Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction Dérivée
=0 =2 ≥1 entier ≥1 entier +1Méthode : Dériver les fonctions usuelles
Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA
Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; =-5 ; ℎCorrection
=100→ =0 =-5→′ =-5 =4 5 63) Cas de la fonction racine carrée
On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est définie sur l'intervalle
0;+∞
mais dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[. 3 Démonstration au programme : Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0Vidéo https://youtu.be/N5wnOoLDrjo
Soit la fonction définie sur
0;+∞
par On calcule le taux d'accroissement de en 0 :Pour ℎ>0 :
5$% 5 5$%' 5Or : lim
0+ℎ
0 = lim 1En effet, lorsque ℎ tend vers 0,
prend des valeurs de plus en plus grandes.Donc n'est pas dérivable en 0.
Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0. Partie 2 : Opérations sur les fonctions dérivées1) Opérations sur les fonctions dérivées :
et sont deux fonctions dérivables.Démonstration au programme pour le produit :
Vidéo https://youtu.be/PI4A8TLGnxE
Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On veut démontrer que pour tout de , on a : limFonction Dérivée
1 4 0 1 En passant à la limite lorsque ℎ tend vers 0, on a : lim = ′() et lim Car et sont dérivables sur .Et,lim
Soit, lim
Ainsi :
Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctionsVidéo https://youtu.be/ehHoLK98Ht0
Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk
Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw
Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM
Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y
Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de : a) =3 +4 b) =5 -3 c)3
+45-1
d) 12
2 +5 e)6-5
2 -2-1Correction
a) avec =3 =3×2=6 =4 =4Donc : ′
= 6 + b) avec =5 ()=5×3 =15 =-3 ()=-3×2=-6Donc :
()=15 +(-6)=15 -6 c) avec =3 +4 → ()=6+4 =5-1 →′ =5Donc : ′
6+4
5-1
3
+4 ×5 =30 -6+20-4+15 +20 5 =45 +34-4d) 1 avec =2 +5 → ()=4+5
Donc : ′
0 e) avec =6-5 → ()=6 -2-1 → =2-2Donc : ′
0 0 $.(/$.5/'.5 1 $.5/'.?2) Dérivée d'une fonction composée
Fonction Dérivée
Méthode : Dériver une fonction composée (+)Vidéo https://youtu.be/aFkPQkg0p-A
Calculer les fonctions dérivées des fonctions et ℎ définies par :7+1
5-4
Correction
1)
7+1
=7×37+1
=217+1
En effet, la dérivée de la fonction cube est =32) ℎ
5-4
=5× En effet, la dérivée de la fonction racine carrée est P Qquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] x-ln(x^2+1) algorithme
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[PDF] f(x)=1/x
[PDF] f x )= x 2 1
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[PDF] f(x)=2
[PDF] f(x)=x+1
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[PDF] f(x)=3
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