[PDF] Aplicaciones de primer orden Ejemplo 3.5.1 En

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CAPÍTULO

3

Aplicaciones de primer orden

3.5 Mezclas

Si disolvemos500g de azúcar en20 `de agua, obtenemos una solución dulce con una concentración

CD500

20g/`D25g/`de azúcar (se lee25gramos por litro y significa25gramos de azúcar por cada litro

de solución). Cuando disolvemos10lb de sal en50gal de agua, obtenemos una solución salina o salmuera con una concentraciónCD10

50lb/galD0:2lb/gal de sal (léase0:2libras por galón).

En general, si disolvemosQkg (o cualquier unidad de masa) de un soluto enV `(o alguna otra unidad de volumen) de un solvente, obtenemos una solución con una concentraciónCDQ

Vkg/`del soluto (leído

Ckilogramos por litro y entendido comoCkilogramos de soluto por cada litro de solución). Esto es

CD25g/`

500g
en 20 `

CD0:2lb/gal

10lb en 50gal

CDQVkg/`

Qkg en V ` Ahora supongamos que inicialmente (entD0) tenemos en un tanque una cantidadV0de solución donde hay disuelta una cantidadQ0de un soluto. Supongamos también que, a partir detD0, se deja entrar

otra solución al tanque con una rapidezRe(flujo de entrada) y con una concentraciónCe(concentración de

entrada) del mismo soluto y que, al mismo tiempo, se deja salir del tanque la nueva solución (considerada

uniforme por mezclado) con una rapidezRs(flujo de salida) y una concentraciónCs(concentración de sali-

1.canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

2Ecuaciones diferenciales ordinarias

da) del mismo soluto.

Observamos lo siguiente:

1.SiReDRs, entonces la cantidadV0de solución se mantiene constante al paso del tiempot.

siRe> Rs, entoncesV.t/ > V0(además es creciente); mientras que, siRe< Rs, entoncesV.t/ < V0 (además es decreciente).

3.En general, la cantidadQde soluto en el tanque será función del tiempot; es decir,QDQ.t/.

4.Igualmente, la concentraciónCdel soluto en el tanque será función del tiempot; y variará según que

R

C.t/DQ.t/

V0o bienC.t/DQ.t/V.t/:

5.Un problema que es de interés en esta clase de procesos consiste en determinar la cantidadQ.t/de

soluto en el tanque en cualquier instantet?0. Para resolver este problema procedemos como sigue:

Consideremos primero la rapidez con que cambia la cantidad de solutoQ.t/en el tanque, la cual está dada

por la rapidez con que entra el soluto menos la rapidez con la que sale. Esto es, d dtQ.t/D?rapidez con que entra el soluto???rapidez con que sale el soluto?:

Si tomamos en cuenta que

la rapidez con que entra el soluto esReCe; la rapidez con que sale el soluto esRsCsDRsC.t/.

El modelo de este proceso queda como el PVI:

d dtQ.t/DReCe?RsC.t/;conQ.0/DQ0: El método de solución de este PVI dependerá de las condiciones del problema.

Ejemplo 3.5.1En un tanque que contiene1000 `de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se bombea

salmuera al tanque a razón de20 `/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a la

misma razón. Considerando que la concentración de la solución que entra es de0:01kg/`, determinar:

1.La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instantet?0.

2.La cantidad de sal en el tanque después de30min.

3.La cantidad de sal en el tanque después de mucho tiempo.

4.El tiempo que debe transcurrir para que haya8kg de sal en el tanque.

HSeaQ.t/la cantidad (en kg) de sal en el tanque después detmin. Como inicialmente se tienen5kg de sal, entoncesQ.0/D5. La rapidez de cambio de la cantidadQ.t/de sal en el tanque en el instantetes d dtQ.t/D?rapidez con que entra la sal???rapidez con que sale la sal?:

¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?

3.5 Mezclas3

Ya que la solución entra con una rapidezReD20 `/min y con una concentraciónCeD0:01kg/`, entonces

la rapidez con que entra la sal al tanque es R eCeD.20 `/min/?0:01kg/`?D0:2kg/min:

¿Con qué rapidez sale la sal del tanque?

La rapidez con que sale la solución del tanque esRsD20 `/min. Sin embargo, la concentración de sal a la

salida se debe hallar a partir de estas consideraciones:

?Ya que entra solución a razón de20 `/min y sale solución a la misma razón, es claro que el volumen

Vde solución en el tanque es constante:VDvolumen inicialD1000 `.

?Después detminutos hayQ.t/kg de sal disueltos en1000 `de solución, por lo que la concentración

de sal en la solución que sale es C sDQ.t/

VDQ.t/1000kg/`:

Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque es R sCsD.20 `/min/?Q.t/

1000kg/`?

DQ.t/50kg/min:

Por lo tanto, la rapidez de cambio de la cantidadQ.t/de sal en el tanque, después detminutos es d dtQ.t/DReCe?RsCsD0:2?Q.t/50)Q0.t/CQ.t/50D0:2 : La cantidad de sal en el tanqueQ.t/está dada por la solución del PVI: Q

0.t/C1

50Q.t/D0:2;conQ.0/D5:

1.Resolvemos la ecuación diferencial:

Q

0.t/C1

50Q.t/D0:2I

la cual es una ED lineal no homogénea y tiene por factor integrante ae1

50t, por lo que

e t 50?
Q

0.t/C150Q.t/?

D0:2et

50)ddt?

et

50Q.t/?

D0:2et50)

)et

50Q.t/D0:2?

et50dtD.0:2/.50/et50CC) )Q.t/De?t 50?

10et50CC?

)Q.t/D10CCe?t50:

Ahora bien, considerando la condición inicial,

Q.0/D5)Q.0/D10CCe0D5)10CCD5)CD ?5;

encontramos que

Q.t/D10?5e?t

50
es la cantidad de sal (en kg) que hay en el tanque después detminutos.

2.La cantidad de sal que hay después de30min:

Q.30/D10?5e?30

50D10?5e?0:6?7:25594182)Q.30/?7:256kg.

4Ecuaciones diferenciales ordinarias

3.La cantidad de sal que hay después de mucho tiempo la podemos denotar y calcular como sigue:

Q límDlímt!1Q.t/Dlímt!1?

10?5e?t

50?

Dlímt!1?

10?5 et50?

D10)QlímD10kg.

4.¿Qué tiempo debe transcurrir para que haya8kg de sal en el tanque?

Q.t/D8)10?5e?t

50D8)e?t50D8?10?5D?2?5D0:4)

t

50Dln.0:4/)tD ?50ln.0:4/?45:81453659min.

Es decir,t?45minutos,49segundos.

Ejemplo 3.5.2

Un tanque que tiene capacidad para2000 `, contiene inicialmente1000 `de agua con8kg de sal

disuelta. Se bombea salmuera al tanque a razón de20 `/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia

afuera a razón de15 `/min. Considerando que la concentración de la solución que entra es de0:01kg/`, determinar:

1.La cantidad de sal que hay en el tanque después detminutos.

2.La cantidad de sal que hay en el tanque después de1h.

3.La concentración de sal en el tanque cuando éste se llena.

HSeaQ.t/la cantidad (en kg) de sal en el tanque después detminutos. Como inicialmente se tienen8kg de sal, entoncesQ.0/D8. La rapidez de cambio de la cantidadQ.t/de sal en el tanque en el instantetes d dtQ.t/D?rapidez con que entra la sal???rapidez con que sale la sal?:

¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?

Ya que la soluciónentra con una rapidezReD20 `/min y con una concentraciónCeD0:01kg/`, entonces

la rapidez con que entra la sal al tanque es R eCeD.20 `/min/?0:01kg/`?D0:2kg/min: La rapidez con que sale la solución del tanque esRsD15 `/min.

Pero ¿con qué concentración de sal?

Ya que entra solución a razón de20 `/min y sale solución a razón de15 `/min, entonces quedan en el

tanque5`de solución en cada minuto que transcurre. Después detminutos habrán quedado almacenados

en el tanque5t `de solución, los cuales se sumarán a los1000 `de solución iniciales. Es decir, después de

tminutos habrá en el tanque.1000C5t/ `de solución en los que estarán disueltosQ.t/kg de sal, por lo

cual la concentración de sal en la solución que sale es C sDQ.t/

1000C5tkg/`:

Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque es R sCsD.15 `/min/?Q.t/

1000C5tkg/`?

D15Q.t/1000C5tkg/min:

Por lo tanto, la rapidez de cambio de la cantidadQ.t/de sal en el tanque, después detminutos es d dtQ.t/DReCe?RsCsD0:2?15Q.t/1000C5t;

3.5 Mezclas5

o sea, Q

0.t/C15

1000C5tQ.t/D0:2:

Luego, la cantidadQ.t/está dada por la solución del PVI: Q

0.t/C3

200CtQ.t/D0:2;conQ.0/D8:

1.Resolvemos la ecuación diferencial:

Q

0.t/C3

200CtQ.t/D0:2;

la cual es una ED lineal no homogénea y tiene por factor integrante lo siguiente: e R 3 por lo que: .200Ct/3? Q

0.t/C3

200CtQ.t/?

).200Ct/3Q.t/D0:2? .200Ct/3dtD0:2.200Ct/4 4CC) )Q.t/D0:05.200Ct/4CC .200Ct/3D0:05.200Ct/CC.200Ct/3:

Ahora bien, considerando la condición inicial,

Q.0/D8)Q.0/D0:05.200/CC

.200/3D8)10CC.200/3D8) )CD.8?10/.200/3)CD ?2.200/3I por lo que,

Q.t/D0:05.200Ct/?2.200/3

.200Ct/3)Q.t/D0:05.200Ct/?2?200200Ct? 3 es la cantidad (en kg) de sal que hay en el tanque después detminutos.

2.La cantidad de sal que hay en el tanque después de una hora (60min) es

Q.60/D0:05.200C60/?2?200

200C60?

3

D0:05.260/?2?200260?

3 )Q.60/D13?0:91D12:09)Q.60/D12:09kg.

3.¿Cuál es la concentración de sal en el tanque cuando éste se llena?

Primero veamos que el tanque se llena cuando el volumen variableV.t/D1000C5tse iguala con la capacidad del tanque de2000 `. Esto sucede cuando

V.t/D2000)1000C5tD2000)5tD1000)tD200:

Es decir, el tanque se llena cuando han transcurridotD200min. La cantidad de sal que hay en el tanque en dicho instante es

Q.200/D0:05.200C200/?2?200

200C200?

3

D0:05.400/?2?200400?

3

D20?2?18?

D19:75)

)Q.200/D19:75kg.

6Ecuaciones diferenciales ordinarias

Por lo tanto, la concentración de sal en el tanque en este instante es

C.200/DQ.200/

Ejemplo 3.5.3

En un tanque que contiene500gal de agua, inicialmente se disuelven10lb de sal. Luego se bombea

salmuera al tanque a razón de4gal/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a

razón de5gal/min. Considerando que la solución que entra tiene sal con una concentración de0:1lb/gal, determinar:

1.La cantidad de sal que hay en el tanque después detminutos.

2.La cantidad de sal en el tanque después de media hora.

3.La concentración de sal en el tanque cuando quedan100gal de solución.

HSeaQ.t/la cantidad (en lb) de sal en el tanque después detminutos. Como inicialmente se tienen10lb de sal, entoncesQ.0/D10. La rapidez de cambio de la cantidadQ.t/de sal en el tanque en el instantetes d dtQ.t/D?rapidez con que entra la sal???rapidez con que sale la sal?:

¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?

Yaque lasoluciónentra conuna rapidezReD4gal/min ycon una concentraciónCeD0:1lb/gal, entonces la rapidez con que entra la sal al tanque es R eCeD?4gal/min??0:1lb/gal?D0:4lb/min:

¿Con qué rapidez sale la sal del tanque?

La rapidez con que la solución sale del tanque esRsD5gal/min. Pero ¿con qué concentración de sal?

Ya que la salmuera entra a razón de4gal/min y la solución mezclada sale a razón de5gal/min, entonces

el tanque pierde1gal de solución en cada minuto que transcurre. Después detminutos se habrán per-

didotgalones de solución de los500gal iniciales. Es decir, después detminutos quedarán en el tanque

.500?t/gal de solución, en los que estarán disueltasQ.t/lb de sal, por lo que la concentración de sal en la

solución que sale será C sDQ.t/

500?tlb/gal:

Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque es R sCsD?5gal/min??Q.t/

500?tlb/gal?

D5Q.t/500?tlb/min:

Por lo tanto, la rapidez de cambio de la cantidadQ.t/de sal en el tanque, después detminutos es d dtQ.t/DReCe?RsCsD0:4?5Q.t/500?tI o sea, Q

0.t/C5

500?tQ.t/D0:4:

Luego, la cantidadQ.t/está dada por la solución del PVI: Q

0.t/C5

500?tQ.t/D0:4;conQ.0/D10:

3.5 Mezclas7

1.Resolvemos la ecuación diferencial:

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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