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Pierron Théo

ENS Ker Lann

2

Table des matièresI Algèbre1

1 Ensembles3

1.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Opérations sur les parties d"un ensemble . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Applications7

2.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Fonction et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Restriction et prolongement d"applications . . . . . . .8

2.1.3 Composition d"applications . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4 Image directe et réciproque de parties par une application 9

2.2 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . .. . 10

2.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Étude des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Le principe de récurrence13

3.1 Axiomes de Péano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Ensembles finis17

4.1 Notion d"ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 Résultats essentiels sur les ensembles finis . . . . . . . 18

4.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Arithmétique dansZ21

5.1 Structure additive deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 PGCD et PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . 22

i iiTABLE DES MATIÈRES

5.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2.3 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Le corps des réels29

6.1 Relation d"ordre surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.2 Bornes supérieure et inférieure d"une partie deR. . . 30

6.2 Théorème de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2.2 Partie entière d"un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2.3 Notion d"intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.3 Droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 Les complexes35

7.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 Rappels sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.2.1 Opérations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.2.3 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.3 Forme trigonométrique d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3.1 Écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3.2 Calcul numérique d"un argument . . . . . . . . . . . . 38

7.4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.4.3 Étude de formes trigonométriques . . . . . . . . . . . . 40

7.5 Racinesn-ièmes d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.5.1 Définition et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.5.2 Extraction des racines carrées d"un complexe sous forme

algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.5.3 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Géométrie plane45

8.1 Repérage d"un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.1.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.1.3 Repérage polaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2 Identification dePdansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

TABLE DES MATIÈRESiii

8.2.2 Représentation analytique complexe d"applicationsde

PdansP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.3 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8.3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8.3.2 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.3.3 Un exercice corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8.4 Étude des droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.4.1 Description d"une droite dans un repère quelconque . .53

8.4.2 Étude quand le repère d"étude est orthonormé direct . 55

8.4.3 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 57

8.4.4 Angles de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.5 Étude des cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.5.1 Repérage cartésien d"un cercle . . . . . . . . . . . . . . 58

8.5.2 Autres paramétrages d"un cercle . . . . . . . . . . . . . 61

8.5.3 Intersection droite-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9 Coniques65

9.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.3 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.3.1 Paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.3.2 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.4 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10 Courbes du second degré75

10.1 Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.1.1 Effet d"une translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.1.2 Effet d"une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.2 Étude deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11 Géométrie dans l"espace usuel 79

11.1 Repérage dansE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.1.2 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.2 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.2.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.2.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

11.3 Plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.3.1 Représentation dans un repère quelconque . . . . . . . 83

11.3.2 Dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . 84

ivTABLE DES MATIÈRES

11.4 Droites de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.4.1 Dans un repère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.4.2 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 87

11.4.3 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . 88

11.5 Étude des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12 Groupes, anneaux, corps93

12.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12.1.2 Propriétés des lois de composition internes . . . . . . .93

12.1.3 Élements remarquables d"un ensemble . . . . . . . . . 94

12.1.4 Propriétés des lois associatives . . . . . . . . . . . . . . 95

12.1.5 Notations multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12.1.6 Notations additives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12.2 Groupes et morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 96

12.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12.4 Structure d"anneau et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.4.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.4.2 Règles de calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . 100

13 Résolution de systèmes linéaires 103

13.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13.2 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.2.1 Opération de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.2.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

13.3 Compléments pour limiter les calculs . . . . . . . . . . . . . . 106

13.4 Compatibilité d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . .107

14 Structure d"espace vectoriel 109

14.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

14.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.2.2 Stabilité de la notion de sous-espace vectoriel . . . .. 112

14.2.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 114

14.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14.3.2 Image directe et réciproque de sous-espaces vectoriels . 118

14.3.3 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

14.3.4 Structure deL(E,E?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14.4 Liens entre applications linéaires et sommes directes. . . . . . 120

14.4.1 Construction d"une application linéaire . . . . . . . . .120

TABLE DES MATIÈRESv

14.4.2 Projecteurs d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 121

14.4.3 Symétries d"unK-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 123

15 Familles de vecteurs125

15.1 Décomposition d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.1.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

15.1.3 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

15.2 Bases d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

15.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

15.2.2 Existence de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

15.2.3 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15.2.4 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

15.3 Étude pratique d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . .132

15.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

16 Applications linéaires en dimension finie 137

16.1 Image d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

16.1.1 Deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

16.1.2 Image d"une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

16.1.3 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

16.2 Calcul de dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

16.2.1 Résultats généraux et applications directes . . . . . .. 140

16.2.2 Étude des suites récurrentes linéaires . . . . . . . . . . 140

16.3 Rang d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

16.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

16.3.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

16.3.3 Équations d"hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

16.4 Description analytique d"une application linéaire . .. . . . . . 144

16.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

16.4.2 Usage d"une représentation analytique . . . . . . . . . 145

16.4.3 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . .. 147

17 Sous-espaces vectoriels d"un espace vectoriel de dimension

finie151

17.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

17.1.1 Dimension d"un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . 151

17.1.2 Représentation d"un sous-espace vectoriel . . . . . . .. 152

17.2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 152

17.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

17.2.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

viTABLE DES MATIÈRES

18 Calcul matriciel157

18.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

18.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

18.2.1 Addition et produit par un scalaire . . . . . . . . . . . 158

18.2.2 Multiplication de deux matrices . . . . . . . . . . . . . 158

18.2.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

18.3 Le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

18.3.1 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

18.3.2 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

18.3.3 Résolution d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . 161

18.3.4 Calcul d"un inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

18.4 Interprétation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

18.4.1 Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . 163

18.4.2 Traduction des égalités vectorielles . . . . . . . . . . . 164

18.4.3 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

18.5 Exemple de transformation algèbre/technique . . . . . . .. . 167

18.5.1 Transformation algébrique→technique . . . . . . . . . 167

18.5.2 Transformation d"un problème numérique . . . . . . . . 168

18.5.3 Application à la notion de rang d"une matrice . . . . . 169

19 Déterminant173

19.1 Le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

19.2 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

19.3 Différentes notions de déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 176

19.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

19.3.2 Déterminant d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . 176

19.3.3 Déterminant d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . 177

19.3.4 Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . 177

19.4 Calcul de déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

19.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

19.5.1 Orientation d"unR-espace vectoriel de dimension finie . 179

19.5.2 Calcul d"inverses de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 181

19.5.3 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

20 Espaces euclidiens185

20.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel réel . . . . . . . .. . . 185

20.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

20.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

20.1.3 Norme d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

20.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

20.2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

TABLE DES MATIÈRESvii

20.2.2 Orthogonal d"une partie deE. . . . . . . . . . . . . . 188

20.2.3 Familles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

20.3 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

20.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

20.3.2 Existence de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 190

20.4 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

20.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

20.4.2 Distance d"un vecteur à un sous-espace . . . . . . . . . 193

20.4.3 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 194

21 Groupe orthogonal197

21.1 Automorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

21.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

21.1.2 Caractérisations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . 198

21.1.3 Caractérisation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . 198

21.1.4 Structure deO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

21.2 Étude quand dim(E) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

21.2.1 Étude deO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

21.2.2 Complément surSO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

21.3 Étude quand dim(E) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

21.3.1 Complément surO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

21.3.2 Détermination pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

22 Compléments de géométrie affine 207

22.1 Espaces affines réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

22.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

22.2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

22.2.2 Propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

22.3 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

22.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . 210

22.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

22.3.3 Représentations d"une application affine . . . . . . . . 215

22.3.4 Images de parties du plan par des applications affines .217

23 Compléments de géométrie euclidienne 219

23.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

23.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

23.1.2 Isométries d"un espace affine euclidien . . . . . . . . . 219

23.2 Transformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

23.2.1 Description des isométries planes . . . . . . . . . . . . 220

23.2.2 Rappels sur les similitudes planes . . . . . . . . . . . . 223

viiiTABLE DES MATIÈRES

23.3 Description des isométries directes en dimension 3 . . .. . . . 224

23.3.1 Quelques éléments de Is

+(E) . . . . . . . . . . . . . . . 224

23.3.2 Description de Is

+(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

24 Polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps 229

24.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

24.2 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

24.2.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

24.2.2 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

24.2.3 Écriture des éléments deK[X] . . . . . . . . . . . . . . 232

24.3 Divisibilité et division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

25 Arithmétique des polynômes 235

25.1 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

25.2 Notion de pgcd et ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

25.3 Élements irréductibles deK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

26 Racines d"un polynôme241

26.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

26.2 Recherche des ordres de multiplicité des racines . . . . .. . . 242

26.2.1 Dérivation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

26.3 Ensemble des racines d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . 245

26.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

26.3.2 Complémént sur les fonctions polynômes . . . . . . . . 246

26.4 Factorisation d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

26.4.1 Polynôme scindé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

26.4.2 Existence d"une forme factorisée . . . . . . . . . . . . . 247

26.5 Liens entre coefficients et racines d"un polynôme . . . . . .. . 249

27 Fractions rationnelles251

27.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

27.2 Degré d"une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

27.3 Pôles et racines d"une fraction rationnelle . . . . . . . . .. . . 252

27.4 Fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

28 Décomposition en éléments simples 255

28.1 Mise en place des outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

28.1.1 Partie entière d"une fraction rationnelle . . . . . . . .. 255

28.1.2 Partie polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

28.1.3 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . 257

28.2 En pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

TABLE DES MATIÈRESix

28.2.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

28.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

28.2.3 Cas des pôles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

28.3 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . .. 259

II Analyse263

29 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances 265

29.1 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

29.2 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

29.3 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

29.4 Comparaison asymptotique des fonctions introduites .. . . . . 269

29.5 En combinant toutes les fonctions... . . . . . . . . . . . . . . 270

30 Fonctions trigonométriques 271

30.1 Équation trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

30.1.1 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

30.1.2 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 272

30.1.3 Inéquations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . 273

30.2 Réciproque de certaines restrictions des fonctions trigonomé-

triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

30.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

30.2.2 Étude de arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

30.2.3 Étude de arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

30.2.4 Étude de arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

31 Fonctions hyperboliques281

31.1 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . .281

31.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

31.1.2 Linéarisation, factorisation et sommes . . . . . . . . . .282

31.1.3 Dérivabilité et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

31.2 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . .. 283

31.2.1 Construction de Argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

31.2.2 Construction de Argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

31.2.3 Construction de Argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

32 Suites287

32.1 Vocabulaire sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . .287

32.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

32.1.2 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

xTABLE DES MATIÈRES

32.1.3 Propriétés locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

32.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

32.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

32.2.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

32.3 Stabilité de la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

32.3.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

32.3.2 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

32.4 Comparaison asymptotique de suites . . . . . . . . . . . . . . 293

32.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

32.4.2 Quelques usages courants . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

32.5 Stabilité vis à vis de l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

32.6 Théorème d"existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

32.6.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

32.6.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

32.7 Notion de sous-suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

32.8 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

32.8.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

32.8.2 Limite d"une suite complexe . . . . . . . . . . . . . . . 298

32.9 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

32.9.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

32.9.2 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

32.9.3 Étude asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

32.9.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

33 Fonctions d"une variable réelle - Vocabulaire 305

33.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

33.1.1 Opérations sur les fonctions réelles . . . . . . . . . . . 305

33.1.2 Relation d"ordre sur les fonctions réelles . . . . . . . .306

33.2 Problèmes de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

33.3 Variations d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

33.4 Extrema des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

33.5 Problèmes de quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

34 Limite d"une fonction réelle 311

34.1 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

34.1.1 Limite d"une fonction réelle en un point deR. . . . . 311

34.1.2 Notion de limites partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 312

34.1.3 Limite d"une fonction réelle en±∞. . . . . . . . . . . 312

34.2 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

34.2.1 Notion de voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

34.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

TABLE DES MATIÈRESxi

34.3 Problèmes de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

34.3.1 Image d"une suite par une fonction . . . . . . . . . . . 314

34.3.2 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

34.4 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

34.4.1 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

34.4.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

34.5 Comparaison asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

34.5.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

34.5.2 Équivalents à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

34.6 Propriété vis à vis de l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

34.7 Existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

34.7.1 Résultat général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

34.7.2 Image d"un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

35 Fonctions d"une variable réelle - Régularité 325

35.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

35.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

35.1.2 Propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

35.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

35.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

35.2.2 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

35.2.3 Stabilité algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

35.3 Diverses classes de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

35.3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

35.3.2 Dérivées à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

35.3.3 Propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

36 Fonctions d"une variable réelle - Résultats généraux 333

36.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . .333

36.1.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

36.1.2 Étude d"équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

36.1.3 Études d"inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

36.1.4 Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

36.2 Images d"intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

36.2.1 Résultat général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

36.2.2 Image d"un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

36.3 Liens entre continuité, injectivité et monotonie . . . .. . . . . 336

36.3.1 Régularité de la réciproque d"une bijection . . . . . . .337

36.4 Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

36.4.1 Condition suffisante d"extremum . . . . . . . . . . . . . 338

36.4.2 Étude des extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

xiiTABLE DES MATIÈRES

36.5 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 339

36.5.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

36.5.2 Décompte a priori du nombres de solutions d"une équa-

tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

36.6 Étude de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

36.7 Théorème de prolongementC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

37 Convexité345

37.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

37.2 Propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

37.3 Conditions suffisantes de convexité . . . . . . . . . . . . . . . 347

38 Fonctions complexes d"une variable réelle 349

38.1 Algèbre des fonctions :R→C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

38.2 Limites des fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

38.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

38.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

39 Intégrale au sens de Riemann 353

39.1 Fonctions définies par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

39.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

39.1.2 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

39.1.3 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . 356

39.2 Approximation uniforme d"une fonction . . . . . . . . . . . . .356

39.2.1 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

39.2.2 Application à l"approximation uniforme de fonctions . . 356

39.3 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

39.3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

39.3.2 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

39.3.3 Extension de la notation?

. . . . . . . . . . . . . . . 362

39.4 Calcul numérique d"intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

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