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Fonctions 1/3 FONCTIONS

I) Fonction

Définition : Définir une fonctio sur un intervalle [a ; b], c'est donner un procédé qui, à tout nombre x de l'intervalle [a ; b], associe un et un seul nombre réel noté f(x).

Remarques : f(x) se lit " f de x » et x s'appelle la variable. Notations : On note parfois la fonctio de la façon suivante []f:; f ()ab xx®¡ a où " )(fxxa » se lit " à x, associe f de x ».

Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b]. · L'intervalle [a ; b] s'appelle l'ensemble de définition de la fonction f. · Le réel f(x) s'appelle l'image de x par la fonction f. · Soit y un nombre réel. La (ou les) valeur(s) de la variable x qui ont pour image y par f, c'est-à-dire telles que f(x) = y, s'appelle(nt) le (ou les) antécédents de y par f.

1) Fonction définie par une formule

Exemple : " soit la fonctio définie sur [-4 ; 4] par ()1f2+=xx » signifie que la fonctio va associer à chaque nombre x de l'intervalle [-4 ; 4], le nombre )(fx calculé par la formule ()1f2+=xx. [-4 ; 4] est l'ensemble de définition de la fonction f. a) Calcul d'images

Pour calculer l'image de 3 par f notée f(3), il suffit de remplacer x par 3 dans la formule de f(x). On obtient : f(3) = 10, car

10132=+ ( f(3) = 10 se lit " f de 3 égale 10 »). L'image de 3 par f est 10.

b) Calcul d'antécédents

Pour déterminer les antécédents de 5 par f, c'est-à-dire les valeurs de x telles que f(x) = 5, on pose l'équation f(x) = 5. On

obtient 215x+= ; 240x-= ; (2)(2)0xx+-=, d'où x = .2 ou x = 2. Les antécédents de 5 par f sont .2 et 2.

2) Fonction donnée par sa courbe ou représentation graphique

Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b]. · La représentation graphique Bf ou courbe représentative de f dans un repère est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) où x est dans l'intervalle [a ; b]. · La représentation graphique Bf de f a alors pour équation y = f(x).

Conséquences :

Un nombre x et son image f(x) sont représentés par le point M de coordonnées ( x ; f(x) ). ‚ Les valeurs x se représentent en abscisses. ƒ Les valeurs de f(x) se représentent en ordonnées. " Dire qu'un point M de coordonnées (xM ; yM) appartient à Bf revient à dire que : son abscisse xM est dans [a ; b] et yM = f(xM) ; l'ordonnée de M est égale à l'image de son abscisse par f. Sur l'exemple ci-contre, la fonctio est définie sur l'intervalle [-3 ; 3]. Le point N(-2 ; 1) appartenant à C f , on a : f(-2) = 1. y = f(x) C f f(x) M(x ; f(x)) O 1 1 N(-2 ;1) x antécédents images

Fonctions 2/3

LECTURE D'IMAGE

O 1 1 antécédents images

x f(x) 2 .4 a pour image 2 a pour image C f .4

Pour lire l'image de x :

· on place x sur l'axe des abscisses ;

· on se déplace verticalement pour rencontrer la courbe C f ; · on se déplace horizontalement vers l'axe des ordonnées pour lire l'image f(x). LECTURE D'ANTECEDENTS x

1 x2 x3 y 3

-2

3 a pour antécédent -2 ou

2 est l'antécédent de 3 1

0 Points d'intersection de C f

avec la droite horizontale C f

Pour lire les antécédents de y par f :

· on place y sur l'axe des ordonnées ;

· on trace une horizontale passant par cette valeur ; · à partir des points d'intersection de cette droite avec C f , on se déplace verticalement vers l'axe des abscisses pour lire les antécédents.

3) Fonction donnée par un tableau de valeurs

x -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) -1,4 -1,6 -1,8 -2 -2 -1,8 -1,6 -1,2 0 0,6 1,4 Le tableau donne la correspondance entre un nombre x et son image f(x).

Sur le tableau de notre exemple :

· -0,6 a pour image -1,8 ce qui peut s'écrire f(-0,6) = -1,8 ; · le réel -2 a deux antécédents -0,4 et -0,2. Remarque : en plaçant les 11 points de coordonnées ( x ; f(x) ) dans un repère, on obtient une esquisse de la courbe représentant la fonction f sur l'intervalle [-1 ; 1]. Pour avoir plus de précision, il faudrait disposer de plus de valeurs...

II) Sens de variation ; tableau de variation

1) Fonction croissante

Exemple 1 : f est croissante sur l'intervalle [-2 ; 4] . Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent. x -2 4

Variation de

f -4 5 O 1 1 C f O 4 - 2 C f ( -2 ;-4) (4 ; 5) f(x1) f(x2) f(x1) < f(x2) x1 < x2

Fonctions 3/3 Définition : Dire que f est une fonction croissante sur l'intervalle [a ; b] signifie que pour tous réels x1 et x2 de [a ; b] : si x1 < x2 alors f(x1) < f(x2).

Remarque : Une fonction croissante conserve l'ordre ; en effet l'inégalité ne change pas de sens quand on passe aux images.

2) Fonction décroissante

Exemple 2 : g est décroissante sur l'intervalle [-3 ; 3] . Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) diminuent.

Définition : Dire que f est une fonction décroissante sur l'intervalle [a ; b] signifie que pour tous réels x1 et x2 de [a ; b] : si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2).

Remarque : Une fonction décroissante inverse l'ordre ; en effet l'inégalité change de sens quand on passe aux images.

III) Extremum d'une fonction

Exemple 3 : Sur l'intervalle [-3 ; 4], la fonctio admet un minimum pour x = 1. Ce minimum vaut h(1) = -2.

O 4 -3 C

h 1

2 (1 ;

-2) ( -3 ; 5) (4 ; 2) h est une fonction décroissante sur l'intervalle [-3 ; 1] et croissante sur l'intervalle [1 ; 4]. x -3 1 4

Variation de

h 5 -2 2 Exemple 4 : Sur l'intervalle [-4 ; 3], la fonction k admet un maximum pour x = -1. Ce maximum vaut k(-1) = 4.

O 3 -4 C

k ( -4 ;-1) ( -1 ; 4) (3 ; -5) 4 k est une fonction croissante sur l'intervalle [-4 ; -1] et décroissante sur l'intervalle [-1 ; 3] x -4 -1 3

Variation de

k -1 4 -5

Définitions : · Dire que f(c) est le minimum de f sur l'intervalle [a ; b] signifie que f(c) est la plus petite valeur de la fonction sur l'intervalle [a ;b] : pour tout x de [a ; b], f(x) ? f(c). · Dire que f(d) est le maximum de f sur l'intervalle [a ; b] signifie que f(d) est la plus grande valeur de la fonction sur l'intervalle [a ;b] : pour tout x de [a ; b], f(x) ; f(d). x -3 3

Variation de

g 3 -4

O 3 -3 C

g ( -3 ; 3) (3 ;-4) x1 < x2 g(x1) g(x2) g(x1) > g(x2)quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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