FONCTION EXPONENTIELLE
1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.
Fonctions convexes telles que f(x+1)-f(x)=ln(x) et f(1)=0
Rappel. Soit f une application définie sur un intervalle ouvert I `a valeurs réelles. Si f est convexe
FONCTION DERIVÉE
Ainsi pour tout x de R {0}
Fonction f(x) = 1 x Ensemble de définition Parité Variations
1 x. Ensemble de définition. L'ensemble de définition de la fonction f est. Df = R {0} = R? =] ? ? 0[ ? ]0
Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation
1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée. D f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn n ? N?. R f (x) = nxn?1.
f (x)=a(x?x1 )(x?x2 Quels sont les 2 autres cas ?
On appelle racine d'une fonction f(x) trinôme du second degré tout «x0» tel que f(x0) = 0 f (x)=a(x?x1. )(x?x2. ) si la fonction a 2 racines .
FONCTIONS AFFINES (Partie 2)
1 donc C ? (d). Soit une fonction affine f : x ax + b représentée dans un repère par une droite d. Les coordonnées (x ; y) d'un point M appartenant à d
Trinômes du second degré
On a alors la factorisation f (x) = a(x – x1)². ax² + bx + c est du signe de a. •. Si < 0 l'équation
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sin x. Propriétés : x. 0 ?. 6 ?. 4 ?. 3 ?. 2 ? cosx. 1. 3. 2. 2. 2. 1. 2. 0. -1 sinx. 0. 1.
Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes
Fonction f. Fonction dérivée f '. Intervalles de dérivabilité. P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0. ?. 1. U f (x) = x f ' (x) = 1.
Solutions to HW5 Problem 31 - IUPUI
Find the PDFfX(x) of X Problem 3 2 2 Solution From the CDF we can ?nd the PDF by direct di?erentiation TheCDF and correpondingPDF are 0 x < ?1 FX(x) = (x+ 1)/2 x
What is a transformation of f(x) = 1 x?
A transformation of f(x) = 1 x f ( x) = 1 x is a function g (x) that can be simplified to the form g(x) = a x?h +k g ( x) = a x ? h + k where a controls vertical stretching, shrinking, and flipping, h is a horizontal translation, and k is a vertical translation. Let's look through the effects each type of transformation has.
Is f(x) = 1/x a simple function?
f ( x) = 1/ x looks like it ought to be a simple function, but its graph is a little bit complicated. It's really not as bad as it looks, though! Let's examine it more closely. If you follow the function's behavior from left to right, you can see that it's a decreasing function, a function where f ( x) decreases as x increases.
What is the graph of f(x) = |x|?
The graph of f (x) = |x| is vertically stretched by a factor of 3, shifted left 2 units, shifted down 4 units and reflected over the x-axis. What is the function equation of the resulting graph? The first transformation (vertically stretched by a factor of 3) means we multiply by 3 the original function:
What is the notation f(x)=[x]?
The notation f (x)= [x] represents the greatest integer function, with the integer being less than or equal to x. Since we have to find the nearest integer smaller than the given number, we can say that greatest integer function always rounds down its input to the nearest integer. We have to find the value of [3.6].
Second degré et Problèmes
1)Activité préparatoire :
Rappel fonctions affines
Rappel des identités remarquables
Rappel développer et factoriser......
2) Trinôme du second degré
2.1) Définition :
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie R par une expression de la forme : f(x)=ax2+bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés (a non nul) On parle , aussi, de trinôme du second degré.Exemples et contre-exemples
- f(x) = 2x² -3x +5 - g(x) = 5 + 2x² - h(x) = (2x+1)( -3x +2) - k(x) = x 5+ x2 3- 4 - m(x) = 2x -32,2)Racines d'un trinôme :
On appelle racine d'une fonction f(x) trinôme du second degré tout "x0» tel que f(x0) = 0 f(x)=a(x-x1)(x-x2) si la fonction a 2 racines .Quels sont les 2 autres cas ?
Remarques :
iChercher les racines du trinôme revient à résoudre l'équation f(x) = 0 iNe pas confondre racine avec racine carrée......Exemples :
iQuelles sont les racines du trinôme 2x² -4x + 2 ? iQuelles sont les racines du trinôme x² -5 ? iMontrer que le trinôme -x² +2x +1 a pour racine 1 -3) Forme canonique d'un trinôme
3.1) propriété :
Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur R par f(x)=ax2+bx+c peut s'écrire sous la forme f(x) = a( x-α)² + β où α et β sont deux nombres réels. Cette écriture s'appelle la forme canonique de f . Voir la démonstration avec les élèves : la commencer et ........Faire un exemple avec : 4x² -8x +5
Que remarque t'on pour α et β ??
3.2) Que peut on en conclure pour les variation d'une fonction trinome du second
degré ? Prenons l'exemple précédent et faisons un tableau de variation de cette fonction..Propriété :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par f(x) = a( x- α)² + β avec α et β deux nombres réels. - Si a > 0 , f admet un minimum pour x = α . Ce minimum est égal à β. - Si a < 0 , f admet un maximum pour x = α . Ce maximum est égal à β.Avec α = -b
2aet β = f(α)
3.3) Divers exemples :
4) Equation du second degré :
4.1) Etat des lieux :
Lesquelles sait on résoudre ?Recherche avec élèves...Equations produits...
Equations du type x² = k
Equations utilisant une identité remarquable ...Faire quelques exemples :
3(2x -1) ( x +3) =0x² = -5x² = 20
4x² - 25 = 0 9x² + 12x + 4 = 0
Bien, Mais que des cas particuliers !!!!!!!
Quid pour ax² +bx +c = 0 avec a, b et c quelconques ?? Ressemblance avec recherche des racines d'un trinôme .....4.2) Equations du second degré :
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax² +bx +c = 0 où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.Une solution de cette équation s'appelle une
racine du trinôme .Exemple :
L'équation 3x² -4x +5 = 0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ax² +bx +c , le nombre réel, noté , égal à b² -4ac . Propriété : Soit le discriminant du trinôme ax² +bx +c.Et l'équation ax² +bx +c = 0
- Si < 0 : L'équation n'a pas de solution réelle. - Si = 0 : L'équation a une unique solution : x0.= -b 2a - Si > 0 : L'équation a deux solutions distinctes : 2a Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie surR par f(x) = ax² +bx +c .
- Si = 0 : Pour tout réel x, on a : f(x) = a(x-x0)² - Si > 0 : Pour tout réel x, on a : f(x) = a(x-x1)(x-x2) Remarque : Si < 0, on n'a pas de forme factorisée de f.4.3)Résoudre les équations suivantes :
x² -3x +2 = 02x² + 5x +4 = 02x² -3x -4 = 0 -x² +4x -2= 0
Pb 1 : soit f(x) = x² et g(x) = 2x+2
Tracer ces 2 fonctions, puis lire les coordonnées des points d'intersectionPar le calcul, donner les valeurs exactes.....
Pb 2 : Soit f définie sur l'intervalle [0;20] f(x) = -0,02x²+0,16x +82,18 Cette fonction est un modèle de la population allemande pour l'année 2000 + x a) Quelle est la population en 2007 ? b) en quelle année aura t-on 80,5 millions d'habitants ? Pb 3 : f(x) = 4x²+3x + 3 et g(x) = 5x² +2x +1 A l'aide de la calculatrice , tracer ces 2 fonctions et chercher les points d'intersection Puis par le calcul, trouver les coordonnées des points d'intersection5) Signe d'un trinôme :
Exemple avec élèves : Travail de recherche sur le signe de f(x)= x²-3x +2Les 2 racines vont jouer un rôle ......
Faire un tableau de signe
Recommencer avec -2x² +4x +6
Cas général à démontrer avec élèves suivant la valeur de Δ et signe de aPropriété :
iSi Δ < 0 signe du trinôme = signe de a iSi Δ = 0 signe du trinôme = signe de a, sauf pour x = x0 , le trinôme est nul iSi Δ > 0 signe du trinôme = signe de a à l'extérieur des racinesFaire quelques exemples .......
Application directe :
Résolution d'inéquation du second degré
2x² +3x +1 < 0
x² - 3x -7 > 0 -x² +2x < -3 x - x² > 0quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] f(x)=x^4
[PDF] f(x)=3
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