Dérivation PDF La fonction qui à x associe

f(x)= 5x ? 3x +2 f (x)= 2×5x ? 3

f '(x) = 2ax +b. Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes

NOMBRE DERIVÉ

NOMBRE DERIVÉ. I. Limite en zéro d'une fonction. Exemples : 1) Soit la fonction f définie sur ??;0. ??. ?? U 0;+????? par f (x) = x +1.

Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée. D f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn n ? N?. R f (x) = nxn?1.

DÉRIVATION (Partie 2)

Dans ce cas la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '. 2) Formules de dérivation

Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

Fonction dérivée f '. Intervalles de dérivabilité. P f (x) = k (constante réelle) x f ' (x) = –. 1 x2. ]0; +?[. ]–?; 0[. N f (x) = 1 xn = x–n (n??).

Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul

recherche de la pente de la tangente en chaque point P(x ; f (x)) La dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction ? f ... Déterminer f '(x).

Dérivation

La fonction qui à x associe f '(x) le nombre dérivé de f en x

The First and Second Derivatives - Dartmouth College

ListofDerivativeRules Belowisalistofallthederivativeruleswewentoverinclass • Constant Rule: f(x)=cthenf0(x)=0 • Constant Multiple Rule: g(x)=c·f(x)theng0(x)=c

The First and Second Derivatives - Dartmouth

The ?rst derivative of the functionf(x) which we write asf0(x) or asdf dx is the slope of the tangent line to the function at the pointx To put this in non-graphical terms the ?rst derivative tells us how whether a function is increasing or decreasing and by how much it is increasing or decreasing

Numerical di?erentiation: ?nite di?erences

If we use expansions with more terms higher-order approximations can be derived e g consider f(x+?x) = f(x)+?xf0(x)+?x2 f00(x) 2! +?x3 f000(x) 3! +?x4 f(4)(x) 4! +?x5

What is the first derivative of the function f(x)?

The ?rst derivative of the functionf(x), which we write asf0(x) or asdf dx, is the slope of the tangent line to the function at the pointx. To put this in non-graphical terms, the ?rst derivative tells us how whether a function is increasing or decreasing, and by how much it is increasing or decreasing.

What is the derivative of off(X)?

x= 1, the derivative off(x) is df dx (1) = 9¢12¡12¢1+2 = 9¡12+2 =¡1; sof(x) is a decreasing function atx= 1. The Meaning of the Second Derivative The second derivative of a function is the derivative of the derivative of that function. We write it asf00(x) or asd2f dx2.

What does the derivative of a function represent?

The derivative of a function represents its a rate of change (or the slope at a point on the graph). What is the derivative of zero? The derivative of a constant is equal to zero, hence the derivative of zero is zero. What does the third derivative tell you? The third derivative is the rate at which the second derivative is changing.

What is the best derivative calculator?

Symbolab is the best derivative calculator, solving first derivatives, second derivatives, higher order derivatives, derivative at a point, partial derivatives, implicit derivatives, derivatives using definition, and more. Is velocity the first or second derivative? Velocity is the first derivative of the position function.

Past day
Derivative Calculator
Is there a calculator for derivatives? Symbolab is the best derivative calculator, solving first derivatives, second derivatives, higher order derivatives, derivative at a point, partial derivatives, implicit derivatives, derivatives using definition, and more. lgo algo-sr relsrch richAlgo" data-536="6461006a58808">www.symbolab.com › solver › derivative-calculatorDerivative Calculator - Symbolab www.symbolab.com › solver › derivative-calculator Cached

DérivationA. Nombre dérivé1- Limite finie d'une fonction en 0.Soit f une fonction définie sur D tel que 0 est à l'intérieur de D ou est une borne de D.On dit que f a pour limite le nombre l lorsque x tend vers 0 et on écrit limx0

fx=l si les nombres f(x) peuvent devenir aussi proches de l qu'on le désire pour x suffisamment proche de 0.Exemple : limx0

52x=5 en effet pour que 5 + 2x soit compris entre 5 - e et 5 + e, c'est à dire 5 - e < 5 + 2x < 5 + e, il suffit de choisir x entre - e/2 et e/2.2- Fonction dérivable en un pointSoit f une fonction et a un point de son ensemble de définition.Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que la fonction qui à h associe

fah-fa

h admet une limite finie lorsque h tend vers 0.Cette limite est le nombre dérivé de f en a, on la note f '(a).

f'a=limh0 fah-fa hExemple :

Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 2. Montrons que f est dérivable en 2 et calculons f'(2).

f2h-f2 h=2h2 -2 -2 h=4hh2 h=4 h et limh0

4h=4.

On en déduit que f est dérivable en 2 et que f '(2) = 4.

3- Interprétation graphique du nombre dérivéSoit f une fonction dérivable en a . On appelle C la représentation graphique de f dans un

repère. La courbe C admet une tangente au point d'abscisse a et f '(a) est le coefficient

directeur de cette tangente.Une équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f '(a)(x - a)+ f (a).

Exemple

Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x - 2) + f(2) soit y = 4(x - 2) + 2 soit y = 4x - 6.

La fonction

x4x-6 est une approximation affine de la fonction

xx2 -2 au voisinage de 2.Pour x proche de 2, 4x - 6 et x² - 2 donnent des résultats très

voisins.KB 1 sur 4 B. Fonctions dérivées des fonctions usuellesSoit f une fonction dérivable sur D.

La fonction qui à x associe f '(x), le nombre dérivé de f en x, est appelée fonction dérivée de f

sur D et on la note f '.

Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles.Fonction constanteℝk0

Fonction affineℝax+ba

Carréℝx2 2x

Cubeℝx3 3x2

Puissance de xℝxn (n > 0)n xn-1

Fonction inverseℝ+1

x -1 x2Fonction racine carréeℝ+* x1

2xC. Opérations sur les fonctions dérivables1- Somme et produit par un réelSoient u et v deux fonctions dérivables sur D et k un réel.La fonction dérivée de u + v est (u + v)' = u' + v'.La fonction dérivée de ku est (ku)' = ku'.ExempleCalculer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f (x) = 2x² - 3x + 5.La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de 2x² est 2 x 2x = 4x.

La dérivée de - 3x est - 3.

La dérivée de 5 est 0.On en déduit que la dérivée de f est f '(x) = 4x - 3.

2- Produit et quotient de deux fonctionsSoient u et v deux fonctions dérivables sur D.La fonction dérivée de uv est (uv)' = u'v + v'u.Si v ne s'annule pas sur D, - la fonction dérivée de

1 v est 1 v'=-v' v2 - la fonction dérivée de u v est u v'=u'v-v'u

v2 ExempleSoit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = (2x + 1)(x² - 3).On pose u(x) = 2x + 1, d'où u'(x) = 2 et v(x) = x² - 3, d'où v'(x) = 2x.

KB 2 sur 4

On a alors : f '(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x) = 2(x² - 3) + 2x(2x + 1) = 2x² - 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x - 6.Remarque : on aurait pu développer f (x); f(x) = 2x3 + x2 - 6x - 3 d'où f '(x) = 6x2 + 2x - 6.

3- Dérivée de u(ax + b)

Soit u une fonction dérivable sur D, a et b deux réels tels que ax + b ∈ D.La dérivée de la fonction f définie par f (x) = u(ax + b) est f '(x) = u'(ax + b)×a.

RemarqueLa fonction f est la composée de la fonction u et de la fonction affine définie par ax + b.

Exemple Soit f la fonction définie sur ℝ+ par fx=2x3.

On pose u(x) =

x; on a alors f (x) = u(2x + 3).

Comme u'(x) =

2x, la dérivée de f est f'x=1

2 2x3×2 =1

2x3.

D. Dérivée et sens de variationSoit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit f ' sa dérivée.Si f ' est strictement positive sur I, sauf peut être en quelques points où f ' s'annule, alors f est

strictement croissante sur I.Si f ' est strictement négative sur I, sauf peut être en quelques points où f ' s'annule, alors f

est strictement décroissante sur I.Si f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I.Exemple Etudier les variations de la fonction f définie par f (x) = x² - 3x sur ℝ.

La dérivée de f est f '(x) = 2x - 3.

C'est une fonction affine qui s'annule pour x = 3/2.Sur ]-∞ ; 3/2] f ' est négative donc f est décroissante.Sur [3/2 ; +∞[ f ' est positive donc f est croissante.On résume cette étude dans le tableau suivant :Remarque La fonction f admet un minimum en x = 3/2.Quel que soit x, f (x)  f (3/2).Comme la dérivée s'annule en x = 3/2, la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des

abscisses.KB 3 sur 4x signe de f '(x) f (x)3/2- ∞+∞ -+0 - 9/4 E. Approximation affine d'une fonctionSoit f une fonction dérivable en x0. Soit  la fonction définie par h=fx0h-fx0 h-f'x0.

On a d'une part

limh0

h=0, et d'autre part fx0h=fx0hf'x0hh.

Lorsque h est petit, le terme

hh est " très » petit, on peut le " négliger ».

On a ainsi :

fx0h≈fx0hf'x0 qui donne une approximation affine de f en x0.

Applications •pour

fx=x2 et x0=1, on obtient : 1h2 ≈1 2h. •pour fx=1 x et x0=1, on obtient : 1

1h≈1-h.

•pour fx=x et x0=1, on obtient : 1h≈1h 2.

KB 4 sur 4

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] f(x)=x^4

[PDF] f(x)=3

[PDF] livre mécanique appliquée pdf

[PDF] mécanique appliquée définition

[PDF] mécanique appliquée cours et exercices corrigés pdf

[PDF] mecanique appliquée bac pro

[PDF] pdf mecanique general

[PDF] mécanique appliquée et construction

[PDF] z+1/z-1 imaginaire pur

[PDF] z+1/z-1=2i

[PDF] questions ? poser lors dun audit interne

[PDF] questions posées lors dun audit

[PDF] questionnaire audit interne pdf

[PDF] questionnaire d'audit interne gratuit

[PDF] audit interne questionnaire exemple

[PDF] Dérivation La fonction qui à x associe