[PDF] NOMBRE DERIVÉ NOMBRE DERIVÉ. I. Limite en





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FONCTION DERIVÉE

Ainsi pour tout x de R {0}



f(x)= 5x ? 3x +2 f (x)= 2×5x ? 3

f '(x) = 2ax +b. Méthode : Déterminer la fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes 





NOMBRE DERIVÉ

NOMBRE DERIVÉ. I. Limite en zéro d'une fonction. Exemples : 1) Soit la fonction f définie sur ??;0. ??. ?? U 0;+????? par f (x) = x +1.



Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée. D f f(x) = k. R f (x) = 0. R f(x) = x. R f (x) = 1. R f(x) = xn n ? N?. R f (x) = nxn?1.



DÉRIVATION (Partie 2)

Dans ce cas la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '. 2) Formules de dérivation 



Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

Fonction dérivée f '. Intervalles de dérivabilité. P f (x) = k (constante réelle) x f ' (x) = –. 1 x2. ]0; +?[. ]–?; 0[. N f (x) = 1 xn = x–n (n??).



Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul

recherche de la pente de la tangente en chaque point P(x ; f (x)) La dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction ? f ... Déterminer f '(x).



FONCTION DERIVÉE

Ainsi pour tout x de R {0}



Dérivation

La fonction qui à x associe f '(x) le nombre dérivé de f en x





The First and Second Derivatives - Dartmouth College

ListofDerivativeRules Belowisalistofallthederivativeruleswewentoverinclass • Constant Rule: f(x)=cthenf0(x)=0 • Constant Multiple Rule: g(x)=c·f(x)theng0(x)=c



The First and Second Derivatives - Dartmouth

The ?rst derivative of the functionf(x) which we write asf0(x) or asdf dx is the slope of the tangent line to the function at the pointx To put this in non-graphical terms the ?rst derivative tells us how whether a function is increasing or decreasing and by how much it is increasing or decreasing



Numerical di?erentiation: ?nite di?erences

If we use expansions with more terms higher-order approximations can be derived e g consider f(x+?x) = f(x)+?xf0(x)+?x2 f00(x) 2! +?x3 f000(x) 3! +?x4 f(4)(x) 4! +?x5

What is the first derivative of the function f(x)?

The ?rst derivative of the functionf(x), which we write asf0(x) or asdf dx, is the slope of the tangent line to the function at the pointx. To put this in non-graphical terms, the ?rst derivative tells us how whether a function is increasing or decreasing, and by how much it is increasing or decreasing.

What is the derivative of off(X)?

x= 1, the derivative off(x) is df dx (1) = 9¢12¡12¢1+2 = 9¡12+2 =¡1; sof(x) is a decreasing function atx= 1. The Meaning of the Second Derivative The second derivative of a function is the derivative of the derivative of that function. We write it asf00(x) or asd2f dx2.

What does the derivative of a function represent?

The derivative of a function represents its a rate of change (or the slope at a point on the graph). What is the derivative of zero? The derivative of a constant is equal to zero, hence the derivative of zero is zero. What does the third derivative tell you? The third derivative is the rate at which the second derivative is changing.

What is the best derivative calculator?

Symbolab is the best derivative calculator, solving first derivatives, second derivatives, higher order derivatives, derivative at a point, partial derivatives, implicit derivatives, derivatives using definition, and more. Is velocity the first or second derivative? Velocity is the first derivative of the position function.

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  • Derivative Calculator

    Is there a calculator for derivatives? Symbolab is the best derivative calculator, solving first derivatives, second derivatives, higher order derivatives, derivative at a point, partial derivatives, implicit derivatives, derivatives using definition, and more. lgo algo-sr relsrch richAlgo" data-536="6461006a58808">www.symbolab.com › solver › derivative-calculatorDerivative Calculator - Symbolab www.symbolab.com › solver › derivative-calculator Cached

1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frNOMBRE DERIVÉ I. Limite en zéro d'une fonction Exemples : 1) Soit la fonction f définie sur

-∞;0 ∪0;+∞ par f(x)= x+1 2 -1 x . L'image de 0 par la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de f(x) lorsque x se rapproche de 0. x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 ... 0,001 0,01 0,1 0,5 f(x)

1,5 1,9 1,99 1,999 ? 2,001 2,01 2,1 2,5 On constate que

f(x)

se rapproche de 2 lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note :

lim x→0 f(x)=2 . 2) Soit la fonction g définie sur -∞;0 ∪0;+∞ par g(x)= 1 x 2 . A l'aide de la calculatrice, on constate que g(x)

devient de plus en plus grand lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égale à +∞

et on note : lim x→0 g(x)=+∞ . Définition : On dit que f(x) a pour limite L lorsque x tend vers 0 si les valeurs de f(x)

peuvent être aussi proche de L que l'on veut pourvu que x soit suffisamment proche de 0. On note :

lim x→0 f(x)=L et on lit : "La limite de f(x)

lorsque x tend vers 0 est égale à L. II. Dérivabilité 1) Rappel : Coefficient directeur d'une droite Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit deux réels a et b appartenant à I tels que a < b. Soit A et B deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et b.

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :

f(b)-f(a) b-a

. 2) Fonction dérivable Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit un réel a appartenant à I. Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h ≠ 0. Le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à :

f(a+h)-f(a) a+h-a f(a+h)-f(a) h

. Lorsque le point M se rapproche du point A, le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à la limite de

f(a+h)-f(a) h

lorsque h tend vers 0. Ce coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de f en a. Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que :

lim h→0 f(a+h)-f(a) h =L . L est appelé le nombre dérivé de f en a.

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Méthode : Démontrer qu'une fonction est dérivable Vidéo https://youtu.be/UmT0Gov6yyE Vidéo https://youtu.be/Iv5_mw1EYBE 1) Soit la fonction trinôme f définie sur

par f(x)=x 2 +2x-3 . Démontrer que f est dérivable en x=2 . 2) Soit la fonction g définie sur par g(x)=x-5 . La fonction g est-elle dérivable en x=5 ? 1) On commence par calculer f(2+h)-f(2) h pour h ≠ 0. (2+h) 2 +2(2+h)-3-2 2 -2×2+3 h

4+4h+h

2 +4+2h-8 h 6h+h 2 h =h+6

Donc :

lim h→0 f(2+h)-f(2) h =lim h→0 h+6=6

On en déduit que f est dérivable en

x=2 . Le nombre dérivé de f en 2 vaut 6. 2) On commence par calculer g(5+h)-g(5) h pour h ≠ 0.

5+h-5-5-5

h h h

Donc :

g(5+h)-g(5) h h h =1,pourh>0 -h h =-1,pourh<0 lim h→0 g(5+h)-g(5) h n'est pas égale à un unique nombre réel. g n'est pas dérivable en x=5

4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frIII. Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I. L est le nombre dérivé de f en a. A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative

C f de f. Définition : La tangente à la courbe C f

au point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé L. Méthode : Déterminer le coefficient directeur d'une tangente à une courbe Vidéo https://youtu.be/0jhxK55jONs On considère la fonction trinôme f définie sur

par f(x)=x 2 +2x-3

dont la dérivabilité en 2 a été étudiée plus haut. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2. On a vu que le nombre dérivé de f en 2 vaut 6. Ainsi la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est la droite passant par A et de coefficient directeur 6.

5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Propriété : Une équation de la tangente à la courbe

C f en A est : y=L(x-a)+f(a) Démonstration : La tangente a pour coefficient directeur L donc son équation est de la forme : y=Lx+b où b est l'ordonnée à l'origine. Déterminons b : La tangente passe par le point A a;f(a) , donc : f(a)=La+b soit : b=f(a)-La On en déduit que l'équation de la tangente peut s'écrire : y=Lx+f(a)-La y=L(x-a)+f(a)

Méthode : Déterminer une équation d'une tangente à une courbe Vidéo https://youtu.be/fKEGoo50Xmo Vidéo https://youtu.be/7-z62dSkkTQ On considère la fonction trinôme f définie sur

par f(x)=x 2 +2x-3

. Déterminer une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2. On a vu plus haut que le coefficient directeur de la tangente est égal à 6. Donc son équation est de la forme :

y=6x-2 +f(2) , soit : y=6x-2 +2 2 +2×2-3 y=6x-7

Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est

y=6x-7

. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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