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Un système linéaire invariant en temps (« linear time-invariant » - LTI) est un système pour lequel les propriétés de linéarité et d'invariance en temps
Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI
Système continu LTI. ? Décomposition en éléments simples u(t). H(s) y(t). H(s) : fonction de transfert. Quelle est la forme de la sortie y(t) du modèle en
Systèmes et convolution
2.1: Définition d'un système. Les systèmes LTI peuvent être représentés sous forme d'équation différentielle à cœfficients constants de la forme:.
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Définition de la réponse fréquentielle d'un système. ? Types de réponse fréquentielle : Bode Nyquist
Observation et stabilisation des systèmes LTI à mesures discrètes
14 sept. 2014 Différentes définitions de base de la stabilité des systèmes ont été ... systèmes LTI avec mesures discrètes. ... v Définition d'un système.
IMN317 - Chapitre 3 - Analyse fréquentielle
23 sept. 2013 Définition. La réponse en fréquences d'un système LTI fournit une description complète du système dans le domaine fréquentiel. La réponse en.
Chapter 2 Linear Time-Invariant Systems - University of Ottawa
Many physical systems can be modeled as linear time-invariant (LTI) systems Very general signals can be represented as linear combinations of delayed impulses By the principle of superposition the response y[n] of a discrete-time LTI system is the sum of the responses to the individual shifted impulses making up the input signal x[n]
LTI System and Control Theory - University of Washington
For a system to be considered an LTI system it must exhibit two properties linearity and time invariance These two properties are de?ned below Linearity To understand the property of linearity it is often useful to recall the basic de?nition of a line
ELEG 3124 SYSTEMS AND SIGNALS Ch 2 Continuous-Time Systems
CLASSIFICATIONS: SYSTEM DEFINITION • What is system? – A system is a process that transforms input signals into output signals • Accept an input • Process the input • Send an output (also called: the response of the system to input) – System examples: • Radio: input: electrical signals from air output: music
Linear Time-invariant systems Convolution and - Memphis
Linear Time-invariant systems Convolution and Cross-correlation (1) Linear Time-invariant (LTI) system A system takes in an input function and returns an output function An LTI system is a special type of system As the name suggests it must be both linear and time-invariant as defined below LINEAR
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The term system is used in this abstract and technical sense to refer to such mappings that take a signal as input and produce another signal as output As we’ll see by making this abstraction and imposing additional assumptions we’ll be able to study special types of systems in a precise way that leads to useful insights and results
Does a LTI system have memory?
Otherwise the LTI system has memory. Note that if K=1 in Eqs. (2.19) and (2.21), the systems become identity systems, with output equal to the input. We have seen that a system S is invertible if and only if there exists an inverse system S-1 such that S-1S is an identity system.
Is a filter a LTI system?
With a few exceptions (e.g., median ?ltering), most ?lters are LTI systems. A. Systems A system is a device that accepts an input signal x[n], processes it somehow, and spits out an output signal y[n]. So a system is how a signal gets processed (hence, “signal processing”).
What is the step response of a LTI system?
The step response of an LTI system is simply the response of the system to a unit step. It conveys lot of information about the system. For a discrete-time system with impulse response h[n], the step response is s[n]=u[n]*h[n]. However, based on the commutative property of convolution,
How can a continuous-time LTI system be computed?
The response of a continuous-time LTI system can be computed by convolution of the impulse response of the system with the input signal, using a convolution integral, rather than a sum. continuous-time signal can be viewed as a linear combination of continuous impulses: The summation approaches to an integral kDt® and x(kD)x(t) Dd®t d
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IMN317
Chapitre 3 - Analyse fréquentielle
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
23 septembre 2013
Analyse fréquentielle1 / 194
Plan du chapitre
1Transformée de Fourier à temps discret
2Transformée enz3Classification des filtres
Analyse fréquentielle2 / 194
Transformée de Fourier à temps discret
Plan de la section
1Transformée de Fourier à temps discret
Transformée de Fourier à temps continu
DTFT : définition, propriétés et calcul
Réponse en fréquence d"un système
2Transformée enz3Classification des filtres
Analyse fréquentielle3 / 194
Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuMise en contexte
Au chapitre précédent, on a vu quetoute séquence peut être représentée comme une combinaison linéaire d"impulsions unité décalée temporellement. Une conséquence de cette propriété est d"avoir permis de définir une relation entrée/sortie pour un système LTIdans le domaine temporel à l"aide de la convolution : y[n] =1X k=1x[k]h[nk]Analyse fréquentielle4 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuMise en contexte
Dans ce chapitre, on va définir cette même relation entrée/sortie, mais cette fois-cidans le domaine fréquentiel. On verra qu"il est parfois utile de savoirexprimer les effets d"un système en terme de fréquences plutôt qu"en terme d"échantillons.Analyse fréquentielle5 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuMise en contexte
Pour obtenir cette représentation fréquentielle, on étudiera la transformée de Fourier à temps discret, qui propose d"exprimer une séquence discrète à l"aide d"un espace continu de fréquences. Avant d"en arriver là, quelques rappels sur latransformée de Fourier continueest nécessaire.Analyse fréquentielle6 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuDéfinition
Soitxa(t)unsignal continu, sa représentation dans le domaine fréquentiel est donnée par latransformée de Fourier à temps continu: X a(i ) =F[xa(t)] =Z 1 1 x a(t)ei tdtAnalyse fréquentielle7 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuDéfinition
Le signalxa(t)peut être retrouvé à partir de sa transformée de Fourier grâce à latransformée de Fourier inverse: x a(t) =F1[Xa(i )] =12Z 1 1 X a(i )ei tdOn notera alors cette paire
x a(t)F$Xa(i )Analyse fréquentielle8 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuDéfinition
En général,Xa(i
)seraune fonction complexe, avec1< <1. Il est donc possible de l"exprimer sousforme polaire: X a(i ) =jXa(i )jeia( aveca( ) =arg(Xa(iChacune de ces parties porte un nom :jXa(i
)jest lespectre d"amplitudede la TF; a( )est lespectre de phasede la TF.Analyse fréquentielle9 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuDéfinition
La transformée de Fourier à temps continu d"un signalxa(t)existe sice signal respecte lesconditions de Dirichlet:Le signal possèdeun nombre fini de discontinuitésetun
nombre fini de maximums et minimumssur tout intervalle fini.Le signal estabsolument intégrable, c"est-à-dire que
Z 1 1 jxa(t)jdt<1Analyse fréquentielle10 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuÉnergie d"un signal
L"énergieExd"un signal continuxa(t)est donnée par E x=Z 1 1 jxa(t)j2dt Il s"agit de laversion continuede la définition de l"énergie vue au chapitre 2 : E x=1X n=1jx[n]j2Analyse fréquentielle11 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuÉnergie d"un signal
On peut montrer qu"il est aussi possible d"exprimer l"énergie d"un signaldans le domaine fréquentiel.Analyse fréquentielle12 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuÉnergie d"un signal
Si on a que
x a(t)F$Xa(i alors E x=Z 1 1 jxa(t)j2dt=12Z 1 1 jXa(i )j2dCette propriété est connue sous le nom d"identité de Parseval.Analyse fréquentielle13 / 194
Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuÉnergie d"un signal
Il est important de noter qu"un signal continu absolument intégrable x a(t)possède toujours une énergie finie. Z 1 1 jxa(t)jdt<1 )Z 1 1 jxa(t)j2dt<1Analyse fréquentielle14 / 194 Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuLargeur de bande d"un signal
On définit maintenant un nouveau concept relatif aux fréquences que l"on retrouve dans un signal, lalargeur de bande. Un signal continu à énergie finie sera dità bande complètesi son spectre de fréquences occupe l"étendu1< <1, tandis qu"il sera dità bande limitéesi seule une portion de cet étendu est couvert par les fréquences du signal.Analyse fréquentielle15 / 194
Transformée de Fourier à temps discretTransformée de Fourier à temps continuLargeur de bande d"un signal
Unsignal à bande limitée idéalaura un spectre qui sera nul en dehors d"un certain intervalle de fréquences a j j b, c"est-à-dire X a(i ) =8 :0 si 0 j j< a X a(i )si a j j b 0 si bLargeur de bande d"un signal
On appelle lalargeur de banded"un signal l"intervalle de fréquences où se trouve la plus grande partie de son énergie. Dans le cas précédent, la largeur de bande du signalxa(t)serait a j j b On dispose maintenant des atouts nécessaires pourtraverser dans le merveilleux monde du discret...Analyse fréquentielle17 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculDéfinition
Latransformée de Fourier à temps discret(DTFT) d"un signal à temps discretx[n]est la représentation de celui-ci en terme d"une séquence d"expontielles complexesei!n, avec!2Rqui est la variable des fréquences.Analyse fréquentielle18 / 194
Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculDéfinition
La DTFT d"une séquencex[n]est définie par
X(ei!) =F[x[n]] =1X
n=1x[n]ei!n Notons la différence des symboles :Fpour la transformée de Fourier à temps continu etFpour la DTFT.Analyse fréquentielle19 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculExemple 3.1
Analyse fréquentielle20 / 194
Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculDéfinition
De manière équivalente à tout à l"heure, on définit laDTFT inversepar x[n] =F1hX(ei!)i
=12ZX(ei!)ei!nd!
On notera alors
x[n]F$X(ei!)Analyse fréquentielle21 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculDéfinition
Une question se pose alors : si la DTFT d"un signalx[n]est une fonction continue pour!,pourquoi l"intégrale de la DTFT inverse se limite-t-elle à l"intervalle[;]?Analyse fréquentielle22 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculPériodicité de la DTFT
Contrairement à la transformée de Fourier continue,la DTFT d"un signal discret est une fonction périodiquede période 2pour!. En effet,X(ei(!+2k)) =1X
n=1x[n]ei(!+2k)n 1X n=1x[n]ei!nei2kn 1X n=1x[n]ei!n =X(ei!)Analyse fréquentielle23 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculSpectres d"amplitude et de phase
En général, la DTFTX(ei!)d"un signal est unefonction complexe d"une variable réelleet peut être écrit sous la formeX(ei!) =X<(ei!) +X=(ei!);
oùX<(ei!)etX=(ei!)sont respectivementles parties réelle et imaginaire de la DTFT.Analyse fréquentielle24 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculSpectres d"amplitude et de phase
On peut aussi exprimer la DTFTX(ei!)d"un signal sous la forme polaire :X(ei!) =X(ei!)ei(!)avec(!) =arg(X(ei!))
Comme tout à l"heure, on a donné des noms à chacune des parties de cette représentation : X(ei!)est lespectre d"amplitude(!)est lespectre de phaseAnalyse fréquentielle25 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculSpectres d"amplitude et de phase
Notons finalement qu"un lien existe entre les deux représentations de la DTFT.En effet, on a que
tan((!)) =X=(ei!)X <(ei!)Analyse fréquentielle26 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculSpectres d"amplitude et de phase
Géométriquement, le spectre de phase est l"angle par rapport à l"axe desxlorsqu"on considère le nombre complexeX(ei!)dans le plan.Le calcul avec l"équation tan((!)) =X=(ei!)X <(ei!) s"explique alors très bien d"un point de vue géométrique.Analyse fréquentielle27 / 194
Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculCondition de convergence
Une série infinie de la forme
X(ei!) =1X
n=1x[n]ei!n peut ne pas converger. Or, on dira quela DTFT d"un signal existe si la sommation converge.Analyse fréquentielle28 / 194 Transformée de Fourier à temps discretDTFT : définition, propriétés et calculCondition de convergence
Une condition suffisante pour assurer la convergence de la série est que la séquencex[n]soitabsolument sommable, c"est-à-dire que 1quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] représentation de cram pdf
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