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7 sept. 2022 Définition - Signal ... Définition - Système statique (ou instantanée) ... est linéaire invariant dans le temps (LTI) et causal.
2.5 Systèmes linéaires invariant en temps Un système linéaire
Un système linéaire invariant en temps (« linear time-invariant » - LTI) est un système pour lequel les propriétés de linéarité et d'invariance en temps
Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI
Système continu LTI. ? Décomposition en éléments simples u(t). H(s) y(t). H(s) : fonction de transfert. Quelle est la forme de la sortie y(t) du modèle en
Systèmes et convolution
2.1: Définition d'un système. Les systèmes LTI peuvent être représentés sous forme d'équation différentielle à cœfficients constants de la forme:.
Chap II : Systèmes
Réponse d'un système LTI (Linéaire à Temps Invariant) à une entrée : caractérisation temporelle. ? Notion de convolution : définition et propriétés.
Introduction à la représentation détat
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14 sept. 2014 Différentes définitions de base de la stabilité des systèmes ont été ... systèmes LTI avec mesures discrètes. ... v Définition d'un système.
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23 sept. 2013 Définition. La réponse en fréquences d'un système LTI fournit une description complète du système dans le domaine fréquentiel. La réponse en.
Chapter 2 Linear Time-Invariant Systems - University of Ottawa
Many physical systems can be modeled as linear time-invariant (LTI) systems Very general signals can be represented as linear combinations of delayed impulses By the principle of superposition the response y[n] of a discrete-time LTI system is the sum of the responses to the individual shifted impulses making up the input signal x[n]
LTI System and Control Theory - University of Washington
For a system to be considered an LTI system it must exhibit two properties linearity and time invariance These two properties are de?ned below Linearity To understand the property of linearity it is often useful to recall the basic de?nition of a line
ELEG 3124 SYSTEMS AND SIGNALS Ch 2 Continuous-Time Systems
CLASSIFICATIONS: SYSTEM DEFINITION • What is system? – A system is a process that transforms input signals into output signals • Accept an input • Process the input • Send an output (also called: the response of the system to input) – System examples: • Radio: input: electrical signals from air output: music
Linear Time-invariant systems Convolution and - Memphis
Linear Time-invariant systems Convolution and Cross-correlation (1) Linear Time-invariant (LTI) system A system takes in an input function and returns an output function An LTI system is a special type of system As the name suggests it must be both linear and time-invariant as defined below LINEAR
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The term system is used in this abstract and technical sense to refer to such mappings that take a signal as input and produce another signal as output As we’ll see by making this abstraction and imposing additional assumptions we’ll be able to study special types of systems in a precise way that leads to useful insights and results
Does a LTI system have memory?
Otherwise the LTI system has memory. Note that if K=1 in Eqs. (2.19) and (2.21), the systems become identity systems, with output equal to the input. We have seen that a system S is invertible if and only if there exists an inverse system S-1 such that S-1S is an identity system.
Is a filter a LTI system?
With a few exceptions (e.g., median ?ltering), most ?lters are LTI systems. A. Systems A system is a device that accepts an input signal x[n], processes it somehow, and spits out an output signal y[n]. So a system is how a signal gets processed (hence, “signal processing”).
What is the step response of a LTI system?
The step response of an LTI system is simply the response of the system to a unit step. It conveys lot of information about the system. For a discrete-time system with impulse response h[n], the step response is s[n]=u[n]*h[n]. However, based on the commutative property of convolution,
How can a continuous-time LTI system be computed?
The response of a continuous-time LTI system can be computed by convolution of the impulse response of the system with the input signal, using a convolution integral, rather than a sum. continuous-time signal can be viewed as a linear combination of continuous impulses: The summation approaches to an integral kDt® and x(kD)x(t) Dd®t d
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UV Traitement du signalCours 4Systèmes linéaires continusDéfinition et caractérisations (temporelle et fréquentielle)ASI 3
2 TdSContenu du coursIntroductionDéfinition d'un systèmeClassification des systèmesRéponse d'un système LTI (Linéaire à Temps Invariant) à une entrée : caractérisation temporelleNotion de convolution : définition et propriétésRéponse impulsionnelle d'un systèmeRéponse à une entrée quelconque Réponse fréquentielle d'un systèmeThéorème de PlancherelCaractérisation des systèmes LTI par la fonction de transfertTransformée de LaplaceHDéfinitionHPropriétésFonction de transfert d'un système : notion de pôles et zérosDétermination de la réponse temporelle d'un système par la TL
3 TdSIntroductionExemples de systèmesDéfinition R
u(t) i(t)C Vc(t)
L K x M fSignaux d'entrée
ou excitations xSystème
SSignaux de sortie
ou réponses yPerturbations
Economie d'un pays
Conjoncture mondiale
Dépenses
publiquesBalance
commercialeTaux de crédit Chômage
Inflation Un système est un ensemble d'éléments fonctionnels interagissant entre eux et qui établit un lien de cause à effet entre ses signaux d'entrées et ses signaux de sortieNotation :
[]xyS=(souvent imprévisibles)ySystème électriquey Système mécaniquey Système économiqueentrée : forcesortie : position
4 TdSClassification des systèmes Système statiqueLa réponse du système à une excitation est instantanée Système dynamiqueLa réponse est fonction de l'excitation et des réponses passéesSystèmes mono variable et multivariable Monovariable : système à une entrée et une sortie Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2 R
u(t) i(t) R u(t) i(t)C Vc(t)
)(1)()(tuRtity==Équation )()()(tutytyRC=+avec )()(tVtyc=Équationu(t) = V(t) + Ri(t)et i(t) = CdV(t)/dtdonc u(t) = V(t)+RC dV(t)/dtd'où :5 TdSClassification des systèmesLinéaritéSi alorsCausalitéLa réponse du système ne peut pas se produire avant l'excitation qui l'engendreConséquence : si alorsInvariance temporelleStabilité)()()(2211txatxatx+=[][])()()(2211txatxatySS+=
0pour 0)(<=ttx[]0pour 0)()(<==ttxtySUn décalage temporel en entrée induit le même décalage en sortie. La réponse du système est invariante par translation dans le temps. Le système est dit alors invariant.Si alors
[])()(txtyS=[])()(00ttxtty-=-SyUn système est dit stable si en réponse à une entrée bornée, sa sortie est bornéeySystème qui, perturbé, revient à son état initial après disparition de la perturbation
[]yyxxMtxtyMMtxM<=$Þ<$)()(/)(/SInstable Stable6 TdSExemplesTachymètre Entrée :Vitesse d'un véhicule v(t)
Sortie : Position angulaire de l'aiguille q (t)Propriétés :linéaire, causal, invariantExemple de système non linéaire :hauteur d'une vague en fonction du ventnon causal :retour vers le futurnon invariant : y(t) = t.x(t); parcmètre (le tarif dépend de l'heure)Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus linéaires à temps invariant (systèmes LTI)
7 TdSCaractérisation d'un système LTIRelation entrée/sortieLa plus courante : équation différentielle linéaire à coefficients constantsHCaractérisation complète du système par la connaissance des coefficientsHSortie y(t) calculable par la connaissance de x(t)
i ii dt tydy)()(= )()()()(tutVdt tdiLtRic=++On en déduit : )()(tutx=Entrée du système : Lois de l'électricité )()(tVCtic= R u(t) i(t)C Vc(t)
L )()(tVtyc=Sortie du système : (dérivée d'ordre i) et8 TdSCaractérisation d'un système LTIRéponse impulsionnelle Avantages de la réponse impulsionnelle caractérisation complète du systèmepermet de calculer la sortie du système LTI pour d'autres signaux d'entrée La réponse impulsionnelle d'un système est sa réponse à une entrée sous forme d'impulsion de Dirac
Système S t
d(t) t h(t)[])()(tthdS=Comment calculer la sortie du système avec un signal d'entrée quelconque à partir de la réponse impulsionnelle ? Þ notion de convolution
9 TdSNotion de convolutionDéfinitionOn appelle produit de convolution de deux signaux f(t) et g(t) et on note , l'expressiongf*Ressemble beaucoup à une corrélationRappel : Pour la convolution, un des signaux est inversé
Cfg=∫-∞
ftgt-dt Images provenant des applets de http://cnyack.homestead.com/files/aconv/convau1.htm10 TdSNotion de convolutionCas de signaux causaux Exemple0)( ,0)(==tgtf( pour t < 0)
Calculer le produit de convolution des signaux suivantsA tf (t) t1t2g (t) 1 t )()(tetgatG=- 0>a fgt-dLa convolution devient :Posons . -=tttdtgftz)()()( )(*)()(tgtftz=On aA tf ( t) t1t2g (- t) (t=0)11 TdSNotion de convolution0)(=tfOn distingue 3 cas :y
A tf ( t) t1t2g (t- t) t1tt<Þ
0)(=tz
21ttt< A tf ( t) t1t2g (t- t) tA tf ( t) t1t2g (t- t) t 2tt>y t t tadAetz1)()(ttOn trouve ())(11)(ttaea Atz---=
ò--=2
1 t t tadAetztt ()12)(atatat eea Aetz-=-Finalement, on a :
tz(t) t1t2 A a1-e-at2-t1 ---G=ttttdteftzta)()()()(ò--= ttadeftz 0 )()()(tttÞcar0)(¹-Gttpour t12 TdSConvolution PropriétésCommutativité : Associativité :Distributivité par rapport à l'addition : Elément neutre du produit de convolution : impulsion de DiracTranslation temporelle (conv. avec un Dirac retardé) :)()()()(tftgtgtf*=*
())()()()()()()(tgtetftetgtfte*+*=+* )()()(tfttf=*d )()()(00ttftttf-=-*d Atz---=
ò--=2
1 t t tadAetztt ()12)(atatat eeaAetz-=-Finalement, on a :
tz(t) t1t2 A a1-e-at2-t1 ---G=ttttdteftzta)()()()(ò--= ttadeftz 0 )()()(tttÞcar0)(¹-Gttpour t13 TdSConvolution Propriétés (suite et fin)Convolution avec un peigne de Diracå+¥
-=kTkTtt)()(dPeigne de DiracTt0T2T-T-2T
Tk kTttfttfå¥+ -*=*)()()()(dÞ Tk kTtfttfå¥+ -=*)()()(f (t) t*=Tf*t0T2T-T-2T
On obtient une fonction périodique formée par la recopie de f autour de chaque dentШШ ШLinéarité de la convolution : on sort la sommeConvolution avec un Dirac retardé14 TdSRéponse d'un système LTI à une entrée quelconqueApplication de la notion de convolutionSystèmex(t)
t?)(=tyLa réponse du système à une entrée quelconque x est la convolution de x avec la réponse impulsionnelle h du système. h caractérise entièrement le système.Élément neutre de la convolution
)()()(ttxtxd*=Þò¥+¥--=ttdtdtxtx)()()(
[])()(txSty=Þ ¥--=ttdtdtxty)()()(SRéponse du système on cherche¥--=ttdtdtxty)()()(SPropriété de linéarité du système :Propriété d'invariance temporelle du système :
[])()(ttd-=-thtS(réponse impulsionnelle décalée, voir diapos 5 et 8)On en déduit ¥--=tttdthxty)()()(Þ)()()(thtxty*=(Voir diapo 5)15 TdSStabilité et réponse impulsionnelleOn dit qu'un système est stable si sa sortie est bornée lorsque son entrée est bornéeQuelle est la condition sur h(t) pour que y(t) soit bornée ?y L'entrée x est bornée i.e.tMtxMxx"<$)(/
¥--=tttdthxty)()()(y Réponse du système :Un système est stable ssi sa réponse impulsionnelle est absolument intégrableOn montre que la sortie est bornée ssi
¥-ttdh)(Nous venons de présenter les aspects temporels des systèmes continus LTIMaintenant nous allons nous intéresser aux aspects fréquentiels
16 TdSSystèmes et transformée de FourierRéponse fréquentielle des systèmes LTISystème)(ty)(txSoit le système de réponse impulsionnelle h
Soit le signal d'entréeQue vaut la sortie y(t) ?ftjAetxp2)(= )()()(txthty*=Þò¥+¥--=*tttdtxhtxth)()()()(
-=*tttppdAehAethtfjftj)(22)()( -=*tttpppdehAeAethfjftjtfj222)()(0)(fHTF de la réponse impulsionnelleLa réponse d'un système LTI à une exponentielle complexe (resp. signal sinusoïdal) est une exponentielle complexe (resp. signal sinusoïdal) multipliée par le gain complexe H( f )
SAej2ft=ht∗Aejft=Hf.Aej2ftSortons ce qui ne dépend pas de :
17 TdSSystèmes et transformée de FourierRéponse fréquentielle des systèmes LTISystème)(ty)(txSi le signal d'entrée est quelconque, on peut l'exprimer sous la forme d'une somme infinie d'exponentielles complexes : c'est la TF inverse
[])()(txtyS=Þ )(fY =dfefXtxftjp2)()( =dfefXtyftjp2)()(S(linéarité du système)En vertu du résultat précédent []ftjftjefXfHefXpp22).().()(=S =dfefXfHtyftjp2).().()((définition de la TF inverse de Y)Þ )().()(fHfXfY=)()()(txthty*=H ( f ) : fonction de transfert(TF de la sortie y) convolution en temporel - multiplication en fréquentielDonc sialors18 TdSSystèmes et transformée de FourierReprésentation fréquentielle des systèmes LTI Relations entrée-sortie en fréquentielSystème)(ty)(tx
)().()(fHfXfY=yH ( f ) : représentation fréquentielle du systèmeySimplicité de la relation entrée/sortie en fréquentiel yLa représentation fréquentielle illustre l'aptitude du système à faire passer une composante fréquentielle présente dans le signal d'entrée)(fHModule
)(fHArgument ())(arg)(fHf=f )().()(fHfXfY=Þ )(.)()(fHfXfY= ()())(arg)()(argfXffY+=fy Densité spectrale d'énergie )().()(fSfSfShhxxyy=y Moduley Argument19 TdSThéorème de Plancherel La transformée de Fourier d'un produit de convolution est un produit simple et réciproquementSystèmes et transformée de Fourier)().()()(fYfXtytx"*
)()()().(fYfXtytx*"Attention : la TF d'un signal n'est pas toujours définie !Comment faire lorsque x(t) n'a pas de TF ?=> Introduction de la transformée de Laplace
20 TdSTransformée de Laplace (TL)De la TF à la TLò
-=dtetxfXftjp2)()(Soit la TF d'un signal x(t) :. Cette TF existe si l'intégrale convergeDans le cas contraire, multiplions x(t) par une exponentielle décroissante telle que
-¥sur une base de fonctions exponentielles est (avec s complexe) Ne pas poser que X( f ) = X(s) pour s=j2
pf (car X(s) existe toujours mais pas X(f)!)21 TdSTransformée de LaplaceConvergence de la TLExempleDéfinition : on appelle Région de Convergence (RC) de la TL, l'ensemble des complexes s tels que l'intégrale converge.ò
-=dtetxsXst)()(X(s) n'est défini que si l'intégrale convergeCalculer la TL du signal )()(tetxatG= -G=dtetesXstat)()(Þò 0 )()(dtesXtsa -=0)(1)(tsaesasX fjasaps2--=-1lim1)()(tsa
t esasXÞÞOr D'où
tfja t tsa t ee)2()(limlimps-- =Cette limite est nulle si i.e.0<-saas>)Re(
assX-=1)(avecas>)Re(aRe(s)Im(s) RC fjsps2+=22 TdSTransformée de Laplace : propriétésLinéaritéConvolutionTranslation temporelle Translation fréquentielleDérivationIntégration)()()()(22112211sXasXatxatxa+"+
)().()()(sYsXtytx"* )()(00sXettxst-"- )()(asXtxeat-" )0()()(+-"xssXdt tdx()+0x: condition initiale ()()()+-++0,,0 ,0)1()1(kxxx: conditions initiales (souvent nulles => simplification) y y s sXdxt)()(0"òttIdem TFAvec :23 TdSTransformée de Laplace : propriétésThéorème de la valeur initialeThéorème de la valeur finale Transformée de Laplace et systèmes LTI)(
)()(sX sYsH=Fonction de transfert ou transmittance complexe du système ())(lim)(lim0ssXtxx+¥®® +==+s0t )(lim)(lim0 ssXtxx®+¥®¥==sty Réponse du système à une entrée x(t) quelconque )()()(thtxty*=y TL de la réponse )().()(sHsXsY=y Lien entre la transmittance et la représentation spectraleH(s) H (f )Si s=j2pf appartient à la région de convergence de la représentation de Laplace, alors on peut poser s = j2pf, et on obtient la relation suivante :
fjssHfHp2)()(==24 TdSTL de quelques signaux usuels (Cf. table) Impulsion de Dirac d(t)
Echelon unité G(t)()1)(=tdL Rampe ou échelon de vitesse Signal sinusoïdal <=G01 00)(t tt )(tG1 )(tdquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] représentation de cram pdf
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