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Master 1 Metiers de l'Enseignement, Mathematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

ANALYSE 2Fiche de Mathematiques 8- Integrales generalisees.Dans ce chapite, on traite deux problemes distincts, mais qui se posent souvent simultanement : celui des

integrales generalisees (integrales de fonctions denies sur des intervalles ouverts deR) et celui des integrales

dependant d'un parametre, c'est-a-dire d'integrales de la formeZ b a f(t;x)dtou (t;x)!f(t;x) designe une fonction a deux variablest;x.

1 Integrales generalisees

Denition 1.1SoientIun intervalle quelconque deR, etEun e.v.n. complet. Une applicationf:I!Esera dite localement integrable surIsi sa restriction a chaque sous-intervalle compact deIest integrable. Denition 1.2Soitfune fonction localement integrable sur un intervalle semi-ouvert[a;b[deR(1< ab

+1). On dit que l'integrale generalisee defsur[a;b]est la limite au pointb, si elle existe, de la fonction

F:x!Z x a f(t)dt(ax < b).

Si cette limite n'existe pas, on dit que l'integrale defsur[a;b]est divergente. De m^eme, sifest localement

integrable sur l'intervalle semi-ouvert]a;b](1 a < b <+1), l'integrale generalisee defsur]a;b]est la limite

au pointa, si elle existe, de la fonction F:x!Z b x f(t)dt(a < xb). Dans les deux cas, l'integrale generalisee defsur[a;b[ou]a;b]est noteeZ b a f(t)dt. Denition 1.3Soitfune fonction localement integrable sur un intervalle ouvert]a;b[deR(1 a < b+1)

et soitcun point quelconque de]a;b[. On dit que l'integrale defsur]a;b[est convergente si chacune des integrales

Z c a f(t)dtetZ b c f(t)dt est convergente et on pose alors : Z b a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b c f(t)dt.

On va voir que l'integrale defsur l'intervalle ouvert ]a;b[ peut se denir directement comme une limite

d'integrales sur des intervalles compacts.

Proposition 1.1Soitfune fonction localement integrable sur un intervalle ouvert]a;b[borne ou non. Pour que

l'integrale defsur cet intervalle soit convergente, il faut et il sut que la fonction ': (x;y)!Z y x f(t)dt,(a < x < y < b)

ait une limite lorsque le point(x;y)tend vers le point(a;b)dansR2et cette limite est l'integrale generaliseeZb

a f(t)dt. On a donc Z b a f(t)dt= lim (x; y)!(a; b) a < x < y < bZ x a f(t)dt. Exercice 1Montrer que l'integrale def:t7!exp(t) est convergente sur [0;+1[ etZ +1 0 exp(t)dt= 1.

Correction: Pour toutx >0, on a :

1/15

F(x) =Z

x 0 exp(t)dt= 1exp(x)!x!+11. Exercice 2Montrer que l'integrale def:t7!11 +t2est convergente sur [0;+1[ etZ +1

0dt1 +t2=2

Correction: Pour toutx >0, on a :

F(x) =Z

x

0dt1 +t2= arctan(x)!x!+12

Exercice 3Montrer que l'integrale def:t7!1pt

est convergente sur ]0;1] etZ 1 0dtpt = 2.

Correction: Pour toutx2]0;1], on a :

F(x) =Z

1 xdtpt = 22px!x!02.

Exercice 4Montrer que l'integrale def:t7!1t

2est divergente sur ]0;1].

Correction: Pour toutx2]0;1], on a :

F(x) =Z

1 xdtt 2=1x 1! x!0++1. Exercice 5Montrer que l'integrale def:t7!sin(t) est divergente sur [0;+1[.

Correction: Pour toutx >0 on a :

Z x 0 sin(t)dt= 1cos(x) et la fonction cos n'a pas de limite a l'inni.

2 Calcul pratique des integrales generalisees

Proposition 2.1On designe par[a;b]un intervalle compact deRet par (c0=a;c1;:::;cn=b) une subdivision de

[a;b]et soitfune fonction vectorielle denie et continue sur chacun des intervalles ouverts]ci1;ci[(1in).

S'il existe une fonction vectorielleFdenie et continue sur[a;b]admettantf(t)pour derivee en tout pointtouf

est denie, alorsfadmet une integrale generalisee et on a Z b a f(t)dt=F(b)F(a).

Proposition 2.2Changement de variable.

Soit'une bijection de classeC1de l'intervalle ouvert]a;b[sur l'intervalle ouvert];[et soitfune fonction

vectorielle continue sur];[. Pour que l'integrale defsur];[soit convergente il faut et il sut que l'integrale

de(f')'0sur]a;b[le soit et on a alors : Z f(x)dx=Z b a f['(t)]'0(t)dt.

Proposition 2.3Integration par parties.

Soientu;vdeux fonctions numeriques ou complexes de classeC1sur l'intervalle ouvert]a;b[telles que les limites

A= limx!au(x)v(x)etB= limx!bu(x)v(x)

existent. Si l'une des integrales Z b a u(x)v0(x)dxetZ b a u0(x)v(x) est convergente, il en est de m^eme de l'autre, et on a Z b a u(x)v0(x)dx=BAZ b a v(x)u0(x)dx.

Theoreme 2.1Si les integrales defetgsurIsont convergentes, il en est alors de m^eme de l'integrale des

fonctionsfetf+gpour tout nombre complexeet on a : 2/15 Z b af(x)dx=Z b a f(x)dxetZ b a (f(x) +g(x))dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx. Si Z b a f(x)dxconverge etZ b a g(x)dxdiverge alorsZ b a (f(x) +g(x))dxdiverge.

Remarque 2.1On ne peut rien dire a priori concernant la somme de deux integrales divergentes ni le produit de

deux fonctions convergentes.

Corollaire 2.1Sifest a valeurs complexes, alorsZ

b a f(x)dxest convergente si et seulement si les integrales Z b a

Re(f)(x)dxetZ

b a Im(f)(x)dxsont convergentes et en cas de convergence on a : Z b a f(x)dx=Z b a

Re(f)(x)dx+iZ

b a

Im(f)(x)dx.

Exercice 6Montrer que l'integrale def:t7!ln(t) est convergente sur ]0;1] etZ 1 0 ln(t)dt=1.

Correction: On a

Z 1 x ln(t)dt=1xln(x) +x!x!01. Exercice 7Montrer que l'integrale def:t7!11exp(t)+ ln(t)1t exp(t) est convergente sur ]0;+1[ et Z +1 0 f(t)dt= 0.

Correction: Une primitive def(t) =exp(t)1exp(t)

exp(t)ln(t) + exp(t)1t est :

F(t) = ln(1exp(t))exp(t)ln(t) = ln1exp(t)t

+ ln(t)(1exp(t)) et on a lim t!+1F(t) = 0 et limt!0F(t) = 0, ce qui donneZ +1 0 f(t)dt= 0. Exercice 8Montrer que l'integrale def:t7!1p1t2est convergente sur ]1;1[ etZ 1

11p1t2dt=.

Correction: Pour toutx2[0;1[, on a :

F(x) =Z

x

01p1t2dt= arcsin(x)!x!12

et par parite, poury2]1;0],

G(y) =Z

0 y1p1t2dt=Z y

01p1u2du= arcsin(y)!y!12

ce qui donne le resultat annonce. Exercice 9Soitun nombre complexe.Etudier la nature de l'integraleZ +1 0 exp(x)dxen precisant sa va- leur en cas de convergence. Correction: SoitFla primitive defdenie sur ]0;+1[ par

F(x) =Z

x 0 exp(t)dt=8 :xsi= 0 exp(x)1 si6= 0. Pour= 0, on a limx!+1F(x) = +1et l'integrale diverge.

PourRe()>0, on a :

jF(x)j=exp(x) :j1 jexp(x)j=exp(Re()x)jj(1exp(Re()x)!x!+1+1. et l'integrale diverge.

PourRe()<0, on a :exp(x)

=exp(Re()x)jj!x!+10 et l'integrale converge vers1 3/15 Il reste a considerer le cas ouRe() = 0, soit le cas ou=iyavecy2R?(= 0 est deja etudie). Dans ce cas l'integrale diverge puisque la fonction':x!exp(iyx) n'a pas de limite a l'inni (la suite 'ny n1= (exp(in))n1= ((1)n)n1est divergente). Exercice 10Soitf2 C0(R;R) telle que limx!+1f(x) =let limx!1f(x) =l0. 1.

Existence et calcul de

Z +1 1 (f(t+ 1)f(t))dt. 2.

Calcul de

Z +1 1 (arctan(t+ 1)arctan(t))dt.

Correction:

1.

En notan tF(x) =Z

x 0 f(t)dtpourx >0 et en utilisant le Theoreme des Accroissements Finis, on a : Z x 0 (f(t+ 1)f(t))dt= [F(t+ 1)F(t)]x0=F(x+ 1)F(x)F(1) =f(cx)F(1). oucx2]x;x+ 1[. Et faisant tendrexvers +1, on en deduit que : Z +1 0 (f(t+ 1)f(t))dt=lF(1).

De maniere analogue, on verie que :

Z 0 1 (f(t+ 1)f(t))dt=F(1)l0 et nalement Z+1 1 (f(t+ 1)f(t))dt=ll0. 2.

Av ecf(t) = arctan(t)t!12

, on deduit que : Z +1 1 (arctan(t+ 1)arctan(t))dt=. Exercice 11Soienta;bdeux nombres reels.Etudier la nature de l'integraleZ +1 0 exp(at)cos(bt)dten precisant sa valeur en cas de convergence.

Correction:

Pourb= 0, l'exercice 9. nous dit que cette integrale converge si et seulement sia <0. Pourb6= 0, le changement de variablet=u2bnous dit que cette integrale converge si et seulement si l'integrale exp(a2b)Z +1

2bexp(a)cos

bu2 duconverge, ce qui est encore equivalent a dire que l'integrale Z +1 a exp(at)sin(bt)dtconverge.

En notant=a+ib, on a : exp(at)cos(bt) = Re(exp(t)) et exp(at)sin(bt) = Im(exp(t)) et utilisant le resultat

de l'exercice 9., on deduit que l'integraleZ +1 0 exp(at)cos(bt)dtconverge si et seulement sia <0.

Poura <0 etb2R, on a alors

Z +1 0 exp(at)cos(bt)dt= Re Z+1 0 exp(t)dt = Re 1 =aa 2+b2.

Exercice 12Montrer que

Z +1 0 tnexp(t)dtest convergente et calculer sa valeurInpour toutn2N.

Correction: On aI0=Z

+1 0 exp(t)dt= 1 et une integration par parties nous montre queIn+1= (n+ 1)In, ce qui donneIn=n!.

Exercice 13Montrer que l'integrale

Z 1

0ln(t)(1 +t)2dtconverge et calculer sa valeur.

Correction: Une integration par parties nous donne pourx2]0;1] : 4/15

F(x) =Z

1 xln(t)(1 +t)2dt= ln(t)1 +t 1 x +Z 1 xdtt(1 +t)= lnt1 +t ln(t)1 +t 1 x =ln(2)lnx1 +x +ln(x)1 +x!x!0ln(2):

Exercice 14Montrer que l'integrale

Z +1

0arctan(t2)t

2dtconverge et calculer sa valeur.

Correction: Avec lim

t!0arctan(t2)t

2= 1, on prolonge par continuite en 0 la fonction a integrer et le seul probleme de

convergence est a l'inni. Une integration par parties nous donne pourx >0 :

F(x) =Z

x

0arctan(t2)t

2dt= arctan(t2)t x 0 + 2Z x

0dt1 +t4=arctan(x2)x

+ 2Z x

0dt1 +t4

(la fonctiong:t7!arctan(t2)t se prolonge aussi par continuite en 0 avecg(0) = 0) et la decomposition en elements simples de

11 +t4=1(1 +t2)22t2donneI=12

p2.

Exercice 15Montrer que l'integrale

Z +1

01pt+t2dtconverge et calculer sa valeur.

Correction: Le changement de variablet=u2donneI= 2Z +1

0du1 +u3et une decomposition en elements simples

donneI=49 p3.

Exercice 16Prouver la convergence et calculer

Z 2

0ln(sin(nt))dt.

Correction: Pourt >0, on a :f(t) = ln(sin(t)) = lnsin(t)t + ln(t) avec lim t!0+lnsin(t)t = ln(1) = 0, donc t7!lnsin(t)t se prolonge par continuite en 0 et commeZ 2

0ln(t)dtest convergente (exercice 6.), on en deduit

que Z 2

0ln(sin(t))dtest convergente. NotonsIla valeur de cette integrale. Le changement de variableu=2

t nous donne pour 0< x <2 Z 2 xln(sin(t))dt=Z 2 x 0 ln(cos(t))dt! x!0+I ce qui signie que Z 2

0ln(cos(t))dt=I. On peut alors ecrire que :

2I=Z 2

0ln(sin(t))dt+Z

2

0ln(cos(t))dt=Z

2

0lnsin(2t)2

dt=Z 2

0ln(sin(2t))dt2

ln(2).

Le changement de variableu= 2tnous dit queZ

0 ln(sin(t))dtest convergente et : Z 2

0ln(sin(2t))dt=12

Z 0 ln(sin(t))dt.

De m^eme, le changement de variableu=2

tnous donne : Z 2 ln(sin(2t))dt=Z 2

0ln(cos(t))dt=I.

On a donc en denitive : 2I=Z

2

0ln(sin(t))dt2

ln(2) =I2 ln(2),I=2 ln(2).

3 Les integrales de Riemann

Une famille importante d'integrales generalisees est donnee par celle des integrales de Riemann. Theoreme 3.1Soientun reel etfla fonction denie sur]0;+1[par :f:t7!1tquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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