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Qu'est-ce que la récompense dans un groupe ?
67 Dans un groupe, la récompense peut venir de l’individu lui-même (quand il est content de ce qu’il a fait), de l’impact de son action sur l’accomplissement de la tâche ou du groupe (via des marques d’approbation et de reconnaissance). Ces trois éléments interviennent en proportions variables dans le mécanisme.
Comment savoir si vous êtes confronté à un groupe nouveau ?
Une première réponse nous est fournie par l’analyse de la situation de groupe, elle-même. Celle-ci se révèle angoissante à plus d’un titre. Qui de nous n’a pas ressenti, plus ou moins confusément, le malaise engendré par le fait de se trouver confronté pour la première fois à un groupe nouveau, fait de visages inconnus.
Quels sont les phénomènes de groupe ?
Ce phénomène est à la fois instantané et premier. En effet, les autres phénomènes de groupe vont découler de la manière dont la communication va s’installer entre les individus, des modalités utilisées par les uns et les autres pour communiquer et surtout de ce que cela va susciter, suggérer ou provoquer. La communication engendre l’interaction.
UniversiteBlaisePascal
U.F.R.SciencesetTechnologies
DepartementdeMathematiquesetInformatique
LicencedeMathematiques
Troisiemeannee,U.E.35MATF2
ALGEBRE:GROUPESETANNEAUX1
Polycopieducours
2007-2008
FrancoisDumas
LicencedeMathematiques,3emeannee
U.E.35MATF2
Coursd'algebre:groupesetanneaux1
FrancoisDUMAS
Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions
1.Groupesetsous-groupes
2.Groupesmonog
enes,groupescycliques3.Morphismesdegroupes
4.Produitdirectdegroupes.
5.Groupessym
etriques6.Groupesdi
edrauxChapitre2.{Groupes:groupesquotients
1.Sous-groupesnormaux
3.Quelquescompl
ementsChapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions
1.Anneauxetsous-anneaux
2.Id eaux3.Anneauxquotients
4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux
1.Notionsg
en erales2.Arithm
etiquedanslesanneauxprincipaux3.Arithm
etiquedanslesanneauxfactoriels4.Factorialit
edesanneauxdepolyn^omesChapitre1
Groupes:lespremieresnotions
1.Groupesetsous-groupes
1.1Notiondegroupe
1.1.1D
1.1.2D
(A1)laloiestassociativedansG; (A2)laloiadmetunelementneutredansG;1.1.3D
1.1.4Exemples.
abelien. 1 multiplicative. conventionsx0=e,etxn=(xn)1. quelconqueestnecessairementunique. pourconclurequeGestungroupe.1.2Sous-groupe
C1.2.2D
sontveriees: laquelleHestlui-m^emeungroupe. 21.2.3Exemples.
sous-groupedeU.1.2.4Remarques.
sous-ensemblenon-vided'ungroupeG,alors groupeconnun'estpasunsous-groupe). sous-grouped'ungroupedejaconnu.1.2.5Exemples.
sous-groupedeGL(E),noteSL(E). touteslesbijectionsdeRsurR. sous-groupedeG. 3 groupesd'ungroupeG.PosonsK=T quiprouvequeKestunsous-groupedeG.ut1.3Casparticulierdesgroupesnis
1.3.1D
1.3.2Exemples.
C1.3.3Th
eor estni,etl'ordredeHdivisel'ordredeG. xh donchi=hjdonci=j). diagonaleprincipale.1.3.5Exemples.
4 11 111111
1jj2 11jj2 jjj21 j2j21j 1i1i 11i1i ii1i1 11i1i ii1i1 (b)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=0110;b=1001;c=0110.
G1eabc
eeabc aabce bbcea cceab (c)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=1001;b=1001;c=1001.G2eabc
eeabc aaecb bbcea ccbae2;1;2;3gavec:
e=(123123); =(123231); abelien. d'ordre3quiestfe; 2g. e 2123ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e
2.Groupesmonog
enes,groupescycliques2.1Sous-groupeengendreparunelement
2.1.1Propositionetd
deGcontenantX.2.1.2D
hxi=fxm;m2Zg. x x 5 x2.1.4D
d'entreeux.End'autrestermes: (xestd'ordrendansG),(xn=eetxm6=esi1m2.2Groupesmonogenes,groupescycliques.
2.2.1D
d'aprescequiprecede:G=fe;x;x2;x3;:::;xn1g.
groupemonogeneinniestmonogeneinni. parxdoun=dq. 62.3Generateursd'ungroupecyclique.
2.3.1Exemplepr
eliminaire. x danslecercleunite. deG,quicorrespondausegmentAD.Figure1
2.3.2Th
eor x2H,ilexisteu2Ztelquex=xku x2H,ilexisteu2Ztelquexku1=e x2H,ilexisteu;v2Ztelqueku+nv=1. eux,cequiachevelapreuve.ut N !Ndeniepar'(1)=1et,pourtoutentiern2:Pardenitionde',onpeutcalculer:
deGsontxetx1.2.4Groupesnisd'ordrepremier
1.Gestcyclique,
2.lesseulssous-groupesdeGsontfegetG,
7 dutheoreme2.3.2.ut3.Morphismesdegroupes
3.1Notiondemorphismedegroupes
3.1.1D
f(x:y)=f(x)f(y)pourtousx;y2G.3.1.2Exemples.
lamultiplication,car: det(AB)=detA:detB,pourtoutesA;B2GLn(R). (b)L'applicationexp:R!R degroupesdeRmunidel'additiondansR +munidelamultiplication,car: exp(x+y)=expx:expy,pourtousx;y2R. estunmorphismedegroupesdevientalors: f(x:y)=f(x):f(y)pourtousx;y2G, (ii)f(x1)=f(x)1,pourtoutx2G, (iii)f(xn)=f(x)n,pourtoutx2Gettoutn2Z. etsif:G!G0estunmorphismedegroupes,ona: ff(x);x2Hgestunsous-groupedeG0; sous-groupedeG. prouveleresultatvoulu.ut 8Preuve.Evidente,laisseeaulecteur.ut
3.2Imageetnoyau
3.2.1Propositionetd
appelel'imagedef,etnoteImf; noteKerf.3.2.2Propositionetd
(i)festsurjectivesietseulementsiImf=G0; x:y ainsimontree,cequiachevelapreuve.ut3.2.3Exemples.Reprenonslesexemples3.1.2.
(b)Lemorphismeexp:R!R cequiprouvequ'ilestaussiinjectif.3.3Isomorphismesdegroupes
3.3.1D
f1estunisomorphismedegroupesdeG0surG.
G,cequiachevelapreuve.ut
3.3.3D
3.3.4Remarquesimportantes.
decesderniersparf. 9 G realisationconcretequel'onrencontre.01;(01
10)gdeGL2(R)etudieen1.3.5.betle
01;(10
01)getudieen1.3.5.cneleurestpas
reellementd'unautregroupe.3.3.5Quelquescons
equencesaretenir. n.OnlenoteCn. deslorsquen6=m. p;c'estlegroupecycliqueCp. f:Z!G m7!xm etleurstablesrespectivessont:C4eabc
eeabc aabce bbcea cceab Veabc eeabc aaecb bbcea ccbae quidonnelapremieretable. 10 obtientlasecondetable. dontonadonnelatableen1.3.5.d.3.4Automorphismesdegroupes
3.4.1D
deGdansGquiestunebijectiondeGsurG. d'arriveeestlem^emequelegroupededepart. elle-m^emeunautomorphismedeG.3.4.2Exemples.L'application
:C!Cdenieparz7! (z)= zestunautomorphisme dugroupeCmunidel'addition;ilverie 1= .L'applicationc:R +!R +deniepar x7!c(x)=x2estunautomorphismedugroupeR +munidelamultiplication;sabijection reciproqueestl'automorphismec1:R +!R +deniparx7!c1(x)=px.3.4.3Propositionetd
f3.5Automorphismesinterieursetcentre.
3.5.1Propositionetd
efinition.SoitGungroupe. deG,appelelecentredugroupeG,etnoteZ(G):Z(G)=fx2G;gx=xgpourtoutg2Gg.
(ii)Lesous-groupeZ(G)estabelien. (iii)GestabeliensietseulementsiZ(G)=G. xLespoints(ii)et(iii)sontalorsevidents.
11 queZ(G)=T x2GC(x).3.5.3Propositionetd
efinition.SoitGungroupe. x(g)=xgx1pourtoutg2GPreuve.(i)Fixonsx2G.Pourtoutg2G,ona:
x1(x(g))=x1(xgx1)x=g=x(x1gx)x1=x(x1(g)). ona:Cequiachevelapreuve.
4.Produitdirectdegroupes.
4.1Produitdirect(externe)dedeuxgroupes
4.1.1Propositionetd
est(e1;e2). 124.1.2Remarques.Ilestclairque:
desexemples.4.2.2Premierexempleintroductif.
satable. e=(e;e),a=(e;x),b=(x;e)etc=(x;x).DoncC2C2n'estpascyclique.
(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;e)(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;x)(e;x)(e;e)(x;x)(x;e) (x;e)(x;e)(x;x)(e;e)(e;x) (x;x)(x;x)(x;e)(e;x)(e;e)4.2.3Secondexempleintroductif.
Onetablitaisementsatable.
(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (e;")(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (x;y)(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;") (e;y2)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y) (x;")(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2) (e;y)(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;") (x;y2)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)OnconclutqueC2C3'C6estcyclique.
4.2.4Th
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