[PDF] Dénombrement

View - Download Dénombrement

Previous PDF

Next PDF

Dénombrement

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 Les ensembles finis2

1.1 Un peu de vocabulaire

2

1.2 Premiers résultats de dénombrement

3

2 Dénombrement sur des listes

3

2.1 Liste avec répétitions

3

2.2 Nombre de parties d"un ensemble ànéléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Permutations d"un ensemble

4

2.4 Liste sans répétition

4

3 Combinaisons5

3.1 Définition - Nombre de combinaisons

5

3.2 Quelques propriétés

6

Liste des tableaux

1 Utiliser la calculatrice pour des factorielles.

4

2 Utiliser la calculatrice pour des combinaisons.

6

3 Triangle dePascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 ?

Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

1 LES ENSEMBLES FINIS

En préliminaire au cours :

Activités : Activités 1

1et 22page 336 [Magnard]

1 Les ensembles finis

1.1 Un peu de vocabulaireDéfinition :On dit qu"un ensemble estfini s"il p ossèdeun nom brefini d"élémen ts.Exemples :

1.

L"ensem bleE={a;b;c}estfini .

2. Les ensem blesN,Zou[0; 1]sontinfinis .Définitions :

On app elle

partie Fd"un ensembleEtout ensembleFtel quetous les élémen tsde Fsoient aussi des éléments deE.

On dit alors queFest inclus dansEet on noteF?E.

On app elle

in tersection d esensem blesAetBl"ensemble des nombres appartenantau xdeux en- sembles à la fois , c"est-à-dire à l"ensembleAetà l"ensembleB. Cet ensemble est notéA∩B. Le symbole∩se lit" in ter» .

On app elle

réunion en semblesAetBl"ensemble des nombres appartenantà l"un au moin sdes deux ensembles c"est-à-dire à l"en sembleAouà l"ensembleB.

Cet ensemble est notéA?B. Le symbole?se lit" union » .Exemples :SoitE={a;b;c;d;e;f;g}un ensemble.

A={a;b;d;f};B={b;c;d;e};C={c;e}etD=?sont des parties deE. -A∩B={b;d}etA?B={a;b;c;d;e;f} -A∩C=?. On dit queAetCsontdisjoin ts. -C?B.

Remarques :

1.?etEsont aussi des parties de l"ensembleE.

2. Une partie à 1 élémen t est app elé si ngleton 3. Une partie à 2 élémen ts est app elé u nepaire 4.

Il n"y a

pas de notion d"or dre p ourune partie d"un ensem ble.P arexemple, {a;b}={b;a}. 5.

Les élémen tss ont

tous distincts

. La notation{a;a}n"a pas de sens.Définition :On appellep-upletou p-listed"un ensem bleEune collectionordonnée d"ob jetsqu"on app elle,

selon les cas éléments, coordonnées ou termes. Unp-uplet s"écrita vecdes paren thèses.Exemples :SoitE={a;b;c;d;e;f;g}un ensemble. -(a, b);(c, d)et(c, g)sont des 2-uplets, aussi appeléscouples . -(c, e, a)est un 3-uplet outriplet .

Remarque :

1.

Cette fois, l"

ordre intervient : (a, b)?= (b, a); 2.

Les ob jets

p euventêtre iden tiques : le couple (a, a)existe.Définition :Produit cartésien

SoitEetFdeux ensembles.

L"ensembleE×F, appelé produit cartésien, est l"ensemble descouples (x, y)tels quex?Eety?F.Exemples :

1.

Si E={1; 2;3}etF={a;b}alors :

E×F={(1, a) ; (1, b) ;(2, a) ; (2, b) ;(3, a) ; (3, b)}1. Construire des ensembles avec un ensemble.

2. Construire desp-listes avec un ensemble

2

2 DÉNOMBREMENT SUR DES LISTES 1.2 Premiers résultats de dénombrement

2.

P ourn oterdes

co ordonnéesdans un rep èredu plan , on a(x, y)?R×R,ou plus simplement (x, y)?R2. 3.

P ournoter des

co ordonnéesdans un rep èrede l"espace , on a(x, y , z)?R×R×R,ou plus simple- ment(x, y , z)?R3. Exercices :1, 2 page 339 et 26, 27, 28 page 3483[Magnard]

1.2 Premiers résultats de dénombrement

Dénombrer

, c"est déterminer le nom bred "élémentsd"un ensem ble . Depuis le collège, différentes techniques de dénombrement ont déjà été vues : tableau double-en trée diagramme de Venn,arbres ... On peut ajouter les deux résultats suivants :Propriété :Principe additif et multiplicatif SoitEun ensemble ànéléments etFun ensemble àpéléments. Principe additif :SiEetFsontd isjoints, alors l"ensembleE?Fcontientn+péléments.

Principe multiplicatif :L"ensembleE×Fcontientn×péléments.Exercices :3, 4 page 339; 25 page 347 et 31, 32 page 348 et 67 page 3524- 49, 51 page 350 et 65 page

352

5- 50, 53 page 350 et 66 page 3526- 13, 14 page 344 et 23 page 3477- 43 page 3498[Magnard]

2 Dénombrement sur des listes

Activité :3 page 3379[Magnard]

2.1 Liste avec répétitionsThéorème :SoitEun ensemble fini denéléments etpun entier naturel non nul.

Le nom brep-upletsde Eestnp.Remarque :Autrement dit, l"ensembleEpcomportenpéléments.

Exemple :On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et à chaque lancer, on note P pour " Pile » et

F pour " Face ».

On aE={P;F}et chaque série de trois lancer est un triplet (d"éléments non distincts) deE3. Par

exemple, (P,P,F), (F,P,P), (P,F,F), etc.

Le nombre de séries de trois lancers est23= 8.

Remarque :Le cas typique d"application de ce théorème est celui d"untirage successif 10avec remise11de

pboules parmin. Exercices :34, 35 page 348 et 36, 37 page 34812[Magnard]

2.2 Nombre de parties d"un ensemble ànélémentsThéorème :Lenom brede parties d"un ensem bleEànéléments est2n.3. Utiliser le vocabulaire.

4. Utiliser un diagramme deVenn.

5. Utiliser un arbre.

6. Utiliser un tableau double-entrée.

7. Choisir une représentation adaptée.

8. Utilisation du principe multiplicatif.

9. Construire des arbres.

10. pour avoir un ordre.

11. pour avoir toutes les listes possibles, avec éventuellement des répétitions.

12. Tirages successifs avec remise.

3

2.3 Permutations d"un ensemble 2 DÉNOMBREMENT SUR DES LISTES

Démonstration :

On noteE={e1;e2;e3;...;en}.

À chaque partie deE, on associe unn-uplet de l"ensemble{0; 1}en utilisant la règle suivante :

" Sieiest dans la partie deEconsidéré, lei-ème terme dun-uplet sera 1. Sinon, il sera 0. »

On associe ainsi par exemple la partie{e1;e3}aun-uplet(1,0,1,0,...,0).

Déterminer le nombre de parties deErevient donc à déterminer le nombre den-uplets de l"ensemble

à 2 éléments{0; 1}, c"est donc2n.

2.3 Permutations d"un ensembleDéfinition :SoitEun ensemble fini denéléments.

On appelle

p ermutation

de Etoute liste desnéléments distincts deE.Remarque :Il s"agit donc den-uplets deE, avec des éléments tous distincts.Définition :Soitnun entier naturel non nul.

On appelle

factorielle net on noten!le nombre suivant : n! =n×(n-1)×(n-2)× ··· ×2×1

Par convention, on prendra0! = 1.RemarqueOn peut utiliser la calculatrice pour déterminer des factorielles. Voir le tableau1 .Table1 - Utiliser la calculatrice pour des factorielles.

Exercices :18, 19, 24 page 34713[Magnard]Théorème :SoitEun ensemble fini denéléments. Le nom brede p ermutations de Eestn!.Exemple :On classe cinq concurrents sans ex-aequo. On aE={A;B;C;D;E}chaque tirage correspond à une liste des 5 éléments deE. Par exemple (B;C;A;E;D). Le nombre classements différents est5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Remarque :Le cas typique d"application de ce théorème est celui d"untirage successi f14sans remise15

desnboules d"un sac.

Exercices :39, 41, 42, 45 page 34916[Magnard]

Le nom brede listes de pélémentsdistincts de Eest : n×(n-1)× ··· × ×(n-p+ 1) =n!(n-p)!13. Calculer avec des factorielles.

14. pour avoir un ordre.

15. pour ne garder que les listes sans répétitions.

16. Permutations d"un ensemble.

4

3 COMBINAISONS

Exemple :On tire sans remise 3 boules dans une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5.

On aE={1; 2; 3; 4; 5}et chaque tirage correspond à une liste de 3 éléments deE(tous distincts).

Par exemple,(2,5,3),(1,4,2), etc.

Le nombre de tirages successifs sans remise de 3 boules parmi 5 est :

5!(5-3)!=5!2!

= 5×4×3 = 60

Remarque :Le cas typique d"application de ce théorème est celui d"untirage successif 17sans remise18de

pboules parmin. Exercices :38, 40, 44 page 34919- 5,6, 7, 8 page 341; 68, 69, 70 page 35220[Magnard]

3 Combinaisons

On appelle

com binaison de péléments deEtoute partie deEcontenantpéléments. Le nom brede com binaisons de péléments d"un ensemble ànéléments est noté?n p? , ce qui se lit "p

parmin».Remarque :Contrairement aux listes,il n"y a pas de notion d"ordre p ourle scom binaisons.P arexemple,

siE={a;b;c;d;e}, la combinaison{a;b;c}peut aussi s"écrire{a;c;b}ou{b;c;a}.

Exemples :

-?n 0? = 1, car il y a une seule partie d"un ensembleEà zéro élément (l"ensemble vide); ?n n? = 1, car il y a une seule partie d"un ensembleEànélément (l"ensembleElui-même); ?n 1? =n, car il y anparties d"un ensembleEà1élément; ?n n-1? ?n p?

=n!p!(n-p)!=n(n-1)(n-2)...(n-p+ 1)p!Remarques :Le cas typique d"application de ce théorème est celui d"untirage sim ultané21depboules

parmin. Exemple :Le nombre de combinaisons de3éléments d"un ensemble à5éléments est : ?5 3? =5!3!(5-3)!=5!3!2! =5×4×33×2×1= 10

Remarque :On peut utiliser la calculatrice pour calculer un nombre de combinaisons. Voir le tableau2 .

Exercices :20 page 34722- 9, 10, 11, 12 page 34323- 53, 54, 55, 57 page 350; 58, 60 page 35124- 71, 72,

74, 75 page 352 et 76 page 352

25[Magnard]17. pour avoir un ordre.

18. pour ne garder que les listes sans répétitions.

19. Tirages successifs sans remise.

20. Choisir une formule adaptée.

21. pour ne pas avoir d"ordre.

22. Calculer avec des combinaisons.

23. Dénombrer avec des combinaisons.

24. Tirages simultanés.

25. Choisir une formule adaptée.

5

3.2 Quelques propriétés 3 COMBINAISONS

Table2 - Utiliser la calculatrice pour des combinaisons.

3.2 Quelques propriétésPropriété 1 :Soitnun entier naturel.

1. ?n n-p? =?n p? 2. ?n-1 p-1? +?n-1 p? =?n p?Démonstration : 1.?n n-p? p? 2. ?n-1 p-1? +?n-1 p?

Or,p! =p×(p-1)!et(n-p)! = (n-p)×(n-p-1)!

Le dénominateur commun est doncp!(n-p)!

?n-1 p-1? +?n-1 p? =p(n-1)! + (n-p)(n-1)!p!(n-p)! [p+ (n-p)](n-1)!p!(n-p)! n(n-1)!p!(n-p)!=n!p!(n-p)!=?n p?

Exemple :

?3 1? =?2 0? +?2 1? = 1 + 2 = 3 Remarque :En particulier, la deuxième formule permet de calculer?n p? de proche en proche. Les résultats sont détaillés dans le tableau 3 , appelé triangle dePascal.p n012345 01 111
2121
31331

414641

515101051

Table3 - Triangle dePascal

6 RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESPropriété 2 :Soitnun entier naturel. ?n 0? +?n 1? +...?n n-1? +?n n? =n? k=0? n k? = 2 nDémonstration : On a déjà vu que le nombre de parties d"un ensemble ànéléments est2n. Or, le nombre de parties à 0 élément est?n 0? , le nombre de parties à 1 élément est?n 1? , et plus généralement le nombre de parties àkéléments est?n k? En faisant la somme de toutes ces parties, on retrouve toutes les parties de l"ensembleEdonc : ?n 0? +?n 1? +...?n n-1? +?n n? =n? k=0? n k? = 2 n

Exercices :77, 78, 80 page 35326[Magnard]

Références

[Magnard]

Maths Tle Sp écialité,Magnard, 2020

2 3 4 5

7 26. Quelques démonstrations

7quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] developpement construit

[PDF] influence des conditions du milieu sur la reproduction du hibou moyen duc

[PDF] hopital jacques monod le havre

[PDF] ghh

[PDF] organigramme de l'oréal

[PDF] document de référence l'oréal 2013

[PDF] document de référence l'oréal 2016

[PDF] rapport annuel l'oréal 2016

[PDF] document de référence l'oréal 2014

[PDF] présentation de l'oréal

[PDF] bilan social l'oréal 2014

[PDF] rapport annuel loréal 2014

[PDF] course de travail musculaire

[PDF] mouvement analytique définition

[PDF] exercice renforcement musculaire sans matériel