[PDF] Baccalauréat S 2017 Lintégrale davril à novembre 2017

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?Baccalauréat S 2017?

L"intégrale d"avril à novembre 2017

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bleus

Pondichéry 26 avril 2017

Amérique du Nord 2 juin 2017

..................................10

Liban 5 juin 2017

Centres étrangers 13 juin 2017

.................................21

Polynésie 14 juin 2017

Antilles-Guyane16 juin 2017

...................................32

Métropole 21 juin 2017

Asie 22 juin 2017

Polynésie 5 septembre 2017

....................................52

Antilles-Guyane7 septembre 2017

.............................56

Métropole 12 septembre 2017

..................................60

Amérique du Sud 21 novembre 2017

............................67

Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2017

........................73

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2018

...............................78

À la fin index des notions abordées

À la fin de chaque exercice cliquer sur*pour aller à l"index Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. 2

Durée : 4 heures

?Baccalauréat S Pondichéry 26 avril 2017?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Les partiesA,BetCpeuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l"exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. Lachocolaterie "Choc"o»fabriquedestablettes dechocolat noir, de100 grammes, dontlateneur en cacao annoncée est de 85%.

PartieA

À l"issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commer-

cialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

•la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu"une tablette de chocolat soit commercia-

lisable est égale à 0,98. •la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu"une tablette de chocolat soit commer- cialisable est 0,95. À la fin d"une journée de fabrication, on prélève au hasard unetablette et on note : Al" évènement : "la tablette de chocolat provient de la chaînede fabrication A»; Cl"évènement : "la tablette de chocolat est commercialisable». On notexla probabilité qu"une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1.Montrer queP(C)=0,03x+0,95.

2.À l"issue de la production, on constate que 96% des tablettessont commercialisables et on

retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu"une tablette soit commercialisable. Justifier quela probabilitéquelatablette provienne delachaîne Best deuxfois égaleàcelle que la tablette provienne de la chaîne A.

PartieB

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d"une tablette de chocolat. Sa durée de

vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoireZsuivant une loi exponentielle de

paramètreλ.

1.La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.Déterminer le paramètreλde la loi exponentielle.

2.CalculerP(Z>2).

3.Sachant que la machine de l"atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabi-

lité que sa durée de vie dépasse 5 ans?

PartieC

On noteXla variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d"une ta- blette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d"espérance

μ=85 et d"écart typeσ=2.

1.CalculerP(83 Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2% du pourcen- tage annoncé sur l"emballage?

2.Déterminer une valeur approchée au centième du réelatel que :

P(85-a Interpréter le résultat dans le contexte de l"exercice. Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P.

3.La chocolaterie vend un lot de 10000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande

distribution. Elle affirme au responsable achat de l"enseigne que, dans ce lot, 90% des ta- blettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l"intervalle [81,7; 88,3].

Afin de vérifier si cette affirmation n"est pas mensongère, le responsable achat fait prélever

550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas

au critère.

Au vu de l"échantillon prélevé, que peut-on conclure quant àl"affirmation de la chocolate-

rie?

EXERCICE23 points

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct?

O,-→u,-→v?

1.On considère l"équation

(E):z2-6z+c=0 oùcest un réel strictement supérieur à 9. a.Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. b.Justifier que les solutions de (E) sontzA=3+i? c-9 etzB=3-i?c-9.

2.On note A et B les points d"affixes respectiveszAetzB.

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

3.Démontrer qu"il existe une valeur du réelcpour laquelle le triangle OAB est rectangle et

déterminer cette valeur.

EXERCICE34 points

Commun à tous les candidats

à flanc de montagne.

Après étude géologique, l"entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :

dans un repèreorthonormal, d"unité 2 m, la zonede creusement est la surface délimitée par l"axe

des abscisses et la courbeC. montagne zone de creusement C O -→u-→ v On admet queCest la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [-2,5 ; 2,5] par : f(x)=ln?-2x2+13,5?.

Pondichéry426 avril 2017

Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P.

L"objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètrecarré près, de l"aire de la zone de

creusement.

PartieA : Étude de la fonctionf

1.Calculerf?(x) pourx?[-2,5 ; 2,5].

2.Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonctionfsur [-2,5 ; 2,5].

En déduire le signe defsur [-2,5 ; 2,5].

PartieB : Aire de la zonede creusement

On admet que la courbeCest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées du repère.

1.La courbeCest-elle un arc de cercle de centre O? Justifier la réponse.

2.Justifier que l"aire, en mètre carré, de la zone de creusementest

A=8? 2,5 0 f(x)dx.

3.L"algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de

I=? 2,5 0 f(x)dx, notéea.

On admet que :a?I?a+f(0)-f(2,5)

n×2,5. a.Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pourRetSlors de l"exécution de l"algorithme pourn=50. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

b.En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l"aire de la zone de creuse-

ment.

EXERCICE45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

On considère deux suites

(un)et(vn): •la suite(un)définie paru0=1 et pour tout entier naturel n:un+1=2un-n+3; •la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=2n.

PartieA : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l"aide d"un tableur.

Une copie d"écran est donnée ci-dessous.

ABC

1rangntermeuntermevn

2011
3152
42124
53258

645016

1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le

bas les termes des deux suites?

2.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

Pondichéry526 avril 2017

Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P.

121030801024

131161532048

1412122984096

15l3245878192

Conjecturer les limites des suites(un)et?unvn?

PartieB : Étude de la suite

(un)

1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a

u n=3×2n+n-2.

2.Déterminer la limite de la suite(un).

3.Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

PartieC : Étude de la suite

?un vn?

1.Démontrer que la suite?un

vn? est décroissante à partir du rang 3.

2.On admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 4, on a : 0

2n?1n.

Déterminer la limite de la suite

?un vn?

EXERCICE45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

On définit les suites

(un)et(vn)par : u

0=v0=1et, pour tout entier natureln,un+1=2un+3vnetvn+1=2un+vn.

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

PartieA : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l"aide d"un tableur.

Une copie d"écran est donnée ci-dessous.

ABC

1rangntermeuntermevn

2011
3153

421913

537751

64307205

1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le

bas les termes des suites?

2.Soitnun entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD

(un;vn). Aucune justification n"est demandée.

3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

12101258291838861

13Il50331653355443

14122013265913421773

15138053063753687091

Pondichéry626 avril 2017

Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P.

Elle émet la conjecture : "la suite?unvn?

converge».

Qu"en penser?

PartieB : Étude arithmétique

1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :

2un-3vn=(-1)n+1.

2.Soitnun entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD (un;vn).

PartieC : Étude matricielle

Pour tout entier natureln, on définit :

•la matrice colonneXn=?un

v n?

•les matrices carréesP=?1 3

-1 2? etQn=?(-1)n3×22n (-1)n+122n+1?

1. a.Montrer que la matrice1

5? 2-3 1 1? est l"inverse deP. b.On admet que, pour tout entier natureln, on aXn=QnP-1X0. Démontrer que, pour tout entier natureln, on a???????u n=(-1)n+1+3×22n+1 5 v n=(-1)n+22n+2 5

2. a.Vérifier que, pour tout entier natureln, on aun

vn=(-1)n+1

22n+1+3

(-1)n

22n+1+2.

b.En déduire la limite de la suite?un vn?

EXERCICE53 points

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe.

L"espace est rapporté au repère?

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

On notePle plan d"équationx+1

2y+13z-1=0.

Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le planP. La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Pondichéry726 avril 2017

Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. ANNEXE à compléteret à remettreavecla copie

EXERCICE 3

Variables

RetSsont des réels

netksont des entiers

Traitement

Sprend la valeur 0

Demander la valeur den

Pourkvariant de 1 ànfaire

Rprend la valeur2,5n×f?2,5n×k?

Sprend la valeurS+R

Fin Pour

AfficherS

Le tableau ci-dessous donne les valeurs deRet deS, arrondies à 10-6, obtenues lors de l"exécu- tion de l"algorithme pourn=50.

InitialisationS=0,n=50

Boucle PourÉtapekRS

1......

20,1300600,260176

30,1299680,390144

40,129837...

240,1181373,025705

250,1169703,142675

490,0201065,197538

50......

AffichageS=...

Pondichéry826 avril 2017

Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. ANNEXE à compléter età remettre avecla copie

EXERCICE 5

A B CDE F GH

Pondichéry926 avril 2017

Durée : 4 heures

?Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2017?

Exercice15 points

Commun à tous les candidats

Dans tout l"exercice, les valeurs seront, si nécessaire,approchées au millième.

Les partiesAetBsont indépendantes.

PartieA

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les

montants decesdevis sont calculés par son secrétariat.Uneétude statistique sur l"année écoulée

conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoireXqui suit la loi normale d"espéranceμ=2900 euros et d"écart-typeσ=1250 euros.

1.Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l"entreprise, quelle est la probabi-

lité que le montant du devis soit supérieur à 4000 euros?

2.Afin d"améliorer la rentabilité de son activité, l"entrepreneur décide de ne pas donner suite

à 10% des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit

être le montant minimum d"un devis demandé pour que celui-cisoit pris en compte?

Donner ce montant à l"euro près.

PartieB

Ce même entrepreneur décide d"installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages

indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dansun fichier

appelé "dossier spam». Le fabricantaffirmeque 95% desspamssont déplacés. Deson côté, l"en-

trepreneur sait que 60% des messages qu"il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel,

il constate que 58,6% des messages sont déplacés dans le dossier spam. Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

•D: "le message est déplacé»;

•S: "le message est un spam».

1.CalculerP(S∩D).

2.On choisit au hasard un message qui n"est pas un spam. Montrerque la probabilité qu"il

soit déplacé est égale à 0,04.

3.On choisit au hasardun message nondéplacé. Quelle est la probabilitéque ce message soit

un spam?

4.Pour le logiciel choisi par l"entreprise, le fabricant estime que 2,7% des messages dépla-

cés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l"efficacité du logiciel, le

secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés. Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une se- maine. Ces résultats remettent-ils en cause l"affirmation du fabricant?

Exercice25 points

Commun à tous les candidats

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L"ouverture du

mur d"enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué

de deux vantaux de largeuratelle que 0Cette portion de courbeest une partie de la représentation graphique de la fonctionfdéfinie sur

[-2 ; 2] par : f(x)=-b 8? ex b+e-xb? +94oùb>0.
Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives (-a;f(-a)), (a;f(a)), (a; 0) et (-a; 0) et on note S le sommet de la courbe def, comme illustré ci-contre.

1 2-1-21

2 A B CDS

PartieA

1.Montrer que,pour toutréelxappartenant àl"intervalle [-2; 2],f(-x)=f(x).Quepeut-on

en déduire pour la courbe représentative de la fonctionf?

2.On appellef?la fonction dérivée de la fonctionf. Montrer que, pour tout réelxde l"inter-

valle [-2 ; 2] : f ?(x)=-1 8? ex b-e-xb?

3.Dresser le tableau de variations de la fonctionfsur l"intervalle [-2 ; 2] et en déduire les

coordonnées du point S en fonction deb.

PartieB

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2m du sol. On cherche alors les valeurs deaetb.

1.Justifier queb=1.

2.Montrer que l"équationf(x)=1,5 admet une unique solution sur l"intervalle [0 ; 2] et en

déduire une valeur approchée deaau centième.

3.Dans cette question, on choisita=1,8 etb=1. Le client décide d"automatiser son por-

tail si la masse d"un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la

fabrication des vantaux est égale à 20 kg.m -2. Que décide le client?

PartieC

On conserve les valeursa=1,8 etb=1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes

deplanches prédécoupées : soit un rectangleOCES, soit un trapèze OCHG comme dans les sché-

mas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) estla tangente à la courbe représen-

tative de la fonctionfau point F d"abscisse1. OS E B C vantailOS G H B C vantail Forme 1 : découpe dans un rectangle Forme 2 : découpe dans un trapèze

Amérique du Nord112 juin 2017

Baccalauréat S : l"intégrale 2017A. P. M. E. P. La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

Évaluer l"économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la

forme 1. On rappelle la formule donnant l"aire d"un trapèze. En notant b et B respectivement les longueurs

de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et h la hauteur du trapèze :

Aire=b+B

2×h.

Exercice35 points

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d"étudier les suites de termes positifs dont le premier termeu0est

strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier natureln>0, la

On admet qu"une telle suite existe et on la note

(un). Elle vérifie donc trois propriétés :

•u0>1,

•pour toutn?0,un?0,

•pour toutn>0,u0+u1+···+un-1=u0×u1×···×un-1.

1.On choisitu0=3. Détermineru1etu2.

2.Pour tout entiern>0, on notesn=u0+u1+···+un-1=u0×u1×···×un-1.

On a en particuliers1=u0·

a.Vérifier que pour tout entiern>0,sn+1=sn+unetsn>1. b.En déduire que pour tout entiern>0, u n=sn sn-1. c.Montrer que pour toutn?0,un>1. a.Recopier et compléter la partie traite- ment de l"algorithme ci-contre. b.Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième deunpour diffé- rentes valeurs de l"entiern: n0510203040 un31,1401,0791,0431,0301,023

Quelle conjecture peut-on faire sur la

convergence de la suite(un)?

Entrée: Saisirn

Saisiru

Traitement:sprend la valeuru

Pouriallant de 1 àn:

uprend la valeur ... sprend la valeur ...

Fin Pour

Sortie: Afficheru

4. a.Justifier que pour tout entiern>0,sn>n.

b.En déduire la limite de la suite(sn)puis celle de la suite(un).

Exercice45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

Un particulier s"intéresse à l"ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand

le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un

repère orthonormé?

O,-→ı,-→?,-→k?

. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires

SEF et SFG.

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