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Le cours de Mécanique des Structures (1ère partie) expose les méthodes d’analyse globale des structures constituées de barres prismatiques à axe rectiligne On utilise le terme barre dans son sens structural générique
Quels sont les objectifs de la mécanique des structures ?
Cours de mécanique des structures Chapitre 1: Introduction à l’analyse des structures La statique a pour objectif l’étude des forces indépendamment du mouvement. La statique étudie ainsi les conditions d’ équilibre des forces appliqués au corps. On dit aussi que la statique étudie l’équilibre des corps.
Qu'est-ce que le mécanicien structure ?
Le mécanicien structure est le spécialiste des réparations et des assemblages des différents éléments de la structure d’un aéronef. Il s’occupe non seulement de la maintenance de la structure d’un avion, mais est également appelé à effectuer des réparations ponctuelles.
Quels sont les principes de la mécanique générale ?
Cet ouvrage de mécanique générale traite plus particulièrement des principes de conservations (mmasse, cinétique, quantité de mouvement, énergie). La méthode de Lagrange, la recherche des positions d'équilibre, les mouvements stationnaires et leur stabilité sont également présentés. Un chapitre traite des chocs élastiques.
Comment réaliser une structure mécanique ?
Les parties de la structure mécanique sont réalisées grâce à une imprimante 3D avec des fichiers fournis (fichiers en format STL). Vous pourrez le cas échéant adapter sous SketchUp (les fichiers en format SKP) s’il vous venait l’envie de modifier, par exemple, les dimensions du robot.
Dynamique des Solides et des
Structures
5 i`eme´edition octobre 2016Sylvain Drapier
D ´epartement M´ecanique et Proc´ed´es d"ElaborationCentre Science des Mat
´eriaux et des Structures & UMR CNRS 5146
Ecole Nationale Sup´erieure des Mines de Saint-´Etienne158, cours Fauriel
42023 Saint-
´Etienne Cedex 2
bureau J3-15, t´el :00-79
2Introduction g
´en´eraleDans les probl
`emes trait´es dans le cadre de la m´ecaniquestatiquedes solides et des structures, on suppose que le chargement impos´e (d´eplacement, efforts, temp´erature,
...) passe progressivement de sa valeur initiale `a sa valeur finale faisant ainsi passer le milieu sollicit ´e d"une configuration initiale`a sa configuration finale. Les param`etresa calculer (contraintes, d´eformations, d´eplacements, r´eactions, ...) sont relatifs`a l"´etat
final fixe et par cons´equentne d´ependent pas du temps.
Dans le cadre de ladynamiqueau contraire les chargements impos´es, ainsi que les propri ´et´es g´eom´etriques et mat´eriaux, peuventvarier dans le temps. De plus, mˆeme dans la configuration initiale le milieu peut ˆetre caract´eris´e par des fonctions du temps.Les param
`etres`a calculer sont donc´egalement des fonctions du temps, et de nou- velles grandeurs apparaissent pour caract ´eriser lemouvement, c"est-`a-dire la variation de configuration dans le temps. Ce sont les param `etres cin´ematiques tels que lesvi-tesses, lesacc´el´erations, lesfr´equences, ... qui n"existent pas dans le cas de la statique.
Ce document est le support du cours consacr
´e`a ladynamique des corps rigides et
des corps d ´eformables. Ce cours se d´ecompose en 4 grandes parties compl´et´ees par des annexes consacr ´ees aux rappels sur la m´ecanique g´en´erale, la transform´ee de Laplace, et le calcul des variations.Dans la partie 1, apr
`es une introduction de la dynamique des corps, l"exemple le plus simple de syst `eme m´ecanique sera´etudi´e.´A travers cetoscillateur´el´ementaire, les grands types de r ´eponse dynamiques seront mis en´evidence. Le comportement de cette structure discr `ete`a un degr´es de libert´e (ddl) sera´etendu dans la partie 3 aux syst `emes`an ddlen utilisant les r´esultats et m´ethodes introduits dans la partie2 consacr
´ee`a laDynamique analytique des syst`emes discrets. Finalement, le cas des solides d ´eformables sera trait´e dans la partie 4, en utilisant les r´esultats´etablis pour les corps ind ´eformables, compl´et´es par les notions connues dem´ecanique des milieux iii iv continus. La fin de cette partie sera consacr´ee`a l"Approximation des syst`emes continus par des m´ethodes cin´ematiques.
v Visualisation du premier mode propre de vibration d"un mod `ele de Rafale A. LogicielELFINI de Dassault Aviation
Propagation d"une onde de compression dans une barre suite `a un choc`a son extr ´emit´e libre (a et b) et r´eflexion de cette onde (c et d). Logiciel Abaqus. viTable des mati
`eresI Connaissances de base : Rappels et oscillateur´el´ementaire1
1 Introduction
`a la dynamique des structures51.1 Objectif et champ d"application
51.2 Sources d"excitation, r
´eponse des structures. . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Sources d"excitation
61.2.2 R
´eponse des structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Exemples introductifs - Rappels G
´en´eraux9
2.1 Syst
`eme m´ecanique ferm´e - Application`a un syst`eme masse-ressort`a 1 ddl 92.1.1 Mise en
´equation du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 R
´eponse du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Syst
`eme m´ecanique forc´e et ph´enom`ene de r´esonance - Application`a un syst `eme masse-ressort amorti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Mise en
´equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 R
´eponse du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Interpr
´etation physique de la r´esonance. . . . . . . . . . . . 163 Interpr
´etation du comportement de l"oscillateur´el´ementaire193.1 Principe de d"Alembert
193.2 L"oscillateur
´el´ementaire de la dynamique et sa fonction de transfert. 20 3.2.1 ´Equations du mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Fonction de transfert et r
´eponse impulsionnelle. . . . . . . . 20
3.3 R ´eponse g´en´erale de l"oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1 ´Etude des r´egimes libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Exemples de r
´egimes forc´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II Dynamique analytique des syst
`emes discrets291 Principe des travaux virtuels
31vii viiiTABLE DES MATI`ERES1.1 Cas du point mat ´eriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2 Les contraintes cin
´ematiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.1 Liaisons holon
ˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.2 Liaisons non-holon
ˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3 Notion de coordonn
´ee g´en´eralis´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Principe de Hamilton -
´Equations de Lagrange39
2.1 ´Energies potentielles et cin´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 ´Enonc´e du principe de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Forme propos
´ee par Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.1 Structure de l"
´energie cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.2 Conservationdel"
2.4 Classification des forces g
´en´eralis´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.1 Forces int
´erieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.2 Forces ext
´erieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 ´Equations de Lagrange dans le cas g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . 48III Oscillations des syst
`emes`a N degr´es de libert´e531 Concepts de stabilit
´e des´equilibres57
1.1 D ´efinition d"un´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.2 Petites oscillations autour d"une configuration d"
´equilibre. . . . . . . 58
1.3 Stabilit
´e d"un´equilibre param´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.4 Lin
´earisation des´energies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.5 ´Equations des oscillations libres - Lin´earisation du pendule double avec ressort de rappel 612 Modes normaux de vibration
632.1 K et M-Orthogonalit
´e des modes propres. . . . . . . . . . . . . . . . 642.2 Oscillations libres r
´esultant de conditions initiales non-homog`enes. . 662.2.1 Exemple de calcul modal : Pendule double avec masses ponc-
tuelles 672.3 D ´ecomposition modale d"un vecteur quelconque ou d"une matrice. . 69
2.3.1 Exemple : Pendule triple
702.3.2 Exemple de calcul modal : Syst
`eme`a 2 masses et ressorts de rappel 712.4 R ´eponse harmonique forc´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.1 Analyse en l"absence de modes rigides
752.4.2 Application au syst
`eme de 2 masses et ressorts. . . . . . . . 772.4.3 Syst
`eme poss´edant des modes rigides. . . . . . . . . . . . . 79 2.5 R ´eponse`a une sollicitation quelconque ext´erieure. . . . . . . . . . . 80TABLE DES MATI
`ERESix2.6 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.1 Analogie avec l"oscillateur
´el´ementaire. . . . . . . . . . . . 81
2.6.2 Signification physique
822.6.3 Domaine temporel
822.6.4 Application au syst
`eme`a 2 masses + ressorts. . . . . . . . . 83 3 M ´ethodes variationnelles de caract´erisation des valeurs propres853.1 Le quotient de Rayleigh
863.1.1 Recherche it
´erative des modes et valeurs propres. . . . . . . 873.1.2 Application au pendule double avec masses ponctuelles
913.2 Modes et fr
´equences propres de vibration d"un syst`eme soumis`a des contraintes : principe de monotonic 944 Oscillations amorties des syst
`emes`andegr´es de libert´e974.1 Oscillations amorties en terme de modes propres du syst
`eme conser- vatif associ ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2 Analyse des syst
`emes amortis visqueux dans l"espace d"´etat. . . . . 100 4.2.1 ´Etude du cas homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.2 ´Etude du cas non homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2.3 R
´eponse`a une excitation harmonique. . . . . . . . . . . . . 102IV Syst
1051
´Equilibre dynamique des milieux continus109
1.1 Principe de Hamilton
1091.2 ´Equations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.3 Propagation d"ondes dans un milieu
´elastique - Notions de base. . . . 113
1.3.1 ´Equations de Navier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.3.2 Ondes
´elastiques planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151.3.3 Ondes de surface
1162 Vibration des poutres et des barres
1192.1 Introduction
1202.2 ´Equations de la dynamique des poutres droites`a plan moyen. . . . . 122 2.2.1 ´Equilibre`a partir du PPV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.2.2 ´Equations de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Barre en extension
1252.3.1 ´Equations de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.3.2 ´Ecriture directe du principe de Hamilton. . . . . . . . . . . 126
2.3.3 Modes et fr
´equences propres de vibration, cas encastr´e-libre. 127 xTABLE DES MATI`ERES2.3.4 Remarque concernant la solution g´en´erale. . . . . . . . . . . 128
2.3.5 R
´eponse d"une barre sollicit´ee`a son extr´emit´e. . . . . . . . . 1292.4 Vibrations transversales d"une corde
1322.4.1 ´Equations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.4.2 Corde attach
´ee`a ses deux extr´emit´es. . . . . . . . . . . . . . 1342.5 Vibrations libres d"une poutre en flexion simple
1352.5.1 ´Equations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.5.2 Modes et fr
´equences propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373 Approximation des syst
`emes continus par des m´ethodes cin´ematiques143 3.1 M ´ethode de Rayleigh pour les poutres en flexion pure. . . . . . . . . 143 3.2 M ´ethode de Rayleigh-Ritz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.2.1 Poutre encastr
´ee-libre - 2 fonctions de base. . . . . . . . . . 1463.2.2 Poutre encastr
´ee-libre - 6 fonctions de base. . . . . . . . . . 1473.3 La m
´ethode des´el´ements finis en dynamique des poutres. . . . . . . 1473.3.1 Approximation par
´el´ements finis. . . . . . . . . . . . . . . 1483.3.2 Formulation variationnelle des vibrations libres en flexion
1493.3.3 Calculs des vibrations libres par
´el´ements finis. . . . . . . . 150
3.3.4 Application aux vibrations libres en flexion simple
151V Annexes
155A-1Rappels : Cin
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