[PDF] Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013

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A. P. M. E. P.

Durée : 4 heures

?Baccalauréat S Amérique du Sud?

21 novembre 2013

Exercice16 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soitfla fonction définie surRpar

f(x)=xe1-x.

1.Vérifier que pour tout réelx,f(x)=e×x

ex.

2.Déterminer la limite de la fonctionfen-∞.

3.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. Interpréter graphiquement cette limite.

4.Déterminer la dérivée de la fonctionf.

5.Étudier les variations de la fonctionfsurRpuis dresser le tableau de variation.

PartieB

Pour tout entier naturelnnon nul, on considère les fonctionsgnethndéfinies surRpar : g

1.Vérifier que, pour tout réelx: (1-x)gn(x)=1-xn+1.

On obtient alors, pour tout réelx?=1:gn(x)=1-xn+1 1-x.

2.Comparer les fonctionshnetg?n,g?nétant la dérivée de la fonctiongn.

En déduire que, pour tout réelx?=1:hn(x)=nxn+1-(n+1)xn+1 (1-x)2.

3.SoitSn=f(1)+f(2)+...+f(n),fétant la fonction définie dans la partie A.

En utilisant les résultats de lapartie B, déterminer une expression deSnpuis sa limite quandntend

vers+∞. *

Exercice24 points

Commun à tous lescandidats

On considère le cube ABCDEFGH, d"arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l"espace du

repère orthonormé?

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

1.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).

2.Démontrer que le vecteur-→n((1

-1 1)) est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE).

3;13;23?.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

B CD AF GH E K

4.Quelle est la nature du triangle BEG? Déterminer son aire.

5.En déduire le volume du tétraèdre BEGD. *

Exercice35 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

On considère l"équation

(E):z2-2z?

3+4=0.

1.Résoudre l"équation (E) dans l"ensembleCdes nombres complexes.

2.On considère la suite(Mn)des points d"affixeszn=2nei(-1)nπ

6, définie pourn?1.

a.Vérifier quez1est une solution de (E). b.Écrirez2etz3sous forme algébrique. c.Placer les pointsM1,M2,M3etM4sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments [M1,M2],[M2,M3]et[M3,M4].

3.Montrer que, pour tout entiern?1,zn=2n?

3

2+(-1)ni2?

4.Calculer les longueursM1M2etM2M3.

Pour la suite de l"exercice, on admet que, pour tout entiern?1,MnMn+1=2n? 3.

5.On note?n=M1M2+M2M3+···+MnMn+1.

a.Montrer que, pour tout entiern?1,?n=2?

3(2n-1).

b.Déterminer le plus petit entierntel que?n?1000.*

Amérique du Sud221 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE

À rendreavecla copie

Exercice3 : Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité -2 -4 -6 -82 468

2 4 6 8 10 12 14 16

O

Amérique du Sud321 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice35 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Le gestionnaire d"un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des

liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web. Des études statistiques lui ont permis de s"apercevoir que : •Si un internaute est sur la page no1, alors il ira, soit sur la page no2 avec la probabilité1

4, soit sur la page

n o3 avec la probabilité3 4. •Si un internaute est sur la page no2, alors, soit il ira sur la page no1 avec la probabilité1

2soit il restera sur

la page n o2 avec la probabilité1

4, soit il ira sur la page no3 avec la probabilité14.

•Si un internaute est sur la page no3, alors, soit il ira sur la page no1 avec la probabilité1

2, soit il ira sur la

page n o2 avec la probabilité1

4,soit il restera sur la page no3 avec la probabilité14.

Pour tout entier natureln, on définit les évènements et les probabilités suivants : A n: "Après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no1» et on notean=P(An). B n: "Après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no2» et on notebn=P(Bn). C n: "Après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no3» et on notecn=P(Cn).

1.Montrer que, pour tout entier natureln, on aan+1=1

2bn+12cn.

On admet que, de même,bn+1=1

4an+14bn+14cnetcn+1=34an+14bn+14cn.

Ainsi :

?a n+1=1

2bn+12cn

b n+1=1

4an+14bn+14cn

c n+1=3

4an+14bn+14cn

2.Pour tout entier natureln, on poseUn=((a

n b n c n)) U 0=((a 0 b 0 c 0)) représente la situation initiale, aveca0+b0+c0=1. Montrer que, pour tout entier natureln,Un+1=MUnoùMest une matrice 3×3 que l"on précisera. En déduire que, pour tout entier natureln,Un=MnU0.

3.Montrer qu"il existe une seule matrice colonneU=((x

y z)) telle que :x+y+z=1 etMU=U.

4.Un logiciel decalcul formel a permis d"obtenir l"expression deMn,nétant un entier naturel non nul :

M n=((((1 3+? -1 2? n×2313+? -1 2? n-313+? -1 2? n-31 41414
5 12+? -?-1 2? n? ×2

3512+-?-1

2? n-3512+-?-1 2? n-3)))) Pour tout entier naturelnnon nul, exprimeran,bnetcnen fonction den. En déduire que les suites an),(bn)et(cn)convergent vers des limites que l"on précisera.

Amérique du Sud421 novembre2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5.Interpréter les résultats obtenus et donner une estimationdes pourcentages defréquentation du site

à long terme.*

Exercice45 points

Commun à tous lescandidats

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10 -4près.

PartieA

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la

naissance, une malformation cardiaque detype anévrisme est de10%. L"étude aégalement permis deprou-

ver que 30% desFrançais présentant, àla naissance, une malformation cardiaquedetype anévrisme, seront

victimes d"un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n"atteint plus que 8% pour

ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :

M: "La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme» C: "La personne est victime d"un accident cardiaque au cours de sa vie».

1. a.Montrer queP(M∩C)=0,03.

b.CalculerP(C).

2.On choisit au hasard une victime d"un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu"elle présente

une malformation cardiaque de type anévrisme?

PartieB

La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation car-

diaque de type anévrisme, sur un échantillon de 400 personnes, prises au hasard dans la population fran-

çaise.

OnnoteXla variablealéatoire comptabilisant le nombredepersonnes del"échantillon présentant une mal-

formation cardiaque de type anévrisme.

1.Définir la loi de la variable aléatoireX.

2.DéterminerP(X=35).

3.Déterminer la probabilité que 30 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation

cardiaque de type anévrisme.

PartieC

1.On considère la variable aléatoireF, définie parF=X

400,Xétant la variable aléatoire de lapartie B.

Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoireFau seuil de 95%.

2.Dans l"échantillon considéré, 60 personnes présentent unemalformation cardiaque de type ané-

vrisme.

Qu"en pensez-vous?

Amérique du Sud521 novembre2013

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