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Cours de mathématiques - Exo7

Les groupes sont à la base d’autres notions mathématiques comme les anneaux les corps les matrices les espaces vectoriels Mais vous les retrouvez aussi en arithmétique en géométrie en cryptographie! Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de groupe puis celle de sous-groupe On étu-



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Quels sont les ensembles et les opérations qui ont une structure de groupe ?

Voici des ensembles et des opérations bien connus qui ont une structure de groupe. (R¤,£) est un groupe commutatif,£est la multiplication habituelle. Véri?ons chacune despropriétés : Si x,y2¤ alorsx£y2R¤. Pour toutx,y,z2¤ alorsx£(y£z)Æ(x£y)£z, c’est l’associativité de la multiplication desnombres réels.

Quelle est la composition d’un groupe ?

Le groupe (Sn,±) s’ap-pelle legroupe des permutations(ou legroupe symétrique). La composition de deux bijections de{1,2, . . . ,n} est une bijection de{1,2, . . . ,n}. La loi est associative (par l’associativité de la composition des fonctions). L’élément neutre est l’identité. L’inverse d’une bijectionf est sa bijection réciproquef¡1.

Comment montrer qu’un ensemble est un groupe ?

Montrer qu’un ensemble est un groupe à partir de la dé?nition peut être assez long. Il existe uneautre technique, c’est de montrer qu’un sous-ensemble d’un groupe est lui-même un groupe : c’estla notion de sous-groupe. Soit (G,?) un groupe. e2H, pour toutx2H, on ax¡12H.

Comment calculer le sous-groupe d'un groupe ?

Par exemple si EÆ{2} et le groupe est (R¤,£), le sous-groupe engendré parEestHÆ{2njn2Z}. Pour le prouver : il faut montrer queHest un sous-groupe, que 22H, et que si H0est un autresous-groupe contenant 2 alorsH½H0. Autre exemple avec le groupe (Z,Å) : si E1Æ{2}alors le sous-groupe engendré parE1estH1Æ2Z.

Enoncés : Michel Emsalem,

Corrections : Pierre DèbesExo7

Action de groupe

Exercice 1

Soits2S5défini par

s=1 2 3 4 5

5 4 1 2 3

(a) Ecrire la décomposition desen produit de cycles de supports disjoints. Quelle est la signature des?

(b) Donner la liste des éléments de. Déterminer\A5:

(a) Montrer que le produit de deux transpositions distinctes est un 3-cycle ou un produit de deux 3-cycles. En

déduire queAnest engendré par les 3-cycles. (b) Montrer queAn=<(123);(124);:::;(12n)>.

On appelle cycle une permutationsvérifiant la propriété suivante: il existe une partition def1;:::;ngen

deux sous-ensemblesIetJtels que la restriction desàIest l"identité deIet il existea2Jtel queJ= fa;s(a);:::;sr1(a)goùrest le cardinal deJ. Le sous-ensembleJest appelé le support du cycles.

Un tel cycle sera noté(a;s(a);:::;sr1(a))

(a) Soits2Snune permutation. On considère le sous-groupeCengendré parsdansSn. Montrer que la

restriction desà chacune des orbites def1;:::;ngsous l"action deCest un cycle, que ces différents cycles

commutent entre eux, et quesest le produit de ces cycles. (b) Décomposer en cycles les permutations suivantes def1;:::;7g:

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

3 6 7 2 1 4 5 7 4 2 3 5 6 1 1 3 7 2 4 5 6

(c) Montrer que sisest un cycle,s=(a;s(a);:::;sr1(a)), la conjuguéetst1est un cycle et quetst1= (t(a);t(s(a));:::;t(sr1(a))).

(d) Déterminer toutes les classes de conjugaison des permutations dansS5(on considérera leur décomposition

en cycles). Déterminer tous les sous-groupes distingués deS5. Montrer que les permutations circulaires engendrentSnsinest pair, etAnsinest impair. SoitIun sous-ensemble def1;:::;ngetsun cycle de supportI. Soittune autre permutation. Montrer quet

commute avecssi et seulement sitlaisse invariantIet la restriction detàIest égale à une puissance de la

restriction desàI. 1 SoitHun sous-groupe distingué deSncontenant une transposition. Montrer queH=Sn. Dans le groupe symétriqueS4on considère les sous-ensembles suivants :

H=fs2S4js(f1;2g) =f1;2gg

K=fs2S4j8a;b ab[mod 2])s(a)s(b) [mod 2]g

Montrer queHetKsont des sous-groupes deS4. Les décrire. Montrer que l"ordre d"une permutation impaire est un nombre pair. Montrer que toute permutation d"ordre 10 dansS8est impaire.

(a) Montrer que tout 3-cycle est un carré. En déduire que le groupe alternéAnest engendré par les carrés de

permutations. (b) Montrer queAnest le seul sous-groupe deSnd"indice 2. Trouver toutes les classes de conjugaison deS4. Donner la liste des sous-groupes distingués deS4. Etant donnés un groupeGet un sous-groupeH, on définit le normalisateur NorG(H)deHdansGcomme l"ensemble des élémentsg2Gtels quegHg1=H. (a) Montrer que Nor G(H)est le plus grand sous-groupe deGcontenantHcomme sous-groupe distingué.

(b) Montrer que le nombre de sous-groupes distincts conjugués deHdansGest égal à l"indice[G: NorG(H)]

et qu"en particulier c"est un diviseur de l"ordre deG. Montrer que pourm>3, un groupe simple d"ordre>m! ne peut avoir de sous-groupe d"indicem. SoitGun groupe etHun sous-groupe d"indice finin. Montrer que l"intersectionH0des conjugués deHpar

les éléments deGest un sous-groupe distingué deGet d"indice fini dansG. Montrer que c"est le plus grand

sous-groupe distingué deGcontenu dansH. 2 a) Montrer qu"un groupeGvérifiant

8a;b2G a2b2= (ab)2

est commutatif. (b) Le but de cette question est de donner un exemple de groupeGvérifiant la propriété

8a;b2G a3b3= (ab)3

et qui n"est pas commutatif. (i) montrer qu"il existe un automorphismesdeF23d"ordre 3. (ii) montrer que le groupeGdéfini comme le produit semi-direct deF23parZ3,Z3agissant surF23vias répond à la question.

SoientGun groupe etHun sous-groupe d"indice fini dansG. On définit surGla relationxRysi et seulement

six2HyH.

(a) Montrer queRest une relation d"équivalence et que toute classe d"équivalence pour la relationRest une

union finie disjointe de classes à gauche moduloH.

SoitHxH=S

16i6d(x)xiHla partition de la classeHxHen classes à gauche distinctes.

(b) Soith2Hetiun entier compris entre 1 etd(x); posonshxiH=hxiH. Montrer que cette formule définit

une action transitive deHsur l"ensemble des classesx1H;:::;xd(x)Het que le fixateur dexiHdans cette action

estH\xiHx1i. En déduire que d(x) = [H:H\xHx1] et qu"en particulierd(x)divise l"ordre deG. (c) Montrer queHest distingué dansGsi et seulement sid(x) =1 pour toutx2G.

(d) On suppose queGest fini et que[G:H] =p, oùpest le plus petit nombre premier divisant l"ordre deG.

Le but de cette question est de montrer queHest distingué dansG. (i) Montrer que pour toutx2G,d(x)6p. En déduire qued(x) =1 oud(x) =p.

(ii) Montrer que siHn"est pas distingué dansG, il existe une unique classe d"équivalence pour la relationR

et queG=H, ce qui contredit l"hypothèse[G:H] =p. SoitGun groupe fini agissant sur un ensemble finiX.

(a) On suppose que toute orbite contient au moins deux éléments, quejGj=15 et que card(X)=17. Déterminer

le nombre d"orbites et le cardinal de chacune.

(b) On suppose quejGj=33 et card(X) =19. Montrer qu"il existe au moins une orbite réduite à un élément.

(a) SoitGun groupe etHun sous-groupe. Montrer que la formule g:g0H=gg0H définit une action deGsur l"ensemble quotientG=H. Déterminer le fixateur d"une classegH. (b) SoitGun groupe etXetYdeux ensembles sur lesquelsGagit (on parlera deG-ensembles). Soitfune application deXdansY. On dira quefest compatible à l"action deG(ou quefest un morphisme deG-

ensembles) si pour tout élémentxdeXet toutgdansG,f(g:x) =g:f(x). Montrer que sifest bijective et

compatible à l"action deGil en est de même def1. On dira dans ce cas quefest un isomorphisme de

G-ensembles.

3

(c) SoitGun groupe agissant transitivement sur un ensembleX(i.e. pour tout couple d"élémentsxetydeXil

existe au moins un élémentgdu groupe tel queg:x=y). Montrer qu"il existe un sous-groupeHdeGtel queX

soit isomorphe en tant queG-ensemble àG=H(on prendra pourHle fixateur d"un point quelconque deX). (d) i) SoitHetKdeux sous-groupes deG. Montrer qu"il existe une applicationfdeG=HversG=Kcompatible avec l"action deGsi et seulement siHest contenu dans un conjugué deK. Montrer que dans ce casfest surjective. Montrer queG=HetG=Ksont isomorphes en tant queG-ensembles si et seulement siHetKsont conjugués dansG. ii) SoitXetYdeuxG-ensembles transitifs. Montrer qu"il existe une application deXversYcompatible avec

l"action deGsi et seulement si il existe deux élémentsxetydeXetYtels que le fixateur dexsoit contenu dans

un conjugué du fixateur dey. Montrer queXetYsont isomorphes si et seulement si les fixateurs dexet dey

sont conjugués dansG. SoitGun groupe fini etXunG-ensemble transitif. On dira queXestimprimitifsiXadmet une partition X=S

16i6rXitelle que tout élémentgdeGrespecte cette partition, i.e. envoie un sous-ensembleXisur un

sous-ensembleXk(éventuellementk=i) et telle que 26ret les partiesXine sont pas réduites à un élément.

Dans le cas contraire on dit queXestprimitif.

(a) Montrer que dans la décomposition précédente, si elle existe, tous les sous-ensemblesXiont même nombre

md"éléments. (b) SoitHun sous-groupe deG. Montrer queG=Hest imprimitif si et seulement s"il existe un sous-groupe propreKdeGdifférent deHtel queHKG(on regardera la partition deG=Hen classes moduloK).

(c) Déduire de ce qui précède queXest primitif si et seulement si le fixateur d"un élémentxdeXest maximal

parmi les sous-groupes propres deG.

(d) On suppose ici queXest primitif et queHest un sous-groupe distingué deGdont l"action n"est pas triviale

surX. Montrer qu"alorsHagit transitivement surX. Montrer qu"un sous-groupe primitif deSnqui contient une transposition estSntout entier. SoitGun groupe fini etXunG-ensemble. Sikest un entier (16k), on dit queXestk-transitif, si pour

tout couple dek-uplets(x1;:::;xk)et(y1;:::;yk)d"éléments deXdistincts deux à deux, il existe au moins un

élémentgdeGtel que pour touti, 16i6k,g:xi=yi. UnG-ensemble 1-transitif est donc simplement un

G-ensemble transitif.

(a) Montrer que siXestk-transitif, il est aussil-transitif pour toutl, 16l6k.

(b) Montrer queXest 2-transitif si et seulement si le fixateur d"un élémentxdeXagit transitivement surXnfxg.

(c) Montrer que siXest imprimitif, il n"est pas 2-transitif.

(d) Montrer qu"un groupe cycliqueCd"ordre premier considéré commeC-ensemble par l"action de translation

deCsur lui-même, est primitif mais n"est pas 2-transitif. (e) Montrer que l"ensemblef1;:::;ngmuni de l"action du groupeSnestk-transitif pour toutk, 16k6n. En déduire que l"ensemblef1;:::;ngmuni de l"action du groupeSnest primitif.

(f) Montrer que le fixateur de 1 dansSnest isomorphe àSn1. Dans la suite on identifieSn1à ce fixateur.

Déduire de l"exercice 19 queSn1est un sous-groupe propre maximal deSn. 4

Décrire le groupeDndes isométries du plan affine euclidien qui laissent invariant un polygone régulier àn

côtés. Montrer queDnest engendré par deux élémentssettqui vérifient les relations:sn=1,t2=1 et

tst

1=s1. Quel est l"ordre deDn? Déterminer le centre deDn. Montrer queD3'S3.

Montrer que le groupe des isométries de l"espace affine euclidien de dimension 3 qui laissent invariant un

tétraèdre régulier de sommetsa1;a2;a3;a4est isomorphe àS4et que le sous-groupe des isométries directes qui

laissent invariant le tétraèdre est isomorphe àA4.

Déterminer le groupe des isométries de l"espace affine euclidien de dimension 3 qui laissent invariant un cube.

Indication pourl"exer cice1 NAucune difficulté.

Indication pour

l"exer cice

3 N(a) est une simple vérification.

(b) Les trois permutations s"écrivent respectivement(1375)(264),(17)(243)et(237654). (c) est une simple vérification.

(d)Rappel:De façon générale, on dit qu"une permutationw2Snest de type 1r1-2r2--drdoùd;r1;:::;rdsont

des entiers>0 tels quer1++rd=n, si dans la décomposition dewen cycles à support disjoints, figurent

r

11-cycles (ou points fixes),r22-cycles, ... etrdd-cycles. En utilisant la question (c), il n"est pas difficile de

montrer que deux permutations sont conjuguées dansSnsi et seulement si elles sont de même type. Les classes

de conjugaison deSncorrespondent donc exactement à tous les types possibles.

On obtient ainsi facilement les classes de conjugaison deS5. Soit maintenantHun sous-groupe distingué non

trivial deS5. Dès queHcontient un élément deS5, il contient sa classe de conjugaison;Hest donc une réunion

de classes de conjugaison. En considérant toutes les classes possibles que peut contenirH, on montre queH=

A

5ouH=S5. Par exemple, siHcontient la classe 1-2-2, alorsHcontient(12)(34)(13)(25) = (14325)

et donc la classe des 5-cycles. D"après l"exercice 2 ,Hcontient alorsA5. Le groupeHest doncA5ouS5. Les

autres cas sont similaires.Indication pourl"exer cice8 NUne puissance impaire d"une permutation impaire ne peut pas être égale à 1.

Indication pour

l"exer cice

12 N(a) Aucune difficulté.

(b) Le nombre cherché est l"orbite deHsous l"action deGpar conjugaison sur ses sous-groupes et NorG(H)

est le fixateur deHpour cette action.Indication pourl"exer cice13 NEtudier l"action du groupe par translation sur l"ensemble quotient des classes modulo le sous-groupe.

Indication pour

l"exer cice

14 NLe seul point non immédiat est queH0est d"indice fini dansG. Pour cela considérer le morphisme deGà

valeurs dans le groupe des permutations des classes à gauche deGmoduloH, qui àg2Gassocie la permutation

aH!gaHet montrer que le noyau de ce morphisme est le groupeH0.Indication pourl"exer cice19 NQuestion (d): SiKle fixateur d"un élémentx2X, alorsKest un sous-groupe propre maximal deGetXest

isomorphe àG=Ken tant queG-ensemble. Déduire du fait queHn"est pas contenu dansKqueHK=Get

queH=H\K'G=K.Indication pourl"exer cice20 NSoitHun tel sous-groupe. On peut supposer sans perte de généralité queHcontient la transposition(12). On

pourra ensuite procéder comme suit. - montrer queHest engendré par le fixateurH1de 1 et par(12). - montrer que l"orbite de 2 sousHest l"union de l"orbite de 2 sousH1et de 1.

- en déduire queH1agit transitivement sur l"ensemblef2;:::;nget queHagit 2-transitivement surf1;:::;ng.

- déduire du point précédent queHcontient toutes les transpositions.6

Indication pourl"exer cice21 N(a) est trivial.

(b): Noter d"abord que la condition sur le fixateur dexest indépendante dex2X: en effet sigest un élément

deGenvoyantxsur un autre élémentx02X(qui existe par transitivité deG), alorsG(x0) =gG(x)g1et la

correspondanceh!ghg1permet d"identifier les actions deG(x0)surXnfx0get celle deG(x)surXnfxg.

Supposons maintenant vérifiée la condition sur le fixateur dex. Si(x;y)et(x0;y0)sont deux couples d"éléments

distincts deX, il existes2Gtel ques(x) =x0(transitivité deG) et il existet2Gtel quet(x0) =x0et

t(s(y)) =y0(transitivité deG(x0)surXnfx0g(noter ques(y)6=x0cars(x) =x0)). La permutationtsvérifie

ts(x) =x0etts(y) =y0. Cela montre queXest 2-transitif. La réciproque est triviale.

(c) Si l"action deGsurXest imprimitive etX=Sri=1Xiest une partition deXcomme dans la définition, alors

il n"existe pas d"élémentg2Genvoyant un premier élémentx12X1dansX1et un second élémentx012X1dans

X 2.

(d) L"action par translation d"un groupe cycliqueCsur lui-même est transitive, elle est primitive sijCjest

premier (toute partition deCen sous-ensembles de même cardinal est forcément triviale) mais elle n"est pas

2-transitive (le fixateur de tout élément est trivial, ce qui contredit le (c) de l"exercice

19

(e) et (f) ne présentent aucune difficulté.Indication pourl"exer cice22 NOn se ramène à la situation où le polygone est inscrit dans le plan complexe et a pour sommets les racines de

l"unitée2ikp=n;k=0;1;:::;n1. Une isométrie laissant invariant le polygone fixe nécessairement l"origine.

Elle est donc de la formez!azouz!azavecjaj=1. On voit ensuite queaest nécessairement une racinen-ième de 1. Notonssl"isométriez!e2ip=nzettla conjugaison complexe. On aDn=fsktejk=

0;:::;n1;e=1g. On vérifie quesettengendrent le groupeDnet satisfont les relationssn=1,t2=1

ettst1=s1. Autrement dit,Dnest isomorphe au groupe diédral d"ordre 2n. Sinest impair, son centre

est trivial et sin=2mest pair, son centre estf1;smg. Le groupeDnse plonge naturellement dansSn; comme

jD3j=jS3j=6, ce plongement est un isomorphisme pourn=3.7

Correction del"exer cice2 N(a) On vérifie les deux formules:(ab)(bc) = (abc)poura;b;cdistincts, et(ab)(cd) = (ab)(bc)(bc)(cd) =

(abc)(bcd), poura;b;c;ddistincts. On déduit que toute permutation paire, produit d"un nombre pair de

transpositions, peut s"écrire comme produit de 3-cycles. Le groupe alternéAnest donc engendré par les 3-

cycles sin>3.

(b) On a(12j)(12i)(12j)1= (2j i)pouri;jdistincts et différents de 1 et 2, et si en pluskest différent

de 1;2;i;j, on a(12k)(2j i)(12k)1= (k j i). Le groupe engendré par les 3-cycles(12i)oùi>3 contient

donc tous les 3-cycles; d"après (a), c"est le groupe alternéAn.Correction del"exer cice4 NLescasn=1etn=2sontimmédiats. Onpeutsupposern>3. Onvérifieaisémentlaformule(a1a2:::an1an)(an1anan2:::a2a1)=

(a1anan1)oùa1;:::;ansont les éléments d"un ensemble de cardinaln. On en déduit que le groupePCn

engendré par les permutations circulaires contient les 3-cycles et donc le groupe alternéAn(voir exercice2 ).

Les permutations circulaires sont de signature(1)n1. Sinest impair, elles sont donc paires d"oùPCnAn

et donc finalementPCn=Andans ce cas. Sinpair, les permutations circulaires sont impaires, doncPCn6=An.

L"indice dePCndansSndevant diviser 2 (puisquePCnAn), il vaut 1, c"est-à-direPCn=Sn.Correction del"exer cice5 NSupposonsst=ts. Pour toutx=2I, on as(t(x)) =t(s(x)) =t(x);t(x), fixé pars, n"appartient pas àI.

Cela montre que le complémentaire deIest invariant part. Commetest injective,Il"est aussi. Montrons que,

surI,test égal à une puissance des. Quitte à renuméroterf1;:::;ng, on peut supposer queI=f1;:::;mg(où

m6n)etsjI=(12:::m). L"entiert(1)estdansI; soitkl"uniqueentierentre1etmtelquet(1)=sk(1). Pour touti2I, on a alorst(i) =tsi1(1) =si1t(1) =si1sk(1) =sksi1(1) =sk(i)(l"identitétsi1=si1t

utilisée dans le calcul découle facilement de l"hypothèsest=ts). On obtient donctjI=(sjI)k. L"implication

réciproque est facile.Correction del"exer cice6 NUn sous-groupe distingué deSnqui contient une transposition contient toute sa classe de conjugaison, c"est-à-

dire, touteslestranspositions(cflesindicationsdel"exercice 3 , "Rappel")etdonclegroupequ"ellesengendrent,

c"est-à-direSn.Correction del"exer cice7 NL"ensembleHest le sous-groupe deS4fixant la pairef1;2g. Tout élément deHfixe aussi la pairef3;4g. Cela

fournit un morphismeH!S2S2qui est clairement bijectif. D"oùH'S2S2'Z=2ZZ=2Z. On as2Ksi et seulement sis(1)s(3) [mod 2]ets(2)s(4) [mod 2], c"est-à-dire si et seulement si s(f1;3g)est soit la pairef1;3gsoit la pairef2;4g(auquel cass(f2;4g)est la pairef2;4gou la pairef1;3g

respectivement). Grâce à l"identités(13)(24)s1= (s(1)s(3))(s(2)s(4)), on voit que la condition est

également équivalente au fait que la conjugaison parsstabilise la permutation(13)(24). Autrement ditKest

le sous-groupe des éléments deS4commutant avec(13)(24). La classe de conjugaison 2-2 ayant 3 éléments,

le groupeHest d"ordre 4!=3=8. On peut dresser la liste de ses éléments: siw= (1234)ett= (12)(34),

alorsK=f1;w;w2;w3;t;wt;w2t;w3tg. On vérifie les relationss4=1,t2=1 ettst1=s1. Le groupe

Kest égal au produit semi-direct de son sous-groupe distinguépar son sous-groupeet est donc

isomorphe au groupe diédral d"ordre 8.Correction del"exer cice9 NL"ordre d"une permutationw2Snest le ppcm des longueurs des cycles de la décomposition dewen cycles

à supports disjoints. De plus, la somme des longueurs de ces cycles (ceux de longueur 1 y compris) vaut

n. Pour une permutation d"ordre 10 dansS8, il n"y a qu"un type possible: 5-2-1. La signature vaut alors

(1)51(1)21=1.8

Correction del"exer cice10 N(a) Un 3-cyclewest d"ordre 3 et vérifie doncw3=1 soit encorew= (w2)2. Le groupe engendré par tous

les carrés de permutations dansSncontient donc tous les 3-cycles, et donc aussi le groupe qu"ils engendrent,

c"est-à-direAn. L"autre inclusion est facile puisque le carré d"une permutation est toujours une permutation

paire.

(b) SiHest un sous-groupe d"indice 2 deSn, il est distingué. On a alorss22Hpour touts2Sn(cf exercice

??). D"après la question (a),H=An.Correction del"exer cice11 NLes classes de conjugaison deSncorrespondent aux types possibles d"une permutation denéléments (cf

indication exercice 3 Rappel). Pourn=4, on a 5 classes: 1-1-1-1, 2-1-1, 2-2, 3-1 et 4.

SoitHun sous-groupe distingué non trivial deS4. SiHcontient la classe 2-1-1 (transpositions), alors

H=S4. SiHcontient la classe 3-1, alorsHA4(cf exercice2 ) et doncH=A4ouH=S4. SiHcontient la classe 4, alorsH=S4(cf exercice4 ). SiHcontient la classe 2-2, alorsHV4(voir la correction de

l"exercice??définition deV4), ce qui donneH=V4ou bien, au vu des cas précédents,H=A4ouH=S4. Les

sous-groupes distingués deS4sont doncf1g,V4,A4etS4.Correction del"exer cice13 NSoitHunsous-grouped"indicemd"ungroupeG. L"actiondeGpartranslationàgauchesurl"ensemblequotient

G=Hdes classes à gauche moduloHinduit un morphismeG!Per(G=H)qui est non-trivial et donc est injectif

puisque le noyau, distingué dansG, ne peut être trivial siGest simple. L"ordre deGdoit donc diviser l"ordre

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