IV. Applications linéaires
Applications linéaires. 1. Définition et propriétés élémentaires. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K. Définition. Une application linéaire de E dans
Rappels sur les applications linéaires
Définition 5 – Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f ? L (EF). La dimension de Im f est appelée rang de f et est notée rg f.
1 Applications linéaires Morphismes
https://www.math.univ-toulouse.fr/~hallouin/Documents/Cours_ApplicationsLineaires.pdf
Applications Linéaires
Définitions et notations. Définition. Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f : E ? F une application. On dit que f est une application linéaire lorsque
Noyau et image des applications linéaires
Définition. Si f : E ? F est une application linéaire son noyau
Chapitre VI Applications linéaires
Définition : Deux espaces vectoriels liés par un isomorphisme sont dits isomorphes. Corollaire important. Un espace vectoriel de dimension finie sur est
Applications linéaires
Définition 7. (Matrice d'une application linéaire dans deux bases.) soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie et BE = (e1
§5.4 Injectivité surjectivité
https://www.math.univ-angers.fr/~tanlei/istia/cours21112012.pdf
Noyau et image des applications linéaires
Définition. Si f : E ? F est une application linéaire son noyau
REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES
Définition (Matrice d'une application linéaire dans des bases finies) Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l'application linéaire ...
Chapitre 2 : Applications linéaires
5 Réciproque d’une application linéaire bijective Lorsque f est bijective tout v ? F possède un antécédent unique par f dans E G u G Définition On appelle application réciproque de f notée f ?1 l’application qui à v associe ; c’est G u G une application linéaire : f ?1 ?L()FE Remarque (): F vfu f = ? 6 G 1: F v
Noyau et image des applications lineaires
DedouNovembre 2011
Noyau d'une application lineaire : denition
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son noyau, noteKerfest l'ensemble des vecteurs deEquefannule :Kerf:=fv2Ejf(v) = 0g:Exemple
Le noyau de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y;0) deR3sur son plan horizontal est l'axe vertical deni parx=y= 0.Nature du noyau d'une application lineaire
Proposition
Le noyau d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ca se prouve... trop facile!Noyau et systeme lineaire homogene : exemple
Exemple
Le noyau def:= (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z) est l'ensemble des solutions du systeme3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0:Le m^eme dans l'autre sens
L'ensemble des solutions du systeme
3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0
est le noyau de l'application lineaire (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z).Noyau d'une application lineaire : exercice
Exo 1 a) Exprimez le noyau def:= (x;y;z;t)7!(3x+ 7zt;2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l'ensemble des solutions du systeme 8< :3x+ 4t= 0 yzt= 02x+y+zt= 0
comme noyau.Base d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).Base d'un noyau : exercice
Exo 2Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z)7!(xy+z;x+yz).Dimension d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de
depart diminue du rang de la matrice.Base d'un noyau : exercice
Exo 3Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(xy+z+t;x+yz+t;t).Rappel : image d'une application
Rappel(?)
L'image d'une applicationf:R2!R3(par exemple) c'est l'ensemble des imagesImf:=ff(v)jv2R2g
ou encoreImf:=fw2R3j9v2R2;w=f(v)g:
Image d'une application lineaire
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son image, noteeImf, est donc l'ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv2E:Imf:=ff(v)jv2Eg:Exemple
L'image de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y) deR3sur son plan horizontal est justement ce plan horizontal, d'equationz= 0.Nature de l'image d'une application lineaire
Proposition
L'image d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deF.Et ca se prouve... trop facile! Image d'une application lineaire et colonnes de sa matriceExemple
L'application lineairef:= (x;y;z)7!(3x+5y+7z;2x+4y+6z) s'ecrit aussi f:= (x;y;z)7!x3 2 +y5 4 +z7 6 Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l'image defsont exactement les combinaisons lineaires du systeme de trois vecteurs ((3;2);(5;4);(7;6)) :Im(x;y;z)7!3x+ 5y+ 7z
2x+ 4y+ 6z
=<3 2 ;5 4 ;7 6 > :Moralite L'image defest le sous-espace vectoriel engendre par les colonnes de sa matrice.Image d'une application lineaire : exemple
Exo corrige
Donnez des generateurs de l'image de
(x;y)7!(3x+ 7y;2y;xy).Image d'une application lineaire : exo
Exo 4Donnez des generateurs de l'image de
(x;y;z)7!(3x+ 7y;2y+z;xy;x+z). Base de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+ 2z;yz;x+ 3y).On prend les generateurs comme on sait faire, et on enleve ceux qui sont en trop.Base de l'image d'une application lineaire : exo
Exo 5Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y;yz;x+z;x+ 2yz). Equations de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y)7!(x+y;y;2xy;x+ 3y).On sait trouver des generateurs, et a partir des generateurs, on sait trouver des equations. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z). Dimension de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Calculer la dimension de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z).C'est le rang du systeme des colonnes de la matrice, donc c'est le
rang de la matrice. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6Calculer la dimension de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;x2y+z;x+ 2y+ 3z;2x+ 3yz).quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49[PDF] application matrice inversible + corrigé
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