[PDF] MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

View - Download MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

Previous PDF

Next PDF

MT22-Fonctions de plusieurs variables etapplicationsChapitre 2 : Analyse vectorielle ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉESUTC-UTT5

SommaireConceptsExemplesExercicesDocuments2SommaireII Analyse vectorielle3II.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4II.2 Vecteur gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15II.3 Vecteur rotationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23II.4 Divergence d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30II.5 Laplacien d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34A Exercices40A.1 Exercices de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42A.2 Exercices de TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75B Exemples86C Documents88

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssuivantI3Chapitre II

Analyse vectorielleII.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4II.2 Vecteur gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15II.3 Vecteur rotationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23II.4 Divergence d"un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30II.5 Laplacien d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsection suivanteI4II.1 RappelsProduit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Produit mixte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Champs de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. . . . . . . .12

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantI5IIProduit scalaireExercices:Exercice A.1.1Exercice A.1.2Exercice A.1.3Sauf mention contraire on se place dansIR3muni d"un repère orthonormé

(O;~{;~|;~k)Soient~U,~U1et~U2des vecteurs deIR3, U1=0 @a 1 b 1 c 11 A ;~U2=0 @a 2 b 2 c 21
A ~U=0 @a b c1 A Leproduit scalairede~U1par~U2est le réel défini par :

U1~U2=a1a2+b1b2+c1c2:

Lanorme (euclidienne)de~Uest définie par :

~U =p~U:~U=pa2+b2+c2: On a la relation qui lie le produit scalaire et les normes :

U1~U2=

~U1 ~U2 cos; scalaireoùest l"angle des vecteurs~U1et~U2.

Propriétés du produit scalaire

U1~U2=~U2~U1;(~U1)~U2=(~U1~U2)

U1(~U2+~U3) =~U1~U2+~U1~U3;(~U1~U2)2(~U1~U1)(~U2~U2)Proposition II.1.1Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur pro-

duit scalaire est nul.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI7IIProduit vectorielExercices:Exercice A.1.4Exercice A.1.5Exercice A.1.6Exercice A.1.7Soient~U1et~U2deux vecteurs deIR3,

leproduit vectorielde~U1par~U2est le vecteur défini par : U1=0 @a 1 b 1 c 11 A ;~U2=0 @a 2 b 2 c 21
A ;~U1^~U2=0 @b

1c2c1b2

c

1a2a1c2

a

1b2b1a21

A On admet les résultats suivants concernant la norme, la direction et l"orienta- tion du produit vectoriel :- ~U1^~U2 ~U1 ~U2

jsinjoùest l"angle entre les vecteurs~U1et~U2.-Le vecteur~U1^~U2est orthogonal à~U1et~U2.-L"orientation de~U1^~U2est telle que le trièdre (~U1;~U2;~U1^~U2) soit direct.

Propriétés du produit vectoriel

U1^~U2=~U2^~U1;(~U1)^~U2=(~U1^~U2)

vectoriel~U1^(~U2+~U3) =~U1^~U2+~U1^~U3

U1^(~U2^~U3) = (~U1~U3)~U2(~U1~U2)~U3Proposition II.1.2La norme du produit vectoriel de~Upar~Vest égale à l"aire

du parallélogramme construit sur~Uet~V.

Il résulte de la propriété sur la norme du produit vectoriel que :Proposition II.1.3Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit

vectoriel est nul.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI9IIProduit mixteExercices:Exercice A.1.8Exercice A.1.9Soient~U,~Vet~Wtrois vecteurs deIR3.

Leproduit mixtede~U,~V,~West le scalaire défini par : ~U;~V ;~W = (~U^~V)~W:Proposition II.1.4La valeur absolue du produit mixte est égale au volume du

parallépipède construit sur~U;~V ;~W.Proposition II.1.5Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur pro-

duit mixte est nul. En effet dans ce cas le parallépipède est "dégénéré", son volume est nul.

Une autre propriété immédiate est que :

~U;~V ;~W =~V ;~W;~U =~W;~U;~V

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ10Produit mixte=~V ;~U;~W

=~U;~W;~V =~W;~V ;~U En effet le volume du parallépipède ne dépend pas de l"ordre dans lequel on cite les vecteurs! En revanche les 6 produits mixtes ne sont pas égaux, en effet le signe de~U;~V ;~W est positif si le trièdre~U;~V ;~West direct, il est négatif sinon.

On obtient donc les égalités suivantes :

~U;~V ;~W =~V ;~W;~U =~W;~U;~V =~V ;~U;~W =~U;~W;~V =~W;~V ;~U

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI11Champs de vecteursDéfinition II.1.1On appelle champ de vecteurs une application deIR3dansIR3

. Une notation couramment utilisée sera, par exemple , ~V(M), ce qui signifie qu"à tout pointMdeIR3, on associe un vecteur~V(M)deIR3 Bien sûrMest un triplet(x;y;z)et~V(M)est également un triplet dont les 3 termes dépendent dex;y;z. Les composantes de~V(M)sont notées selon les cas

V(M) = (V1(M);V2(M);V3(M);

V(M) = (P(M);Q(M);R(M);

V(M) = (X(M);Y(M);Z(M);

dans tous les cas les fonctionsV1;V2;V3;P;Q;R;X;Y;Zsont des fonctions deIR3 dansIR.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionN12IICoordonnées polaires, cylindriques et sphériquesExercices:Exercice A.1.10Dans le plan muni d"un repère orthonormé d"origineO, à tout pointMdonc

à tout couple(x;y), on associe ses coordonnées polaires(r;). Les relations qui lientx;y;r;, sont :x=rcos y=rsinr2IR+;2[0;2[ L"application précédente qui à(r;)associe le pointMest bijective deIR+ [0;2[dans le plan privé de l"origine. Dans l"espace muni d"un repère orthonormé d"origineO, à tout pointMdonc à tout couple(x;y;z), on associe ses coordonnées cylindriques(r;;z), les rela- tions qui lientx;y;z;r;sont : 8< :x=rcos y=rsin z=z; r2IR+;2[0;2[

Voir la figureII.1.1.

L"application précédente qui à(r;;z)associe le pointMest bijective deIR+ [0;2[IRdans l"espace privé de l"axeOz. polaires, cylindriques et sphériquesxyM q Hz z r x yM q Hz z f

rFIG. II.1.1 - coordonnées cylindriques et sphériquesDans l"espace muni d"un repère orthonormé d"origineO, à tout pointMdonc

à tout couple(x;y;z), on associe les coordonnées sphériques(;;), les relations qui lientx;y;z;;;, sont : 8< :x=coscos y=cossin z=sin2IR+;2h 2;2i ;2[0;2[; est l"angle latitude,est l"angle longitude. Voir la figureII.1.1. polaires, cylindriques et sphériquesL"application précédente qui à(r;;)associe le pointMest bijective deIR+ [0;2[]0;=2[dans l"espace privé de l"axeOz. On peut remplacer la latitudepar la co-latitude , ces 2 angles sont com- pémentaires : +=2, on a donc les relations :8< :x=sin cos y=sin sin z=cos 2IR+; 2[0;];2[0;2[

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJsection précédentechapitreNsection suivanteI15II.2 Vecteur gradientDéfinition et propriétés du gradient. . . . . . . . . . . . . . . .16Ensembles iso-valeurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Gradient en coordonnées polaires et cylindriques. . . . . . . .21

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantI16IIDéfinition et propriétés du gradientExercices:Exercice A.1.11Exercice A.1.12Définition II.2.1Soitfune fonction deIR3dansIRdifférentiable, on appelle

vecteur gradient defet on note!gradf, le champ de vecteurs dont les compo- santes sont données par : gradf(M) =0 B

BBB@@f@x(x;y;z)

@f@y(x;y;z) @f@z(x;y;z)1 C

CCCA, on note également!gradf(M) =!rf(M)

On a défini le vecteur gradient d"une fonction différentiable surIR3, on pour- rait bien sûr définir de façon similaire le gradient d"une fonction différentiable

surIR2et de façon plus générale surIRn.Proposition II.2.1Siest une constante réelle, sifetgsont deux fonctions

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantIJJ17Définition et propriétés du gradientdifférentiables, on a : grad(f+g) =!gradf+!gradg grad(f) =!gradf !grad(fg) =f!gradg+g!gradf Démontrer les propriétés précédentes en exercice.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI18IIEnsembles iso-valeursExercices:Exercice A.1.13On verra dans le chapitre "Courbes et surfaces" que sifest une fonction

définie surIR2, sicest une constante, alors le sous-ensemble deIR2dont l"équa- tion estf(x;y) =cest une courbe appelée courbe iso-valeurs. Par exemple si f(x;y) =x2+y2, sicest positive, la courbe est un cercle centré enO. Dans la pratique selon ce que représente la fonctionf, la courbe iso-valeur est une iso- therme, une équipotentielle, une courbe de niveau,etc.... On démontrera dans

le chapitre "Courbes et surfaces " la proposition importante suivante :Proposition II.2.2Sifest une fonction de 2 variables différentiable, siCest la

courbe iso-valeurs dont l"équation est :f(x;y) =c, siM0est un point deCalors!gradf(M0)(s"il n"est pas nul) est orthogonal à la courbeCenM0.

Un vecteur est orthogonal à une courbe en un point si ce vecteur est ortho- gonal au vecteur tangent à la courbe en ce point. La proposition précédente peut être généralisée au cas des fonctions de n va- riables, en particulier dans le casn= 3, l"ensemble d"équationf(x;y;z) =cest une surface deIR3, on a la proposition : iso-valeursProposition II.2.3Sifest une fonction de 3 variables différentiable, siSest la surface iso-valeurs dont l"équation est :f(x;y;z) =c, siM0est un point deS alors!gradf(M0)(s"il n"est pas nul) est orthogonal à la surfaceSenM0. Un vecteur est orthogonal à une surface en un point si ce vecteur est ortho- gonal au plan tangent à la surface en ce point. On peut compléter les propositionsII.2.2,II.2.3par un résultat très impor-

tant en optimisation :Proposition II.2.4Le vecteur!gradf, s"il n"est pas nul, est "dirigé suivant les

valeurs croissantes" def. Démonstration.- Avant de démontrer cette proposition, on peut l"illustrer avec l"exerciceA.1.11, les surfaces iso-valeurs sont des sphères, la constantecest alors le carré du rayon, le vecteur gradient enM0est dirigé vers les sphères de rayon plus grand. Posons~V=!gradf(M0)et examinons alors la fonction : (t) =f(M0+t~V) Les règles de dérivation d"une fonction composée donnent :

0(0) =@f@x(x0;y0;z0)@f@x(x0;y0;z0) +@f@y(x0;y0;z0)@f@y(x0;y0;z0)

Donc0(0)>0. Donc pourtpositif assez petit(t)> (0), doncf(M0+t~V)> f(M0). La proposition précédente est très importante en optimisation. De nombreux problèmes pratiques se ramènent à une minimisation d"une fonction dite fonc- tion coût, cette fonction dépend en général de plusieurs variables (le nombre peut être très grand).Dans le cas de problèmes complexes faisant intervenir un grand nombre de variables, il n"est pas possible de calculer une solution exacte. On a alors recours à des méthodes numériques, parmi celles-ci certaines sontquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] Distribution HTA - Paul Mathou

[PDF] DOCUMENT CARTES SIG

[PDF] Etablissement Tana 065-12-2016 - INSTAT Madagascar

[PDF] DOSSIER CANDIDATURE LP DISTRISUP 2015-2016 avec charte

[PDF] Dit des oiseaux

[PDF] dire - Conjugaison du verbe dire - Le conjugueur - Le Figaro

[PDF] Formation complémentaire en gynécologie et obstétrique pour les

[PDF] Formation complémentaire en gynécologie et - UPMC-FC

[PDF] Entretien diagnostique pour le TDAH chez l adulte - DIVA Foundation

[PDF] Pourquoi une entreprise cherche-t-elle ? se diversifier ?

[PDF] Diaporama sur le Monde microbien - Espace pédagogique

[PDF] MICROBIOLOGIE I) DIVERSITÉ DU MONDE MICROBIEN 1

[PDF] CORRIGE SVT OBLI + SPEC

[PDF] TP 3: LES GENES HOMEOTIQUES: architectes des organismes

[PDF] Diversité génétique et variabilité des caractères phénotypiques - Hal