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Analyse numérique élémentaireChapitre 8 : Calcul numérique des valeurs propres et des vecteurs propres

Équipe de Mathématiques AppliquéesUTCJuin 20075

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssuivantI2Chapitre VIIIDétermination des valeurs propres et des

vecteurs propresVIII.1 Rappels et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3VIII.2 Méthode de la puissance itérée - énoncé et hypothèses. . . . . . . . . . . . . .5VIII.3 Méthode de la puissance itérée - convergence et remarques. . . . . . . . . . .7VIII.4 Méthode de la puissance itérée inverse - principe. . . . . . . . . . . . . . . . .10VIII.5 Méthode de la puissance itérée inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12VIII.6 Les méthodes de déflation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsuivantI3IIVIII.1 Rappels et notations On rappelle que, étant donnée une matriceA2 Mnn(IR), le problème de calcul des valeurs propres consiste à trouver un scalairetel qu"il existe un vecteury,y6= 0, tel que Ay=y: NotationsDans tout ce chapitre on notera1;2;:::;nlesnvaleurs propres distinctes ou non deAet on supposera désormais que j1j j2j ::: jnj;

1s"appelle la valeur propredominantedeA.

On supposera que la matriceAest diagonalisable, il existe donc une base de vecteurs propres que l"on noteray(1);y(2);:::;y(n).

Le problème de la détermination des valeurs propres deAest équivalent à trouver les racines

du polynôme caractéristique P

A(s) = det(sIA):

On pourrait penser que le calcul numérique des valeurs propres se ramène au calcul numé-

rique des racines d"un polynôme. En réalité c"est l"inverse qui se fait. En effet, étant donné un

polynôme p(t) =tn+antn1+an1tn2+:::+a2t+a1;

on peut démontrer (voir exercice de TDA.2.2) que ce polynôme est le polynôme caractéristique

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsuivantIJJ4Rappels et notationsde la matrice suivante A=0 B

BBBB@0 1 0:::0

0 0 1:::0

0 0:::0 1

a1a2:::an1an1 C

CCCCA:

Les matricesAqui ont la forme précédente s"appellent des matrices "Compagnon".

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantI5IIVIII.2 Méthode de la puissance itérée - énoncé et hypothèsesExercices :Exercice A.1.1La méthode de la puissance itérée est la suivante :

8>< :x (0)donné dansIRn; x (k+1)=Ax(k) Ax(k) ; k0;(VIII.1) oùk:kdésigne une norme quelconque.

Hypothèses et notations-On suppose que

j1j>j2j j3j ::: jnj:

On a donc que1est une valeur propre réelle simple (le montrer en exercice).-On suppose quex(0)n"appartient pas au sous-espace engendré par les vecteurs propresy(2);y(3);:::;y(n).-Soitpun indice tel quey(1)p6= 0Théorème VIII.1.Sous les hypothèses précédentes, la suitex(k)

k2INgénérée par les relations (VIII.1) possède les propriétés suivantes : lim k!1 Ax(k) =j1j; SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantIJJ6Méthode de la puissance itérée -

énoncé et

hypothèseson a d"ailleurs plus précisément lim k!1[Ax(k)]px(k)p=1:

De plus la suite

x(k) k2INconverge vers un vecteur propre associé à1de la façon suivante : lim k!1[sgn(1)]kx(k)= y(1);(VIII.2) où est une constante réelle.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantI7IIVIII.3 Méthode de la puissance itérée - convergence et remarques

On va maintenant démontrer le théorèmeVIII.1.

On démontre immédiatement que l"on a :

x (k)=Akx(0)

Akx(0)

:(VIII.3)

En effet cette propriété est vraie pourk= 1par construction même dex(1), si l"on suppose que

la propriété est vraie pourk, on a alors x (k+1)=Ax(k) Ax(k) =A

Akx(0)

Akx(0)

AAkx(0)

Akx(0)

Ak+1x(0)

Ak+1x(0)

En développantx(0)sur la base des vecteur propres on peut écrire x (0)=nX i=1 iy(i); 16= 0:

On obtient alors

A kx(0)=nX i=1 iAky(i)=nX i=1 ikiy(i)=k1

1y(1)+nX

i=2 ii1 k y (i)! =k1w(k);(VIII.4) où l"on a posé w (k)=1y(1)+nX i=2 ii1 k y (i); SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantIJJ8IIMéthode de la puissance itérée - convergence et remarquesen utilisant (VIII.3) et (VIII.4) on obtient x (k)=k1jk1jw (k) w(k) =sgn(1)kw(k) w(k) ;(VIII.5) orlimk!1w(k)=1y(1), carji=1j<1,8i >1, d"où lim k!1sgn(1)kx(k)= y(1);où =1j1j y(1)

De même d"après (VIII.3) et (VIII.4)

Ax (k)=Ak+1x(0)

Akx(0)

=k+11w(k+1)k1kwkk=1sgn(1)kw(k+1) w(k) (VIII.6) d"où Ax(k) =j1j w(k+1) w(k) et donclimk!1 Ax(k) =j1j.

On a de plus en utilisant (VIII.5) et (VIII.6)

(Ax(k))px(k)p=1w(k+1)pw(k)p: Orlimk!1w(k)p=1y(1)p( non nul par hypothèse ), donc lim k!1[Ax(k)]px(k)p=1

Quelques remarques :

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantIJJ9Méthode de la puissance itérée - convergence et remarques-Si l"on a par exemple1=2etj1j>j3j j4j ::: jnj, c"est à dire si la valeur propre dominante est double la démonstration est encore valide, il suffit d"écrire x (0)=1y(1)+nX i=3 iy(i); où1y(1)est la composante dex(0)sur le sous espace propre associé à1(qui est ici de dimension 2). Ce serait encore valable si1était de façon générale multiple. Par contre si on a16=2 etj1j=j2j, alors la démonstration n"est pas valable, c"est ce qui se passe en particulier

dans le cas des valeurs propres complexes.-Dans la formule (VIII.2) apparaît le signe de1, ce qui veut dire que, si1est négatif,

alors les vecteursx(k)oscillent entre les deux vecteurs+ y(1)et y(1). On verra en TD (exerciceA.2.1) une variante de la méthode de la puissance itérée qui utilise la norme infinie judicieusement afin d"éviter ces oscillations.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantI10IIVIII.4 Méthode de la puissance itérée inverse - principe

Siest valeur propre deAet queAest inversible, alors, de façon équivalente,1est valeur propre deA1et les vecteurs propres associés sont les mêmes. On a en effet

Ay=y()y=A1y()A1y=1y:

Par ailleurs définissons, pourqscalaire donné, la matrice

B=AqI:

Cette matrice admet comme valeurs propresiqoùisont les valeurs propres deA, la matrice B

1(si elle est définie, c"est-à-dire siqn"est pas valeur propre deA) admet pour valeurs propres

i=1iq: En effet sizest vecteur propre deB1associé à(iq)1, il est vecteur propre deB, donc deA et il est évidemment associé à la valeur proprei. Vérification : B

1z= (iq)1z()z= (iq)1Bz()Bz= (iq)z()(AqI)z= (iq)z

()Azqz= (iq)z()Az=iz: SoitAmatrice diagonalisable dansIR, soitqun réel et soitjune valeur propre deAqui vérifie

0 c"est à direqn"est pas valeur propre deAetjest la valeur propre la plus proche deq. Il résulte de (VIII.7) que la matriceB1 B

1= (AqI)1

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantIJJ11Méthode de la puissance itérée inverse - principeadmet 1=1jq comme valeur propre dominante. Donc pourqdonné on peut s"inspirer de l"algoritme de la puissance itérée appliqué àB1ce qui permet d"obtenir1, et on retrouvejen posant j=11+q: La méthode s"appelle méthode de la puissance itérée inverse.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentchapitreNsuivantI12VIII.5 Méthode de la puissance itérée inverse

PosonsB=AqI. On donnex(0)arbitraire (ou presque!) et on définit la suitex(k+1)par 8>< :Bu (k+1)=x(k) x (k+1)=u(k+1) u(k+1) ; k0:(VIII.8)

On peut énoncer le théorème suivant :Théorème VIII.2.Soitq2IRdonné tel queq6=i,8i, et soitB=AqI. Si le vecteur initial

x (0)n"appartient pas au sous-espace engendré pary(i) i=1:::n;i6=jalors la suitex(k) k2INgénérée par la méthode (VIII.8) possède les propriétés suivantes : lim k!1 u(k)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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