[PDF] Exercices corrigés arithmétique

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x + y = 1 x - y = 13 x + y = 13 x - y = 1 x + y = -1 x - y = -13 x + y = -13 x - y = -1 x = 7 y = 6 x = 1

2x2 +y = 11

x = 11

2x2 +y = 1

x = -1

2x2 +y =-11

x = -11

2x2 + y = -1

Exercices corrigés d"arithmétique

Diviseurs -Division euclidienne :

Exercice 1 :

1) Démontrer que a | b si et seulement si pour tout k de ?, a | (b-ka).

2) Déterminer les entiers relatifs a, tels que (a-5) | (a + 7).

Une solution :

1) a | a. Si a | b alors a divise toute combinaison linéaire de a et b, donc pour tout kÎ ? , a | (b-ka).

Soit k Î ? si a | (b-ka) alors il existe q Î ? tel que b-ka = qa d"où b = (q +k) a, donc a | b.

Par conséquent, a | b si et seulement si pour tout k de ?, a | (b-ka).

2) D"après la question 1) (a-5) | (a + 7) Û a-5 | (a + 7)- (a-5) ) Û a-5 |12 ;

d"où a-5 Î {1,2,3,4,6,12,-1,-2,-3,-4,-6,-12} donc aÎ {6,7,8,9,11,17,4,3,2,1,-1,-7}.

Exercice 2 :

Déterminer les entiers naturels n tels que : n -1 divise n+3.

Une solution :

Si n -1 divise n+3 alors n -1 divise -( n -1 ) + n+3 d"où n -1 divise 4, donc n-1 =1 ou n-1= 2 ou n-1 = 4 n =2 ou n = 3 ou n =5. Les entiers naturels n tels que : n -1 divise n+3 sont : 2, 3 et 5.

Exercice 3 :

1) Résoudre dans IN

2 l"équation : x2 - y2 = 13.

2) Résoudre dans ?2 l"équation : 2x3 + xy -11 = 0

Une solution :

1) x

2 - y2 = 13 Û (x-y)(x +y) = 13

Û ( (x-y)(x +y) = 13, x-y | 13 et x + y | 13 ) Les diviseurs de 13 sont 1, 13 et leurs opposés.

Par conséquent :

x

2 - y2 = 13 Û ou ou ou

Dans ?2, le premier et les deux derniers systèmes n"ont pas de solutions x

2 - y2 = 13 Û S = {(7, 6)}

2) 2x

3 + xy -11 = 0 Û x(2x2 +y) =11Û ( x(2x2 +y) =11, x |11 et 2x2 +y | 11 )

Les diviseurs de 11 sont 1, 11, et leurs opposés ;

Par conséquent :

2x

3 + xy -11 = 0 Û ou ou ou

S= { (1, 9), (11, -241), (-1, -13), (-11, -243) }

Exercice 4 :

Montrer que

? n Î ? 25n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29.

Une solution :

2

0+ 1 + 30 + 3 = 29 est un multiple de 29 ;

Supposons que 2

5n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29 pour un entier naturel n ; c"est à dire que

2

5n+ 1 + 3n + 3 = 29k, kÎ ?.

Démontrons que 2

5(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 est un multiple de 29.

2

5(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 = 25n+ 1´25 + 3n + 3 ´3 = 25n+ 1´25 + 3´ (29k-25n+ 1)

= 25n+1( 32-3) + 3´ 29k = 29(25n+1 + 3k) ; d"où 2

5(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 est un multiple de 29.

Par conséquent : ? n Î ? 25n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29.

Exercice 5 :

On considère la fraction q

n=

7 -n19+n ; n étant un entier naturel strictement supérieur à 7.

1) Comment choisir n pour que q

n soit simplifiable ?

2) Déterminer n pour que q

n soit égale à un entier naturel.

Une solution :

1) q n= 1 + 7-n

26, nÎ?, n >7

q n est simplifiable si 26 et n-7 ont des diviseurs en communs distincts de 1. Les diviseurs de 26 distincts de 1 sont : 2, 13 et 26.

Par conséquent : q

n est simplifiable si et seulement si : 2 | n-7 ou 13| n-7 ou 26| n-7 ;

Par suite q

n est simplifiable si et seulement si n = 2k +7 ou n = 13k +7 ou n= 26k + 7, k Î?*. 2) q n est un entier naturel si et seulement si n-7 divise 26 q n Î? Û ( n-7 = 1 ou n-7 = 2 ou n-7 = 13 ou n-7 =26 )

Û n = 8 ou n = 9 ou n = 20 ou n = 33

Par conséquent : q

n Î? Û nÎ { 8, 9, 20, 33 }.

Exercice 6 :

Soit n un entier naturel non nul. Déterminer le reste de la division euclidienne de : 1) n

2 + 2n par n + 1.

2) 7n +15 par 3n+ 2.

Une solution :

1) n

2 +2n = n(n+1) + n avec 0£ n < n+1. Quel que soit n Î?* , 0 £ n < n+1,

donc n est le reste de la division euclidienne de n

2 + 2n par n + 1.

2) 7n + 15 = 2(3n +2) +n +11, avec 0£ n + 11 < 3n+2

n + 11 < 3n+2 Û n > 2 9 ; d"où si n ³ 5 alors le reste de la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2 est n +11. Si 0 < n £ 4 alors n + 11 ³ 3n+2 . On augmente le quotient d"une unité du diviseur : 7n + 15 = 3(3n +2) +n +11-3n-2 =3(3n +2)-2n + 9 avec 0£ -2n + 9 < 3n+2

0£ -2n + 9 < 3n+2 Û ( n £

2

9 et n >

5

7) Û nÎ {2, 3, 4}.

Par conséquent, si nÎ{2, 3, 4}alors le reste de la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2est -2n + 9.

Si n = 1 alors On augmente le quotient d"une unité du diviseur, dans la division euclidienne précédente.

7n + 15 = 4(3n +2)-2n + 9-3n-2 = 4(3n +2) -5n+7 avec 0£ -5n+7 < 3n+2

0

£ -5n+7 < 3n+2 Û ( n £

5

7 et n >

8

5) Û n = 1

Si n=1 alors le reste est -5n+7 =2

Remarque : On pourrait pour 0< n £ 4 faire la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2 en remplaçant n

respectivement par 1 ; 2 ; 3 et 4.

PGCD - PPCM

Exercice 1:

Calculer pour tout entier naturel n non nul :

1) PGCD (n, 2n+1) et PPCM (n, 2n+1) 2) PGCD (2n+2,4n+2) et ¨PPCM (2n+2,4n+2).

Une solution :

1)

-2´n +1´(n +1) =1. D"où n et 2n + 1 sont premiers entre eux d"après le théorème de Bézout.

Par suite PGCD (n, 2n+1) =1 et PPCM (n, 2n+1) = n(2n+1).

2) PGCD (2n+2,4n+2) = PGCD (2(n+1),2(2n+1)) = 2 PGCD (n+1,2n+1)

On a : 2´(n +1) -1´(2n +1) = 1. On en déduit d"après le théorème de Bézout que n+1 et 2n+1 sont

premiers entre eux. Par suite PGCD (2n+2,4n+2) = 2´1 = 2 et PPCM (2n+2,4n+2) = 2(n +1)(2n +1).

Exercice 2 :

Déterminer le plus petit entier naturel dont les restes sont 5 ; 13 ; 17 lorsqu"on le divise respectivement

par 15 ; 23 ; 27.

Une solution :

Soit N cet entier naturel. Il existe des entiers relatifs q1, q2 et q3 tels que :

N = 15q1 + 5, N = 23 q2 + 13 et N = 27q3 + 17 ;

d"où N + 10 = 15(q1 + 1), N + 10 = 23(q2 + 1) et N + 10 = 27(q3 + 1).

Il en résulte que N + 10 est multiple commun de 15, 23 et 27. N étant le plus petit de ces multiples alors

N + 10 = PPCM (15, 23, 27) = 27´23´5 = 3105 ; d"où N = 3105 -10 = 3095.

Exercice 3:

Le nombre d"élèves d"une classe est inférieur à 40. Si on les regroupe par 9 ou par 12, il en reste 1 chaque

fois. Quel est ce nombre ?

Une solution :

Soit n ce nombre.

n = 9 q1 +1 et n = 12 q2 +1 ; d"où n-1 est un multiple commun à 9 et 12, inférieur à 40.

Par conséquent : n-1 = 36, d"où n = 37.

Exercice 4 :

Deux entiers a et b ont pour PGCD, d.Quel est le PGCD des entiers x = 13a+ 5b et y = 5a + 2b.

11x = - 16y (1)

16 | 11x (2)

Une solution :

PGCD ( a, b) = d. Posons PGCD(x,y) = D.

Tout diviseur commun à a et b divise x et y qui sont des combinaisons linéaires de a et b. Par conséquent, d est diviseurs commun de x et y, d"où d £ D. On déduit de x et y que a= 2x -5y et b = -5x+13y.

Tout diviseur commun à x et y divise a et b qui sont des combinaisons linéaires de x et y ; d"où D £ d.

Par conséquent d = D. Donc PGCD(x, y) =d.

Equations diophantiennes du type : ax ++++by ==== c Exercice 1 : Résoudre dans ?2 l"équation : 11x + 16y = 0

Une solution :

11x + 16y = 0 Û 11x= - 16y Û

16 | 11x et PGCD(11, 16) = 1, d"après le théorème de Gauss 16 divise x ; donc x = 16k , kÎ ?.

On déduit de (1) que y = -11k. S= {(16k, -11k), kÎ ? }

Exercice 2 :

1) a) Montrer que l"équation 59x + 68y = 1 admet une solution dans ?2.

b) Résoudre dans ?2 l"équation 59x + 68y = 1.

2) Résoudre dans ?2 l"équation 59x + 68y = 2.

Une solution :

1)a) PGCD(59, 68) = 1, d"après le théorème de Bézout il existe deux entiers relatifs u et v tels que

59u + 68v =1. D"où (u, v) est une solution de l"équation ; donc l"équation admet une solution.

b) Recherche d"une solution particulière par l"algorithme d"Euclide : a b q r Formons r = a - bq

68 59 1 9 a = b +9, 9= a-b

59 9 6 5 b = 6(a-b) +5 ; 5 = 7b -6a

9 5 1 4 a-b =-6a + 7b +4 ; 4 = 7a -8b

5 4 1 1 7b -6a =7a -8b + 1

On en déduit que -13a + 15b =1 et que le couple (15,-13) est solution de l"équation.

59x +68y =1.

59x +68y =1Û 59(x-15) + 68(y +13) = 0

Û 59(x-15) = - 68(y +13) Û

68| 59(x-15) et PGCD(68, 59) = 1, d"après le théorème de Gauss 68 | x-15

68 | x-15 donc x = 68k + 15 , kÎ ՗

En remplaçant x dans (*) on obtient : y = -59k - 13.

S = {(68k+15, -59k - 13), kÎ՗}

2) Le couple (15,-13) est solution de l"équation 59x +68y =1. On en déduit que le couple (30, -26) est

solution de l"équation 59x +68y =2 (E). (E) Û59(x-30) =-68(y+26) Û

59(x-15) = - 68(y +13) (*)

68| 59(x-15)

59(x-30) =-68(y+26) (**)

68| 59(x-30)

68| 59(x-30) et PGCD(68, 59) = 1, d"après le théorème de Gauss 68 | x-30

68 | x-30 donc x = 68k + 30 , kÎ ՗

En remplaçant x dans (**) on obtient : y = -59k - 26.

S = {(68k+30, -59k - 26), kÎ՗}.

Congruence

Exercice 1 :

1) Vérifier que 1000 º1 [37] et en déduire que pour tout entier naturel n, on a 103n º 1 [37].

2) En déduire le reste de la division euclidienne de 1 001 037 par 37.

Une solution :

1) 1000 = 27´37 + 1 d"où 1000 º1 [37].

1000= 103 , 103 d"où pour tout entier naturel n (103)n º1n [37] donc 103n º 1 [37].

2) 1001037 = 106 + 103 + 37

D"après 1) 10

6 º 1 [37] , 103º 1 [37] et 37 º 0 [37].

Par addition 10

6 + 103 + 37 º 2 [37] ; donc 1001037º 2 [37]. Par conséquent 2 est le reste de la division

de 1001037 par 37.

Exercice 2 :

1) Montrer que 67

89-1 est un multiple de 11.

2) Pour quelles valeurs de n entier naturel, 5

2n + 5n + 1 est un multiple de 3 ?

Solution

1) 67 = 6´11 + 1 d"où 67 º1 [11] , 6789 º189 [11] et 6789 º1 [11] ; donc 6789 -1 est un multiple de 11.

2) 5 º -1 [3] d"où 52 º1 [3].

On en déduit que pour tout entier naturel n : 5 n º (-1)n [3] et 52n º1 [3]. et 1 º1 [3] ; d"où par addition 52n + 5n +1 º 2+ (-1)n

Si n est pair alors 2+ (-1)n = 3 º0 [3].

Si n est impair alors 2+ (-1)n = 2 º2 [3].

Par conséquent 5

2n + 5n +1 est un multiple de 3 si n est pair.

Exercice 3 :

Démontrer que le carré de tout entier naturel est de la forme 5n-1 ou 5n ou 5n + 1, n entier naturel.

Une solution :

Soit NÎՐ. N º 0 [5] ou N º 1 ou N º 2 [5] ou N º 3 [5] ou N º4 [5].

Si N º 0 [5] alors N2 º 0 [5]

Si N º 1 [5] alors N2 º 1 [5]

Si N º 2 [5] alors N2 º 4 [5] et 4 º -1 [5] d" où N2 º -1 [5] Si N º 3 [5] alors N2 º 9 [5] et 9 º -1 [5] d"où N2 º -1 [5] Si N º 4 [5] alors N2 º 16 [5] et 16 º 1 [5] d"où N2 º 1 [5] ; donc N

2 º 0 [5] ou N2 º 1 [5] ou N2 º -1 [5]

Par conséquent il existe n entier naturel tel que N = 5n ou N = 5n +1 ou N = 5n-1, donc le carré de tout

entier naturel est de la forme 5n-1 ou 5n ou 5n + 1.

Exercice 4 :

Résoudre dans ՗ : 1) 14x º 3 [4] ; 2) 3x º 1 [5]

5x º 2 [7]

Une solution :

1) 14x º 3 [4] Û 14x + 4k =3, kÎ ՗.

Û2(7x +2k) = 3

?2 divise 3, ce qui est faux.

S = AE ;

2) 3x º 1 [5] 3x + 5k =1 , kÎ՗

5x º 2 [7] 5x +7k" = 2, k"Î՗

3x + 5k =1 (1)

Le couple (2,-1) est uns solution de (1).

(1) Û 3(x-2) +5(k+1) =0 Û 3(x-2) = -5(k+1) et 5 | 3(x-2)

5 | 3(x-2) et PGCD (5, 3) =1, d"après le théorème de Gauss 5| x-2.

5| x-2 donc x = 5q +2, qÎ՗.

Par conséquent 3x º 1 [5] équivaut à x = 5q +2, qÎ՗. ;

5x +7k" = 2 ( 2)

PGCD(5, 7) =1 d"où il existe u et v entiers relatifs tels 5u+7v =1 (*) Le couple (3,-2) est solution de (*) ; d"où le couple (6, -4) est solution de (2). (2) Û 5(x-6) +7(k"+4) =0 Û 5(x-6) =-7(k"+4) et 7 | 5(x-6).

7 | 5(x-6) et PGCD(5, 7) =1,d"après le théorème de Gauss 7 | x-6.

7 | x-6 donc x = 7q" + 6, q"Î ՗. Par conséquent 5x º 2 [7] équivaut à x = 7q" + 6, q"Î ՗.

Par suite

3x º 1 [5] x = 5q +2, qÎ՗

5x º 2 [7] x = 7q" + 6, q"Î ՗

x = 5q +2 et 5q +2 = 7q" + 6

5q +2 = 7q" + 6 5q -7q"= 4 (3).

Le couple (3, 2) est solution de l"équation 5q -7q"= 1 ; d"où le couple (12, 8) est solution de l"équation

5q -7q"= 4.

(3) Û 5(q-12) -7(q"-8) = 0 Û5(q-12) = 7(q"-8) et 7| 5(q-12)

7| 5(q-12) et PGCD (7, 5) =1, d"après le théorème de Gauss 7| q-12.

7| q-12 donc q = 7k+ 12, kÎ՗

Par suite x = 5(7k+ 12) +2 = 35k + 62 ;

S = {35k+ 62, kÎ՗ }.

Exercices de synthèse :

Exercice 1 :

Soit n un entier naturel non nul. On considère deux nombres a et b définis par : a = 2n+3 et b =5n-2.

1) Démontrer que le PGCD de a et b divise 19.

2) Déterminer les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de a et b est 19.

Une solution :

1) a = 2n+3 et b =5n-2 ; nÎ Ր.

Tout diviseur commun à a et b divise toute combinaison linéaire de a et b ; d"où le PGCD (a, b) divise

5a-2b = 19.

Par suite PGCD (a, b) divise 19.

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