LES ONDES SONORES
Propagation : Ce mouvement vibratoire se propage de proche en proche aux couches suivantes : l'onde sonore est LONGITUDINALE : la direction de propagation et la
UAA12 : Les ondes sonores
UAA12 : Les ondes sonores. 1- Le son : une vibration qui se propage. Activité 1 : Production d'un son. Latte : Tenir fermement la latte sur le bord du banc
Les ondes sonores
) et d'une surpression variable au cours du temps p qui correspond au son. Pour un son pur : p t. 2. Intensité acoustique intensité sonore. La source
VII –Ondes sonores et ultrasons
Par conséquent la célérité C de propagation de l'onde sonore ou ultrasonore dépend fortement du milieu de propagation. Plus le milieu est rigide
Chapitre 10 Généralités sur le son et les ondes
La propagation d'un son dans l'air par exemple
Ondes sonores dans les fluides
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LES ONDES SONORES
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LES ONDES SONORES
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ONDES Cordes vibrantes ondes sonores
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Chapitre 5 Ondes acoustiques
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Interférence des ondes lumineuses
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Propagation dondes sonores dans les fluides (PC*)
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Chapitre5
Ondesacoustiques
acoustiques,correspondant`alapropagation depetitesperturbationsdansun fluide. L"ondesera alorscaract´eris´eeindiff´eremmentparled´eplacementdes´elementsde fluideou parlavariation depressionautourdelapressionmoyenne.Cetexemple permettra aussid"aborderlapropagation desondes`atroisdimensions,cequin"est5.1Descriptiond"unfluide
Onconsid`erequelespropri´et´esd"un fluideconsid´er´evarientcontinuementd"un point`al"autredesonvolume;onseplaceainsidansl"approximation desmilieux constituantlefluide. c.-`a.-d.desfonctionsdelaposition?xetdutempst(description diteeul´erienne).Les -le champdedensit´eρ(?x,t)quidonnelamassevolumiquelocaledu fluidedans unvolumeinfinit´esimalcentr´eau point?x,`al"instantt -le champ detemp´eratureT(?x,t) -le champ depressionP(?x,t),quiserad´efiniplusend´etaildanslasuitedutexte -le champ devitesse?v(?x,t)quidonnelavitessemoyennedel"´ecoulementpour volumeinfinit´esimaldefluidecentr´eau point?x,`al"instantt particulespr´esentesdansunvolumeinfinit´esimalcentr´eautourdu point?x. syst`emeconstitu´ed"un petitvolumedefluide,dontonvasuivrelesd´eplacements etd´eformationsaucoursdutemps(description ditelagrangienne).Cet´elementdePage61
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el consid´er´e,`al"instantt. On peutalorsd´efinirled´eplacementdecet´elementdefluitecommeψ(?x,t)=?x(t)-?x(0),(5.1.1)
quidonneled´eplacementdu petitvolumedefluidequisetrouvaitau point?x`at=0 (c.-`a.-d.que?ψ(?x,0)=0).5.1.1Ondesacoustiques`aunedimension
celas"appliquenaturellementdanslecaso`u nousconsid´ereonsuniquementuneonde plane; ilsuffitalorsdeprendrel"axeOxparall`eleauvecteurd"onde?k. Cettehypoth`eseestaussivalablesinousconsid´eronslapropagation desondes acoustiquesdansuntuyau desection petitedevantsalongueur,enn´egligeantles effetsdebord provenantdelaviscosit´edu fluide.Ilsuffitl`aencoredeprendrel"axeOxparall`ele`al"axedutuyau.
5.1.2Forcesdepression
N´egligeantl"influencedesforcesvisqueuses(frottementsfluides)etdela gravita- tion, lesforcess"exer¸cantsurun´el´ementdefluideinfinit´esimalsontuniquementdes nombrespositifsou n´egatifs. Entoutpointdu fluideon d´efinitle champ depressionP(x,t)delamani`ere habituelle.On noteF(x,t)laforce(alg´ebrique)au pointxet`al"instanttexerc´eepar lapartiedu fluidesitu´eedanslar´egiony2etx+dx2.
Lasommedesforcesappliqu´eesausyst`emesera alorsdonn´eeparlasommedes forcesdepressionsurlesdeuxfaces,voirfigure5.1.Cesforcesappliqu´eesau fluide situ´eeenx-dx2estdonn´eeentermesduchamp depression par
F|x-dx
2=P(x-dx2,t)s(5.1.2)
Page62
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨elF(x+dx/2)F(x-dx/2)
x+dx/2x-dx/2 Fig.5.1 -Forcespressantesappliqu´ees`al"´el´ementdefluide.2,estorient´eeverslesx
F|x+dx
2=-P(x+dx2,t)s(5.1.3)
F|x-dx
2+F|x+dx2=[P(x-dx2,t)-P(x+dx2,t)]s? -∂P(x,t)∂xdxs(5.1.4)
o`u nousavonssuppos´el"´epaisseurdelatranchedefluideinfinit´esimale.5.1.3Principefondamentaldeladynamique
ned´ependentqued"unedimension:1 m ∂v(x,t) ∂t=? iF i(5.1.5) m=ρ(x,t)δV=ρsdx(5.1.6) enfonction delamassevolumiquedu fluideρ(x,t).Enutilisantl"expression(5.1.4)ρ(x,t)∂v(x,t)
∂t=-∂P(x,t)∂x(5.1.7)1.Entouterigueur, letermedegauchecontientuned´eriv´eeparticulaireparrapportautemps,
Notonsque,pouruneondesepropageantdansun fluidestatiquedansl"approximationlin´eaire,cePage63
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el5.1.4´Equationdeconservationdelamasse
Naturellement, l"´ecoulementdu fluidedoitˆetretelqu"ilconservelenombrede particules,c.-`a.-d.qu"ilconservelamasse.On peutconsid´ereralorsl"´evolution dela section5.1.2,onobtientl"´equationlocaledelaconservation delamasse ∂ρ(x,t) Cette´equationstipulequelavariation delamassedansl"´el´ementinfinit´esimalest Laquantit´eρ(x,t)v(x,t),quialadimension d"unemasseparunit´edesurfaceet transversedutuyausonore. Les´equationsfondamentalesdeladynamiquedu fluide,´eq.(5.1.7)et´eq.(5.1.8), intervenirle champ devitesse,lapremi`erefaitintervenirle champ depressionetla secondele champ dedensit´e.Pourobtenirunecaract´erisationcompl`etedusyst`eme ilfautintroduireune´equationd"´etatliantlapression, ladensit´eetlatemp´eraturedu fluide. Lavariation demassependantdtdue`al"´ecoulementestdonn´eeparlasommedes masseproprementditeestdonn´eepar (5.1.6).Consid´eronslafacesitu´eeenx-dx 2. parδm?
x-dx2=ρ(x-dx2,t)×sv(x-dx2,t)dt????
volumedefluideentrantpendantdt(5.1.9) entermesduchamp devitessev,quiestorthogonal`alafaceconsid´er´ee.Demˆemela masseentrantparlafacesitu´eeenx+dx2estdonn´eepara
δm?
x+dx2=-ρ(x+dx2,t)sv(x+dx2,t)dt(5.1.10)
riation delamassependantdt: s∂ρ(x,t)dx ∂[ρ(x,t)v(x,t)] ∂xsdxdt Nousobtenonsfinalementl"´equationlocaledelaconservation delamasse(5.1.8). d´eplaceverslesxd´ecroissants.Page64
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el Pour´etablirl"´equation d"onde,consid´eronsun fluideinitialementaurepos,c"est perturbation par parcouru parunepetiteperturbationcorrespondant`aun d´eplacementdefluidelongi- comme P(?x,t)=P0+p(?x,t),ρ(?x,t)=ρ0+δρ(?x,t) (5.1.12) o`u noussupposonsque|p/P|?1,|δρ/ρ0|?1. Revenonsmaintenant`alapropagation`aunedimension.L"´equation dumouve- ment (5.1.7)pourle champ devitessedonne:0+δρ(x,t)?∂v(x,t)
∂t=-∂p(x,t)∂x(5.1.13) Enlin´earisantau premierordredansle champ devitessev(x,t)etlasurdensit´eδρ(x,t)onobtientsimplement
etlaconservation delamassedonne devent). Les´equationsfondamentalesdeladynamiquedu fluide,´eq.(5.1.14)et´eq.(5.1.15), intervenirle champ devitesse,lapremi`erefaitintervenirle champ depressionetla secondele champ dedensit´e.Pourobtenirunecaract´erisationcompl`etedusyst`emeil fautintroduireune´equationd"´etatliantlapressionetlamassevolumiquedu fluide.5.2.1Thermodynamiquedufluide
Nousdevonsutiliserdesrelationsthermodynamiquespour relierlasurpression, lesPage65
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el interneU.Savariationinfinit´esimaleestli´ee`alaquantit´ede chaleur re¸cueetautravail exerc´eparlesforcesdepressionappliqu´eesau fluide: dU=δQ-PdV(5.2.1) est`alachaleur re¸cueparlesyst`emeselon dS=δQT.(5.2.2)
Cettehypoth`eseestraisonnablepourlesondessonoresquin"impliquentpasde chan- lafaibleperturbationinduiteparl"ondesonoren"induitpasdetransfertde chaleur danslefluide, c.-`a.-d.quelatransformationthermodynamiqueassoci´eeestadiaba- constante,ouisentropique.EneffetδQ=0?dS=0(5.2.3)
danscecas.Pourunetelletranformation nousavonsalorsdU+PdV=0.5.2.2Compressibilit´e
d"´etatdusyst`emelapressionP, levolumeVetl"entropieS.Nouspouvonsalors exprimerparexemplelevolumeenfonction delapressionetdel"entropie:V=V(P,S)=?dV=∂V
∂P? ?SdP+∂V ∂S? ?PdS(5.2.4) dS=0,cequi impliquequelavariationinfinit´esimaledevolumeestsimplement dV=∂V ∂P? ?SdP(5.2.5) d"autrestermeslavariation duvolumedu fluideenr´eponse`aunevariation depression, par s=-1V∂V∂P?
?s(5.2.6) perturbationsdu fluidesconsid´er´eesici. therme.Page66
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el Pourlepetit´el´ementdefluidelavariation depressioncorrespond`alasurpressionδV(x,t)=s?x+dx
2+ψ(x+dx2,t)-?x-dx2+ψ(x-dx2,t)??
?δV0?1+∂ψ(x,t)
∂x? (5.2.7) Lavariationrelativedevolumeestdoncdonn´eeau premierordreparδV(x,t)-δV0
δV0=∂ψ(x,t)∂x(5.2.8)
Onobtientdoncd"apr`eslad´efinition delacompressibilit´eisentropiqueque,pour s=-1 p(x,t)∂ψ(x,t)∂x(5.2.9) Celaimpliqueenparticulier,end´erivantunefoispar rapportautemps,que ∂p(x,t)5.2.3´Equationd"onde
tude`aunedimension,dansun fluideaurepos,estcaract´eris´eeparlestrois´equations fondamentales(pfd,conservation delamasse,compressibilit´e): ∂v ∂t=-1ρ0∂p∂x(5.2.11a) ∂t=-ρ0∂v∂x(5.2.11b) ∂p ∂t=-1χs∂v∂x(5.2.11c) D´erivonsunefoispar rapportautempsl"´equation(5.2.11c).Aupremierordredans le champ devitessenousobtenonslarelation2p(x,t)
∂t2=-1χs∂∂x? ∂v(x,t)∂t? (5.2.12) Enutilisantl"´equation dumouvement (5.2.11a),onobtientalors2p(x,t)
∂t2=-1χs∂∂x? -1ρ0∂p(x,t)∂x? (5.2.13)Page67
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨elSoitfinalement
Cette´equationestidentique`al"´equation d"onde(ou ded"Alembert)`aunedimension, comme c=1⎷ρ0χs(5.2.15) Nouspouvonsdoncr´e´ecrirel"´equation pr´ec´edentecomme: 1 c2∂ Remarquonsquelaperturbationcorrespondant`auneondesonoreestli´eeau d´epla- cement?ψ(?x,t)des´el´ementsdefluide.Ced´eplacementestparall`ele`aladirection de propagation del"onde.Ils"agitdoncd"unexempled"ondelongitudinale. Contrairementauxondes sepropageantsurunecorde,lesondessonoressontde coordonn´eesspatiales,onobtientnaturellementl"´equation ded"Alembert`atroisdi- mensions:1 c2∂2p(?x,t)∂t2-Δp(?x,t)=0(5.2.17)
Laformedelasolutiong´en´eraled´epend dessym´etriesdu probl`eme,li´ees`alaforme delasource´emettricedel"onde. Consid´eronsmaintenantlad´eriv´eepar rapportautempsdel"´equation(5.2.11a) etutilisonsensuite(5.2.11b):2tv=-1
ρ0∂
x(∂tp)=-1ρ0∂ x? -1χs∂ xv? =c2∂2xv(5.2.18) Ainsinousobservonsquev(x,t)satisfait´egalementl"´equation d"onde: 1 c2∂ commelesondessph´eriques. xv=-χs∂tp=-1ρ0∂
α(x)=0.Larelationobtenue
p(x,t)=c2δρ(x,t)(5.2.21)Page68
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el5.2.4Gazparfait
d"´etatbienconnue:PV=NkbT(5.2.22)
enfonction delaconstantedeBoltzmannkb,etpourNparticules.Deplus,on peut loideLaplace:PVγ=constante(5.2.23)
avons s=-1V∂V∂P=1γP(5.2.24)
avonsdonc s?1γP0=1γVNkBT(5.2.25)
c=1 ⎷ρ0χs=?γkBTNρ0V(5.2.26) constantedesgazparfaitsR=NAkB(5.2.27)
nousavonsfinalement c=?γRTM(5.2.28)
pourcelaqu"ilestplusfacilepourlesavion depasserlesmursduson`ahautealtitude! trouveune c´el´erit´edec=343m·s-1.Page69
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el avons dU=-PdV=CvdT(5.2.29) Onconsid`ereaussiun deuxi`emepotentielthermodynamique,l"enthalpieH,appropri´e parH=U+PV.Ilv´erifiedonc dH=TdS+VdP(5.2.30) dH=VdP=CpdT.(5.2.31) d´efiniespar CEnintroduisantlecoefficient
γ=Cp
Cv,(5.2.33)
quiestconstantpourungazparfait,on d´eduitdecesrelationsl"´equationsuivanteγ=-dP/P
dV/V(5.2.34) Cequi impliqueCv(γ-1)dT=d(PV)=NkBT.Doncnoustrouvonslarelation C v(γ-1)=NkB(5.2.35) On peutmontrerquepourungazparfaitmonoatomiquenousavonsCv=32NkB,alors
quepourungazdiatomique,Cv=5 moiti´edu nombrededegr´esdelibert´edesconstituantsdugaz.Ils"ensuitqueγestune constante,doncenint´egrant (5.2.34)ontrouvequ"unetransformationisentropiqued"un gazparfaitesttellequePVγ=constante(5.2.36)
lelongdelatransformation.Page70
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el5.3Tuyauxsonores
pr´esentcontexteon peuts"autoriserdesconditionsauxlimitesdiff´erentes.Danstoute section d"aires,voirfig.5.2. s"effectueselonlemˆemeaxe,lasurpressionp(x,t)satisfaitl"´equation d"onde(2.1.1)`a unedimension.L"ondeest´egalementcaract´eris´eeparle champ ded´eplacementψ(x,t) etle champ devitessev(x,t).Toutescesquantit´esned´ependentpasdescoordonn´ees yetztransverses`al"onde.Le champ devitessesatisfaitalors´egalementl"´equation d"onde 1 c2∂ d´emontr´eplushaut. x u(x,t) x xu(x,t) p(x,t) p(x,t)u(x,t) p(x,t) Fig.5.2 -Tuyauferm´e(haut),ouvert(milieu)etsemi-ouvert(bas). typesdetuyauxsonorespossibles: sonoreauxparoisdutube.Page71
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el5.3.1Tuyauferm´e
Onconsid`ereuntuyau dontlesdeuxextr´emit´es,enx=0etx=L,sontferm´ees paruneparoirigide.Commecelle-cinepeutˆetremisesenmouvement, le champ de d´eplacementestnaturellementnul:ψ(x=0,t)=0,ψ(x=L,t)=0?t(5.3.2)
Cesrelations´etantv´erifi´ees`atoutinstant,nousavons´egalementpourle champde vitesse v(x=0,t)=0,v(x=L,t)=0?t(5.3.3) Nousavonsdoncobtenu desnoeudsauxdeuxextr´emit´esdelacorde.Partantd"une solutiong´en´eraledel"´equation d"ondepourle champ devitesse v(x,t)=v-(x-ct)+v+(x+ct) (5.3.4) parl"´eq.(4.2.11).Lasolutiong´en´eraledu probl`emeestunesuperposition demodes delaforme: v cx?(5.3.5) Commepr´ec´edemmentlesnoeudspourle champ devitessesontsitu´esenxa=aL/n, ?=0,...,netlesventresenxa=(a+12)L/n,?=0,...,n-1.Larelation(5.2.10)
nousapprendquele champ desurpressionsatisfaitpourcemode ∂p Noussavonsquelavaleurmoyennedansletempsdelasupression doitˆetrenulleen toutpoint,carl"ondeestsinuso¨ıdale.Enint´egrantcettederni`ere´equation par rapport cx?(5.3.7) Nousobservonsalorsquelesnoeudspourle champ devitesseu(x,t)sontdesventres pourle champ desupression,etinversement.Lepremiersatisfaitdesconditionsaux limitesditesdeDirichlet,etlesecond desconditionsauxlimitesditesdevonNeu- mann.Cesderni`eresimposentque ∂p ∂x? ?x=0,t=0,∂p ∂x? ?x=L,t=0(5.3.8) situ´econtrelaparoi.Page72
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el5.3.2Tuyauouvert
pressions"annule: p(x=0,t)=0,p(x=L,t)=0(5.3.9) NousavonsdoncdesconditionsdeDirichletpourlasupression-etnon pourlavitesse commedanslecaspr´ec´edent.On peututiliserlesr´esultatspr´ec´edentspour´ecrireles modespropresdesupression p cx?(5.3.10) ainsiqueceuxdevitesse: v n(x,t)=Bn Nousvoyonsquele champ devitessesatisfaitdesconditionsauxlimitesdevonNeu- mann,mˆemesicen"estpasn´ecessairement tr`esintuitif.5.3.3Tuyausemi-ouvert
Le champ devitessesatisfaitalorsdesconditionsauxlimitesmixtes:Dirichletenx=0 etvonNeumannenx=L: v(x=0,t)=0(5.3.12a) ∂v ∂x? ?x=L,t=0(5.3.12b) g´en´erique Lapremi`erecondition,´eq(5.3.12a), impose˜A-=-˜A+=˜A,soitquenousayonsune ondestationnairedelaforme˜v(x,t)=2i˜Aeiωtsin(kx) (5.3.14)
cos(knL)=0=?kn=(n+12)π
L,n?N(5.3.15)
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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨elLesfr´equencespropressontalors
n=(n+1 2)c2L(5.3.16)
pourunorgue). Ilestfaciledevoirquelepointx=0estun noeud devitesseetunventrede surpression.Demani`ereanaloguelepointx=Lestunnoeud desurpressionetun ventredevitesse.5.4´Energie
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