[PDF] Ondes sonores dans les fluides

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PSI Moissan 2012Ondes sonores dans les

uidesJanvier 2013Ondes sonores dans les uides L'objectif du chapitre est de decrire les ondes sonores en s'appuyant sur les resultats importants du chapitre precedent. Les ondes sonores sont des ondes longitudinales se propageant dans les milieu

materiel. Nous avons vu dans le chapitre precedent l'exemple des ondes sonores dans les solides. Nous

nous interesserons ici aux ondes sonores se propageant dans les uides, en reprenant evidemment la description qui en a ete faite en mecanique des uides.

I Propagation d'une onde sonore

I.1 Description et modelisation du probleme

Un uide est decrit, dans le formalisme eulerien, par la donnee des champs suivants : le champ de vitesse~vpM;tq, le champ de pressionppM;tqet le champ de masse volumiquepM;tq. On note les valeurs au repos de ces champs~vpM;tq ÝÑ0 ,PpM;tq P0etpM;tq 0. L'onde se traduit par la perturbation du milieu, de sorte que ~vpM;tq ~v1pM;tq;ppM;tq p0p1pM;tq;pM;tq 01pM;tq(1) p

1est appele surpression ou pression acoustique.Dans le cadre de l'approximation acoustique, les grandeurs~v1pM;tq,PpM;tq1et1pM;tq

sont considerees comme des inniment petits d'ordre 1 et ont une moyenne temporelle nulle.L'approximation acoustique permet d'obtenir des equations lineaires.

On neglige l'action de la pesanteur et on suppose le uide parfait, obeissant donc a l'equation d'Euler.

I.2 Mise en equation

Equation d'EulerL'equation d'Euler s'ecrit

B~vBt p~vÝÝÑgradq~v

ÝÝÑgradp En utilisant les hypotheses de l'approximation acoustique : p01qB~v1Bt p~v1ÝÝÑgradq~v1 ÝÝÑgradp1

Les termes1B~v1Btetp~v1ÝÝÑgradq~v1sont des inniments petits d'ordre 2, et sont donc negligeables. On obtient

alors une version linearisee (c'etait le but!) de l'equation d'Euler :

0B~v1Bt ÝÝÑgradp1

1

PSI Moissan 2012Ondes sonores dans les

uidesJanvier 2013Conservation de la matiereL'equation locale de conservation de la matiere est la suivante :

BBtdivp~vq 0

qui se reecrit en utilisant les hypotheses de l'approximation acoustique

B1Bt0div~v1divp1~v1q 0

Le terme divp1~v1qest du deuxieme ordre, donc :

B1Bt0div~v10

Hypothese adiabatiqueL'evolution thermodynamique du uide est, par hypothese, consideree comme adiabatique reversible; on suppose que l'evolution de l'etat d'une particule uide se fait avec des constantes

de temps trop rapides pour qu'il y aitechange de chaleur. L'evolution est alorsisentropique. Le coecient

de compressibilite isentropique du uide est alors donne par : S 1V BVBp S

Commem{V,

1V

BVBp m

B m Bp B1

Bp BBp

1 2 1 BBp

On a alors

S 1V BVBp S1 BBp S Pour une transformation isentropique, on a doncdSdp. Dans le cas de la description eulerienne d'une particule uide, on a alorsDDt SDpDt

Comme pour l'equation d'Euler, les derivees convectives sont negligeables, donc en faisant disparaitre les

termes d'ordre superieur a 1B1Bt0SBp1Bt

Equations linearisees

Equation d1Euler0B~v1Bt ÝÝÑgradp1(2)

Conservation de la masse

B1Bt0div~v10(3)

Adiabaticite

B1Bt0SBp1Bt(4)2

PSI Moissan 2012Ondes sonores dans les

uidesJanvier 2013I.3

Equation de propagation

On cherche a obtenir l'equation veriee par la surpressionp1. D'apres (2) divpÝÝÑgradp1q divp0B~v1Btq 0BBtpdiv~v1q et d'apres (3)

0div~v1 B1Bt

donc divpÝÝÑgradp1q B21Bt2

Par ailleurs, (4) permet d'ecrire

divpÝÝÑgradp1q 0SB2p1Bt2 Comme divpÝÝÑgradp1q p1ou represente l'operateur laplacien, alorsB

2p1Bt21

0Sp10(5) est l'equation de d'Alembert pour la surpression, avec

c1?

0S(6)Cette celerite est d'autant plus grande que la densite est faible et que la compressibilite est faible. Les

gaz sont moins denses, mais beaucoup plus compressibles, et numeriquement la vitesse de propagation est souvent plus importante dans les liquides. RemarquesLe phenomene d'onde sonore est par nature un phenomene tridimensionnel puisque le milieu de propagation le permet.

On obtient une equation semblable pour la vitesse

B

2~v1Bt21

0SÝÑ~v0

et pour la masse volumique. Celerite dans un gaz parfaitPour un gaz parfait qui subit une evolution isentropique,pV constante. On a donc, en dierentiant le logarithme de cette expression : dpp dVV 0

On peut en deduireS:

S 1V BVBp1 p

La celerite des ondes acoustiques vaut alors

c1? 0Sc p 0 3

PSI Moissan 2012Ondes sonores dans les

uidesJanvier 2013On peut prendre icipp0, et l'equation d'etat du gaz parfait s'ecritpRT{MouMest la masse

molaire du gaz. Alors cc RT 0M (7) ce qui donne pour l'air, une celeritec347ms1qui est en accord avec les donnees experimentale, justiant donc les hypotheses et approximations faites en debut de chapitre.

II Ondes sonores

II.1 Ondes planes progressives harmoniques

L'expression generale d'une onde plane progressive de pression se propageant dans la direction~uest p

1p~r;tq fpt~u~rc

q gpt~u~rc q(8) et pour une onde se propageant sur l'axeOx(~u~ux), dans le sens desxcroissants p

1p~r;tq fptx{cq(9)

Par linearite, toute solution de l'equation de d'Alembert peut s'ecrire comme la superposition d'ondes

planes progressives se propageant selon~udecrivant toutes les directions de l'espace.

Par ailleurs, nous savons que toute fonction peut se decomposer, gr^ace a l'analyse de Fourier, en serie

de Fourier (fonction periodique) ou par transformee de Fourier (fonction non periodique). Il est donc

particulierement interessant, en raison de la linearite des equations, d'etudier les solutions en ondes planes

progressives harmoniques p

1pM;tq p10cosp!tkx'q(10)

Le vecteur d'onde est egal a

~kxk~ux2 ~uxet la relation de dispersion qui permet a la solution harmonique de verier l'equation de d'Alembert est !kc Dans le cas d'une onde harmonique, on peut utiliser la notation complexe : p1 pM;tq p10 exppip!tkxqqavecp10 exppi'q(11) Caractere longitudinalEn notation complexe, l'equation d'Euler devient 0!~v1 pM;tq p1 pM;tq~k ce qui montre que~v1 et~ksont colineaires. La perturbation est donc parallele au sens de propagation. Impedance acoustiqueCompte tenu du caractere longitudinal des ondes, on a donc 0!v1 pM;tq kp1 pM;tq soit en utilisant la relation de dispersion p1 pM;tq 0cv1 pM;tq 4

PSI Moissan 2012Ondes sonores dans les

uidesJanvier 2013En prenant la partie reelle p 10cv1

La surpression et la vitesse sont en phase. Le rapport entre les deux ne depend que des caracteristiques

du milieu. On denit alors l'impedance acoustique Z ap1v 10cc 0 S(12) Cette expression est valable pour une onde se propageant vers lesx¡0.

Remarques

Dans le cas con trairep1

pM;tq p10 exppip!tkxqq, l'equation d'Euler devient 0!~v1 pM;tq p1 pM;tq~k ce qui montre que~v1 et~ksont colineaires, mais de sens opposes, il faut alors rajouter un signe dans l'expression de l'impedance. l'imp edance,d enieici p ourune onde plane progressiv eharmonique, p euts' etendreaux ondes planes quelconques, compte tenu de la linearite de l'equation de d'Alembert et de la decomposition en serie de Fourier. Elle peut aussi ^etre demontree directement.

II.2 Ondes spheriques et stationnaires

Ondes spheriquesEn coordonnees spheriques et pour un systeme a symetrie spherique, l'equation de d'Alembert devient1r B

2prp1qBr21c

2B2p1Bt20(13)

La solution generale de cette equation est

p

1pr;tq 1r

fptrc q gptrc q (14) oufest une onde spherique divergente etgune onde spherique convergente. Les surfaces d'ondes sont des spheres concentriques. Ondes stationnairesComme dans le cas des ondes sur une corde vibrante, la superposition de 2 ondes planes progressives harmoniques de m^eme pulsation est susceptible de donner naissance a un systeme

d'onde stationnaires. Mathematiquement, la solution en ondes stationnaires vient de la recherche d'une

solution a variables separeesp1px;tq fpxqgptq.

III Aspects energetiques

III.1 Bilan d'energie

Considerons un element de surface du

uidedÝÑS. La force exercee sur la surface peut s'exprimer d

ÝÑF pp0p1pM;tqqdÝÑS

Les particules se deplacent a la vitesse~v1pM;tq, on peut donc exprimer la puissance moyenne des forces

de pression xdPy xdÝÑF~v1pM;tqy xp0~v1pM;tq dÝÑSy xp1pM;tq~v1pM;tq dÝÑSy 5

PSI Moissan 2012Ondes sonores dans les

uidesJanvier 2013Le premier terme est nul carx~v1pM;tqy 0. Il reste donc pour la puissance moyenne xdPy xp1pM;tq~v1pM;tq dÝÑSy et xPy ¼ xp1pM;tq~v1pM;tqy dÝÑS(15)

La puissance moyenne est donc egale au

ux moyen d'un vecteur

ÝÑ a travers la surface

p1pM;tq~v1pM;tq(16) III.2

Equation de conservation de l'energie

On considere un volumeVdelimite par une surface . En notantemla densite d'energie mecanique E m½ V e md La variation d'energie dans le volumeVentretettdtest E mptdtq Emptq ¿ dÝÑS dt on peut reecrire le membre de gauche E mptdtq Emptq BEmBtdtBBt½ V e md dt

On inverse les operations de derivation et d'integration (variables independantes) et on simplie pardt

VBemBtd ¿

dÝÑS

Enn on utilise le theoreme de Green-Ostrogradski

VBemBtd½

V divÝÑd0(17)

ce qui nous donne l'equation locale de conservation de l'energieBemBtdivÝÑ0(18) III.3 Densite volumique d'energie

On peut reecrire le bilan local d'energie

BemBtdivpp1pM;tq~v1pM;tqq 0

6

PSI Moissan 2012Ondes sonores dans les

uidesJanvier 2013On utilise la relation d'analyse vectorielle divpf~gq fdiv~g~gÝÝÑgradf, ce qui donne

divpp1pM;tq~v1pM;tqq p1div~v1~v1ÝÝÑgradp1 Or d'apres les equations d'Euler (2), de conservation de la masse (3) et thermodynamique (4)

Equation d1Euler0B~v1Bt ÝÝÑgradp1

Conservation de la masse

B1Bt0div~v10

Adiabaticite

B1Bt0SBp1Bt

doncp1div~v1 p1

0B1Bt(conservation de la masse) et~v1ÝÝÑgradp1~v10B~v1Bt(Euler) soit

divpp1pM;tq~v1pM;tqq p1

0B1Bt~v10B~v1Bt p10S

0Bp1Bt12

0Bv21Bt

ce qui donne divpp1pM;tq~v1pM;tqq 12

SBp21Bt12

0Bv21Bt

On a alors l'expression suivanteBemBt12

BBtpSp210v21q 0

ce qui donne l'expression de la densite d'energie mecaniquee m12

pSp210v21q(19)Le deuxieme terme est un terme d'energie cinetique, le premier est un terme d'energie potentielle emma-

gasinee par le uide sous l'eet des forces de pression.

III.4 Vitesse de propagation de l'energie

L'energie traversant une surfacedSpendant un intervalle de tempsdtest dEÝÑdÝÑS dt Par ailleurs, si l'onde se propage a la vitessec, l'energie contenue dans l'element de volumedVcdtdS vaut aussidE dEemcdtdS

On obtient donc

ce m(20) Onde plane progressiveSi l'onde est plane, alorsp10cv1. On a donc e m12 pSp210v21q 12 pS20c2v210v21q

OrS0c21 (denition de la celerite) donce

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