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corrige au fur et à mesure mais je suis certain qu'il en reste encore. Je remercie d'avance tout lecteur qui aura la gentillesse de me faire parvenir ses ...







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.

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U.F.R.deMathematiquesetd'Informatique

Calculdierentiel

Janvier2008

Corrigedel'examen

Exercice1

Soit(x0;y0)unpointdeR2.

(6x5

0y205x4

0y30;2x6

0y03x5

0y20):

30x4

0y2020x3

0y3012x5

0y015x4

0y2012x5

0y015x4

0y202x6

06x5 0y0 (c)OnaJf(3;2)=(9072;5832).Donc, f

0(a)(h)=(9072;5832)h1

h 2 =9072h15832h2 pourtouth=(h1;h2)2R2. Ona H f(3;2)=1404010692

106924374

Donc, f

00(a)(h;k)=(k1;k2)1404010692

106924374h1

h 2 =14040h1k110692(h1k2+h2k1)+4374h2k2 pourtouth=(h1;h2)2R2ettoutk=(k1;k2)2R2.

Exercice2

(a)Posons (commequo- partiellesparrapportaFetGentoutpointde aFetGen(0;0;0).Pourtoutnombrereelt,ona f(t;0;0)f(0;0;0)=0: 1 2 f

0F(0;0;0):F!R

estl'applicationnulle.

Ensuite,pourtousnombresreelst1ett2,ona

f(t1;t2;0)f(0;0;0)=0: f

0G(0;0;0):G!R

estl'applicationnulle. @x:R3!Rconcide en(0;0;0),ilestsusantdemontrerque@f @xn'estpascontinueen(0;0;0). dierentdupoint(0;0;0).Ona @f @x(x0;y0;z0)=1(x2

0+y20+z20)2y0z0(y20+z20x2

0):

Donc,pourtoutnombrereelnonnult,ona

@f @x(t;t;t)=t49t4=1=9:

Deplus,

@f @x(0;0;0)=0:

Donc,l'application@f

(0;0;0). @f @x(0;0;0)=0:

Defaconsimilaire,

@f @y(0;0;0)=0; @f @z(0;0;0)=0: 3 ona f(t1;t2;t3)f(0;0;0)=t1t2t3 t2 1+t2 2+t2 3: f(t;t;t)f(0;0;0)=t3

3t2=t3:

Mais 1 jj(t;t;t)jj2t3 netendpasvers0quandttendvers0,car 1 jj(t;t;t)jj2t3=13p3: (0;0;0).

Exercice3

Donc,gestuneapplicationdeclasseC1.

ona g(A+H)g(A)=(A+H)3A3 =AAH+AHA+HAA+AHH+HAH+HHA+HHH: L

A(H)=A2H+AHA+HA2

g(A+H)g(A)=LA(H)+AH2+HAH+H2A+H3: pourtoutematriceHdansMn(R).

A(H)=AH2+HAH+H2A+H3

kHk 4

PourtoutematricenonnulleHdansMn(R),ona

k"A(H)k=kAH2+HAH+H2A+H3k kHk

3kAkkHk+kHk2;

g(A+H)g(A)=LA(H)+kHk"A(H); queladeriveedegestl'application g

0:Mn(R)!L(Mn(R);Mn(R))

g

0:A7!LA;

M n(R). M degsurUsoitunC1-dieomorphismedeUetV. M

Exercice4

f hf0(x)(h);hikhh;hi deRndansRnestunisomorphisme. 5 deU0etV0. V f(U).Ceciprouvequef(U)estunouvert. (c)Consideronsl'application :[0;1]!Rndeniepar (t)=x+t(yx). Cetteapplicationestdierentiableentoutpointtde]0;1[et 0(t)=yx (onidentieL(R;Rn)etRn). R net0(z)=. Ona'=f .Donc,'estdierentiableentoutpointde]0;1[.De plus,pourtoutpointt0de]0;1[,ona

0(t0)=(f )0(t0)=(f)0( (t0))( 0(t0))

=(f)0( (t0))(yx)=(0(f( (t0)))f0( (t0)))(yx) =(f0( (t0)))(yx)=hf0(x+t0(yx))(yx);yxi:

0(t)=hf0(x+t(yx))(yx);yxikhyx;yxi:

'(1)'(0)khyx;yxi; autrementdit, hf(y)f(x);yxikhyx;yxi:

D'apresl'inegalitedeCauchy-Schwarz,ona

kf(y)f(x)k2kyxk2hf(y)f(x);yxi:

Encombinantcetteinegaliteavecl'inegalite

hf(y)f(x);yxikhyx;yxi; onobtient kf(y)f(x)k2kyxk2hf(y)f(x);yxikkyxk2 2; d'ou kf(y)f(x)k2kkyxk2: 6 l2f(V). tousentierspositifsounulsietj,ona kzizjk2=kf(xi)f(xj)k2kkxixjk: f entoutpointx2Rn.Deplus,festinjective,car kf(y)f(x)k2kkyxk2: R nsurf(Rn),c'est-a-dire,surRn.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
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