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CALCULDIFFERENTIEL

ET

EQUATIONSDIFFERENTIELLES

LICENCEDEMATHEMATIQUESANNEES2000-2004

GeorgesCOMTE

LaboratoireJ.A.Dieudonne,

UMRCNRS6621,

UniversitedeNice-SophiaAntipolis,

28,avenuedeValrose,

06108NiceCedex2,

e-mail:comte@math.unice.fr bureau:821

I-CALCULDIFFERENTIEL

Introduction1

Chapitre0-Rappelsd'algebremultilineaire4

0.1-Continuiteetalgebremultilineaire4

0.2-Notiondegraphe6

Chapitre1-Applicationsdierentiables8

1.2-Dierentielleenunpointetsurunouvert10

1.3-Deriveespartielles11

1.4-Dierentiellesd'ordressuperieurs12

ExercicesduChapitre114

CorrigedesexercicesduChapitre115

Chapitre2-Calculssurlesdierentielles22

2.1-Theoremedesapplicationscomposees22

2.2-Structured'espacevectoriel23

2.4-Theoremedelamoyenne25

2.4-TheoremesCk29

ExercicesduChapitre234

CorrigedesexercicesduChapitre236

3.2-

EtudedeIsom(E;E)auvoisinagedeIdE48

3.3-

EtudedeIsom(E;F)49

3.4-Dieomorphismes50

EduChapitre351

CorrigedesexercicesduChapitre351

4.1-Rappelssurlaconvergenceuniforme54

4.2-Suitesdefonctionsdierentiables55

4.3-FormulesdeTaylor59

4.3.1-FormuledeTaylor-Young59

4.3.2-FormuledeTayloravecresteintegral60

4.4-Pointscritiquesetextrema63

ExercicesduChapitre466

CorrigedesexercicesduChapitre468

5.1-Dierentiellespartielles76

5.3-Letheoremedelafonctionimplicite79

ExercicesduChapitre592

CorrigesdesexercicesduChapitre593

References112

II-EQUATIONSDIFFERENTIELLES

6.2-Solutionsmaximales102

6.4-LeproblemedeCauchy104

6.8-Retoursurl'equation()108

ExercicesduChapitre6109

CorrigedesexercicesduChapitre6109

References112

III-EXAMENSETPARTIELS

Testscorrigesi

Enoncesannee2000-2001iii

Enoncesannee2001-2002vii

Enoncesannee2002-2003xi

Enoncesannee2003-2004xix

Corrigesannee2000-2001xxvi

Corrigesannee2001-2002xxxii

Corrigesannee2002-2003xxxvii

Corrigesannee2002-2003xliv

I-CalculDierentiel

Introduction

traitedanslecoursdevariablecomplexe.) xa,admetunelimitelorsquextendversadans (xa)[f(x)f(a)f0(a)(xa)]2Rtendevers droiteaupoint(a;f(a)). f(x) f(a)+f'(a)(x-a) f(a)d x=|(x-a)ea(x)| ax |x-a| tenndversassilerapportu1=u2tendvers0ena.

2Introduction

ouC).Soit a2

Denition.Onditquel'applicationf:

!Festderivableenassilafonction nfag3a!1 !Fdelimitenulleena,telsque: 8x2 ;f(x)f(a)=(xa):~f0(a)+jxaj:pa(x):() D {0}xF{x}xF (a,f(a)) d x G (a,0 )

F(x,0 )FKx{0 }F

|x-a| lineaireLa:E!F,uneapplicationpa: 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakE:pa(xa):"

Introduction3

l'applicationlineaireLasoitcontinue.

0.1-Continuiteetalgebremultilineaire.

unouvertdeE,a2 etf: l'onsedonnesurEetF. L a j:Ej!F h7!La j(h)=L(a1;:::;aj1;h;aj+1:::;an) estlineaire.

2-lineaire(onditbilineaire)surR.

L:EE!RdenieparL(~u;~v)=P1

k(x1;;xn)k1=Pn ikxikEietk(x1;;xn)k2=v u u t nX i=1kxik2

Ei.Danslecasoun=2etE1=E2=R,

pluslipschitzienne. j=0uj:vjdel'exempleci-dessus lasuite(desuites!)(~un=(1 max j=0;:::;1j(~un)jj=1 j=01pn1pn= jouepas). continuedel'exercice2. t.3.(y))

Lesproprietesquisuiventsontequivalentes:

i-LestcontinuesurE1:::En. ii-Lestcontinueseulementen(0E1;:::;0En). kL(x1;:::;xn)k:kx1k:::kxnk: kLk=sup kx1k:::kxnk

Noterqueparmultilineairite:

kLk=sup kx1k:::kxnk kL(x1;:::;xn)kFkLk:kx1kE1:::kxnkEn: (proprietevdutheoreme0:1)) m^emes.

0.2-Graphed'uneapplication.

f=f(a;f(a))2AB;a2Ag. y=z=f(x)(xn'aqu'neseuleimageparf).

8Chapitre1-Applicationsdierentiables.

Chapitre1-Applicationsdierentiables

Eun ouvertdeE,a2 etf: !Funeapplication. =fx2Etelqu'ilexistet2Rveriantx=a+t~hg: deE. unitaires (a;~h):K3t!a+t:~h2(a;~h) e f(a;~h):K3t' (a;~h)!a+t:~h2(a;~h)f!f(a+t:~h)2F (a;~h)de e au-dessusde(a;~h)\

Chapitre1-Applicationsdierentiables.9

Epassantpara)dugraphedef.

P(a,h)

G D g (a,h) (a,h) a+haz suivanttouteslesdirections~h. x,six6=0et (t)=(t3;t)2R2 estcontinueent=0et (0)=(0;0).Doncsifetaitcontinueen(0;0),f seraitcontinueen0.Mais (f )(t)=1et(f )(0)=0:limt!0(f )(t)6=(f )(0)etfn'estpascontinueen(0;0).X f:R2!R (x;y)7!f(x;y)=xy2 x4+y4si(x;y)6=(0;0);etf(0;0)=0 g:R2!R (x;y)7!k(x;y)k2siy=x2;etf(0;0)=0sinon.

10Chapitre1-Applicationsdierentiables.

1.2-Dierentielleenunpointetsurunouvert.

applicationlineaire. !Fdelimitenulleenatellesque: 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakpa(x):

Onditquefestdierentiablesur

ssifestdierentiableentoutpointde nfagpar1 unedierentielledefenassilerapport1

Exercice9).X

j2Nx j,lasuiteXp=(1 pp;:::;1pp;0;:::)(pfois) estf(x;f(x));x2

Etoutentieretnonpasseulementsur

,commel'estf.X lui-m^eme)

Chapitre1-Applicationsdierentiables.11

entouslespointsdeE.2 a+t:~h2 ,puisque estunouvertdeE,etnouspouvonsalorsecrire: L a(~h)=D~hf(a).D'oulaproposition: l'egalite:

Df(a)(~h)=D~hf(a)(1):X

Preuve.Pourtoutx2

estcontinueen0,onabienlimx!af(x)=f(a).2 directions

Prop.1.3+6*

festcontinueena dierentielleDf(a)etmontrerque1 derniereexiste).

1.3.Deriveespartielles.

j=1h j:~ej,ouhj2K.Laformule(1)donnealors:

12Chapitre1-Applicationsdierentiables.

Df(a)(~h)=nX

j=1h j:Df(a)(~ej)=nX j=1h deE,onnote@f relativementalabaseE.

Pardenitiondeladeriveedirectionnelle:@f

Df(a)(~h)=nX

j=1h j:@f @xj(a)(2)X

Calculpratique.Laderiveepartielle@f

@xj(a)n'estalorsriend'autre en(1;1;1):R3y7!f(1;y;1)=sin(y)1=y2.@f @f @x2(1;1;1)=cos(1)+2.

22R.Calculonslatroisieme

@f @~e3(Q)=4:cos(1).

1.4-Dierentiellesd'ordressuperieurs.

x2E;kxkE=1kL(x)kF=infx2Ef2 R veriekLL0kkLk:kL0k. continue,sup normesurL(E1;:::;En;F).

Chapitre1-Applicationsdierentiables.13

Remarquonsquel'application:

deniepar: [U](~h1;:::;~hn)=(:::(U(~h1))(~h2):::)(~hn)estunisomorphismed'espacesvectorielsquiconserve (x;y)7!U(x;y)2L(R2;R)estaussilineaire.Aveclesnotationsci-dessus, (U)estl'applicationbilineairede R

2( (U)2L(R2;R2;R))denieparR2R23((x;y);(a;b))! (U)((x;y);(a;b))=ax+aybx+3by.

Consideronsmaintenantf:

!Funeapplicationdierentiablesur .OndisposedeDf: !L(E;F).

LaquestiondeladierentiabilitedeDfena2

D

2f(a).SiDfestdierentiablesur

,ondisposedeD2f: !L(E;L(E;F))'L(E;E;F),etlaquestion seposeencoreetc... !Fadmetunedierentielled'ordre k1,ouestkfoisdierentiableena2 (resp.sur )ssi: -Pourk>1:festk1foisdierentiablesur etsisadierentielled'ordrek1, D k1f: sur )ssiDkfexistesur etestcontinueen a,(resp.sur

1.5.Exemplesd'applicationsdierentiables.

lineaireelle-m^eme. multilineairecontinue. L( ~h1;a2:::;an)+:::+L(a1;:::;an1+~hn)+L; pourcompleter.Or

14Chapitre1-Applicationsdierentiables.

DL(a):E1:::En!F

D etk2.

Exercicesduchapitre1

f:R2!R;g:R2R2!R2 (x;y)7!2xy((x;y);(u;v))!(xu3xv;yu) iMontrerque kk1:f7!kfk1=sup x2[0;1]jf(x)j estunenormesurC0([0;1];R)etque kk0:f7!kfk0=kf0k1+jf(0)jetkk1:f7!kfk1=Z [0;1]jf0j+jf(0)j sontdesnormessurC1([0;1];R).

D:(C1([0;1];R);kk1)!(C0([0;1];R);kk1)

f7!D(f)=f0 :(C1([0;1];R);kk1)!(C0([0;1];R);kk1) f7!I(f)=f

I:(C1([0;1];R);kk1)!(C1([0;1];R);kk0)

f7!(f)=f :L(E;E;F)!L(E;L(E;F))

B7!(B):E!L(E;F)

x7!(B)(x):E!F y7!(B)(x)(y)=B(x;y)

Chapitre1-Applicationsdierentiables.15

Generaliserceresultat.

y2+2. ((xn)n2N)=(sin(xn))n2N iii-Montrerqueestdierentiableetm^emeC1. n2Njxnj. vecteur.

Corrigedesexercicesduchapitre1

duTheoreme0:1:v). (x;y)2R2etkxk1=jxjpourtoutx2R. f((x;y)+(u;v))=f(x+u;y+v)=2(x+u)(y+v) =(2xy)+(2uv)=f(x;y)+f(u;v):

Deplus,onapourtout(x;y)2R2:

16Chapitre1-Applicationsdierentiables.

et

Deplus,pourtous(x;y);(u;v)2R2,ona:

kg((x;y);(u;v))k1=max(jxu3xvj;jyuj)

4:k(x;y)k1:k(u;v)k1;

=5. kfk1+kgk1 [0;x]f0=0, f=0 (1)kfk1=0,(R f=0 (2)kfk1=R [0;1]jf0j+jf(0)j=jjR [0;1]jf0j+jjjf(0)j=jjkfk1 (3)kf+gk1=R [0;1]jf0+g0j+jf(0)+g(0)jR [0;1](jf0j+jg0j)+jf(0)j+jg(0)j=kfk1+kgk1 leTheoreme0.1(i,ii),avecn=1. nsin(n2x)pourtoutn>0.Ona f

8f2C1([0;1];R);kf0k1kfk1

estdoncfausse. kfk0.L'assertion

8f2C1([0;1];R);kf0k1kfk0

estdoncvraieavec=1.

Chapitre1-Applicationsdierentiables.17

f

8f2C1([0;1];R);kf0k1kfk1

estdoncfausse. nsin(n2x)pourtoutn>0.Ona f

8f2C1([0;1];R);kfk0kfk1

estdoncfausse. f

8f2C1([0;1];R);kfk0kfk1

estdoncfausse. f n2C1([0;1];R),kfnk1=1=netkfk1=R [0;1]jsin(nx)jdx=nR [0;n]jsin(nx)jdx=2.Pourtout2R, l'assertion

8f2C1([0;1];R);kfk1kfk1

estdoncfausse. unouvertdeE,aunpointde Eetf: !Fdelimite 0 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakEpa(x)()

Consideronsmaintenantkk0

EunenormedeEequivalenteakkEetkk0

FunenormedeFequivalenteakkF,

etregardonssif:( ;kk0

E)!(F;kk0

F)estencoredierentiableena.

8x2E:c:kxkEkxk0

EC:kxkE(1)

8x2E::kxkFkxk0

F:kxkF(2)

doncdetesterladierentiabilitedef:( ;kk0

E)!(F;kk0

-La:(E;kk0

E)!(F;kk0

F)estcontinue,

-ilexisteuneapplicationp0 a:

Eetkk0

F!)telleque:

8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxak0 Ep0 a(x):() -LacontinuitedeLa:(E;kk0

E)!(F;kk0

F):ilsutdelaverieren0E.Sikxk0

E!0,parlapremiere

F!0.Onadoncprouve:kxk0

E!0=)kLa(x)k0

F!0,iela

continuitedeLa:(E;kk0

E)!(F;kk0

F).

18Chapitre1-Applicationsdierentiables.

-Si()estveriee,necessairement:8x2 :kxakE:pa(x)=kxak0 E:p0 a(x).Onenconclutquep0 aest determineepar:8x6=a;p0 a(x)=kxakE kxak0 E:p a(x).Par(1)et(2),ona: p 0 a(x)k0

F=kxakE

kxak0

E:kpa(x)k0

F1 c:kpa(x)kF:(3)

Commeonavuquekxk0

E!a=)kxk0

E!a,l'inegalite(3)implique:kxk0

E!a=)kp0

a(x)k0 F!0.

Onenconclutquef:(

;kk0

E)!(F;kk0

f:( ;kkE)!(F;kkF). (B)(x)(y)=B(x;y)=0F,ieB=0L(E;E;F). deEdansL(E;F),ona:

8x2E;kf(x)kL(E;F)kfkL(E;L(E;F)):kxkE:()

Mais:

8y2E;k[f(x)](y)kFkf(x)kL(E;F)kykE;

doncpar()et(): que:k(B)kL(E;L(E;F))kBkL(E;E;F). Comme

8x;y2E;kB(x;y)kkBkL(E;E;F):kxkE:kykE;

ona(cfExercice4): k(B)(x)kL(E;F)kBkL(E;E;F):kxkE:

Cequidonnebien:

k(B)kL(E;L(E;F))kBkL(E;E;F): segeneralisedelafaconsuivante: :L(E;:::;E;F)!L(E;L(E;:::;L(E;F):::))denicommedans1:4 E

1;:::;En,aulieudenfoisE.

L(E;L(E;:::;L(E;F):::)).

Chapitre1-Applicationsdierentiables.19

en(0;0),@f en0dex7!f(x;0)=1+xp

Onmontredem^emeque@f

defen(0;0)estL:(h;k)7!hp jxp

1,ouk(x;y)k3

1=max(jxj;jyj).En

quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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